一道命題推廣試題背后的觀察

一道“命題推廣”試題背后的觀察上海中學柴劼瑋雙曲線的漸進線有諸多性質(zhì)，其中一個經(jīng)常被提及的性質(zhì)是：雙曲線上任一點P到兩條漸近線距離的乘積為定值(*).對這個性質(zhì)，可設點P坐標，用點到直線距離公式計算化簡而證明.下面這道試題就是以此為背景的：過雙曲線上一點P做兩條漸近線的垂線，垂足分別記為A,B，則四邊形OAPB的面積是定值(O為坐標原點).請將上述真命題推廣到更一般的雙曲線：____________________________________________________此題曾作為每周測驗的一道位置靠后的填空題，分別考察過上海中學2013屆高三的一個理科班（學生高一高二都就讀于平行班）和2015屆高二科技班，學生都是第一次見到此題.結果前者錯誤率為62%,后者錯誤率為48%.此題正確答案是：過雙曲線上一點P做兩條漸近線的平行線，分別交兩漸近線于A、B兩點，則四邊形OAPB的面積是定值.證明:兩漸近線夾角是定值，結合(*)得到：

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對原命題中的等軸雙曲線，因一條漸近線的垂線剛好平行于另一條漸進線，知原命題確實是正確答案的特例.而如果學生直接寫命題(*)作為答案，我們認為結論并不是對原命題的一種推廣，至少原命題中“面積”的問題沒有得到詮釋.但這種錯誤倒是不多見，絕大多數(shù)錯誤，都是因為給出了如下假命題：過雙曲線上一點P做兩條漸近線的垂線，垂足分別記為A,B，則四邊形OAPB的面積是定值.不難發(fā)現(xiàn)，當時，取P為實軸頂點，可得；

而在無窮遠處取點P，可設作，得：所以至少對上海中學科技班做錯此題的很多學生來說，要驗證此命題為假命題，并無太大困難.他們做錯此題，完全是因為沒有意識到：復制原命題的全部表述可能會得到一個假命題！故而也就沒有花時間去舉例檢驗；而反過來說，由于正確答案的表述和原命題略有差異，凡是給出正確答案的學生，都曾花時間（即便沒有動筆證明，僅僅是憑空想象特例）去檢驗.所以表面上，學生的錯誤可歸咎于文字陷阱和思維定勢.但是對自己提出的命題的真假負責，卻是基本的數(shù)學素養(yǎng)，也是數(shù)學學科一貫倡導的價值觀.學生錯得并不冤枉.我國教育工作者常把“知識與技能\過程與方法\情感態(tài)度與價值觀”作為課程目標的三個維度.對于第三個維度，筆者無奈地承認，僅對中學教育來說，很多基于情感態(tài)度的解構方式，如從學生學習情緒、課堂氛圍、學習目標等角度去解構，往往較難體現(xiàn)數(shù)學學科的特色.但數(shù)學學科確實倡導著其獨有的價值觀，除了源自其區(qū)別于一般實驗科學的學科方法論之外，顯然也源自數(shù)學學科獨特的美以及人們對數(shù)學的審美（很多喜愛數(shù)學的中學生都認為數(shù)學具備其他學科難以替代的魅力），而這兩者是相通的.從哲學層面去歸類和提煉這些價值觀的內(nèi)容，是有意義的工作，如果我們從數(shù)學的審美角度出發(fā)，把中學數(shù)學所倡導的價值觀（以下簡稱“價值觀”）總結為嚴謹（結論正確、邏輯完整）、實用（能廣泛、有力地為其他數(shù)學問題和應用問題提供理論支持）、優(yōu)美（結論或方法具備形式的簡潔美以及更深層次的數(shù)學美）這三項(以下稱這種解構為**)，那么，在上例“推廣命題”試題中被考察的價值觀僅僅是**中的“嚴謹”.但這卻只是至多一半的工作.即，對于中學數(shù)學學科倡導的價值觀的研究，除了哲學層面的構念，除了借鑒發(fā)展心理學和認知心理學的相關成果，更需要一線教師的命題實踐支持.要使研究對數(shù)學教學有實質(zhì)性的促進作用，我們必須動手設計反映學生對數(shù)學學科價值觀的領悟與貫徹程度的量化指標，因為談論價值觀，即是談論“判斷好壞”，學生的價值觀，一定能反映為在具體的學習探究任務中的方法選擇傾向（如，這兩種解法，哪一種更值得嘗試?）或是審美傾向（如，怎樣表達這個命題更好？又如，這兩道拓展習題，哪道題更吸引我？）.而數(shù)學學科和其他理科一樣，要在向學生隱瞞測驗意圖的前提下，設計一些像上例一樣檢測“價值觀”的試題，尤其是填空題或選擇題，并不是很容易的事，難點恰恰在于分離無關變量.通俗地講：“知識與技能，學生都熟悉；過程與方法，簡單無壓力；真那么簡單？那倒也未必”，具備此類特點的填空題，往往是理想的檢測素材（但不是唯一的素材）.如下面是另一個類似的例子：2010年上海高考理科數(shù)學卷第10題：在n行n列矩陣中，記位于第i行、第j列的元素為aij(i,j=1,2,...,n).當n=9時，a11+a22+a33+...+a99=______________.這道題的正確答案為45，只須寫出一個9階方陣的主對角線上的元素值，再相加即可.然而當年全市考生錯誤率高達48%，其中大多數(shù)答錯的考生都答81，由81=1+3+5+7+...+17可知他們對題中矩陣的定義法則并無理解偏差，但他們受已經(jīng)列出的前三行影響，通過不完全歸納，誤以為主對角線上的元素依次構成一個公差為2的等差數(shù)列，而沒有認真寫出所有元素（事實上，題目定義的矩陣中并不存在大于n的元素）.當年該卷命題組成員，上海中學況亦軍老師指出，如果在原題的要求之前添加一個要求：“求這個矩陣（即寫出所有元素）”，那么幾乎所有答81的考生都能做對原題.嚴謹確認計算對象，再進行計算，就是此題考察到的數(shù)學素養(yǎng).面對不完全歸納的誘惑，那些愿意多花半分鐘羅列全部元素的考生，他們的選擇無疑更加契合**中提到的“嚴謹”的價值觀.這和文首“命題推廣”那題的內(nèi)涵，很大一部分是一致的.對照**中的表述，收集和創(chuàng)作更多具備類似檢測功能的試題（盡可能讓試題檢測的構念條目單一可辨），將它們分別穿插在中學數(shù)學學習的各個知識章節(jié)的試卷中（這樣能很好地向學生隱藏研究目的，除此之外，要求試卷整體難度適中，且此類試題在整張試卷中的位置不能靠后，用以保證檢測效果），檢測相同的一批學生.這樣，我們就初步具備了下列探究工作的條件.通過分析錯誤率和典型錯誤來檢查命題是否達到了對“價值觀”的檢測目的如果像本文兩個例子一樣，基本可以確認學生的錯誤極少源自知識與技能\方法與過程上的不足，而來自“價值觀”的欠缺，那么命題就是成功的；反之是失敗的.使用統(tǒng)計方法確認**對“價值觀”的解構是否合理（如果命題是成功的）其途徑可以是分析題目的回答結果（指正確與否，答對記為1，答錯記為0）兩兩之間的相關系數(shù)（介于-1和1之間）.例如，學生在6次測驗中做的6道題分三個組別（對照**提出的三個條目來編寫），每組2道.如果**對價值觀的解構是合理的，那么只要這6題正確率相差不太多，并且樣本足夠大（一般地，統(tǒng)計兩個同水平班已足夠），兩道同組“價值觀”檢測題的回答結果之間的相關系數(shù)，就應該普遍比不同組的兩道題大；而后者又應該普遍大于“價值觀”檢測題和正確率相仿的一般試題回答結果之間的相關系數(shù).如果第一個“應該”不成立，說明**的解構并不是最合理，應當重新解構；而如果第二個“應該”不成立，那么對“價值觀”的獨立命題就被證實沒有必要，因為學生的“價值觀”并不會體現(xiàn)為穩(wěn)定的可被觀察和量化的指標，也就不值得教師有意識地花時間去培養(yǎng).三、高中數(shù)學所倡導的價值觀，和高中畢業(yè)生數(shù)學學科能力之間的相關性研究在上述命題-統(tǒng)計實踐中，如果我們把第i個學生在“價值觀”檢測試題上的表現(xiàn)總分值記為Xi，而把他的數(shù)學學科能力分值記為Yi（這個指標僅僅來自最后一學年大型考試的成績），不管考察學生總體的構成如何，直觀上X和Y是正相關的（即通俗地講，“價值觀”越積極的學生，高三時數(shù)學越好），但是相關系數(shù)有多大呢？可通過計算得知.如果對資優(yōu)生群體來說（對普通群體發(fā)生下面情況的可能性不大），相關系數(shù)很大，甚至比高一高二的成績與Y的相關系數(shù)還要大，則說明積極的“價值觀”容易轉化為學生高三數(shù)學成績的“爆發(fā)力”，對畢業(yè)時的數(shù)學學科能力有很強的預測作用，值得教師在日常教學中有意識地投入時間和精力去培養(yǎng).中學生“價值觀”的穩(wěn)定性vs可塑性研究如果**對中學數(shù)學倡導的價值觀的解構被證實對初中和高中的樣本都適用，那么就可以觀察學生的“價值觀”指標關于年齡的穩(wěn)定性.這可能是一個很有說服力的發(fā)展心理學指標.而對于那些低年級時“價值觀”指標較弱的學生，如果他們幾年來學習努力，且得到教師的關注，那么可塑性就可看作是一個和穩(wěn)定性對立的概念.五、中學數(shù)學提倡的價值觀和學生專業(yè)選擇\生涯主題之間的關系值得注意的是，現(xiàn)代社會推崇的普適價值觀念、中學教育提倡的價值觀和中學數(shù)學學科崇尚的價值觀，這三者兩兩之間都不一定能簡單劃等號.文首“推廣命題”的例子告訴我們，即便是常人眼里很優(yōu)秀的學生，至少在做限時數(shù)學測驗卷的時候，也不一定能堅持數(shù)學學科倡導的價值觀.把此題的錯誤率高簡單歸咎于數(shù)學教學的失敗，可能是不恰當?shù)?比如：一些答錯此題的學生也都知道不檢驗命題真假會有丟分的風險，但依照經(jīng)驗，他們甘愿冒這個風險去提高解題速度.做題更快些，難道也是一種錯么？當中學數(shù)學倡導的情感態(tài)度與價值觀（此處為“嚴謹”）和其他價值觀（快速）發(fā)生碰撞的時候，考生的抉擇是否會和他們成年后重要的生涯主題相關？例如：“嚴謹”項檢測題得分高的學生（即容易把文首“命題推廣”類試題做對者），將來是否會有更大的可能性（相較一般畢業(yè)生）選擇“學術研究”主題更顯著的專業(yè)和職業(yè)？特別地，是否會有更大的可能性選擇數(shù)學專業(yè)？“嚴謹”項檢測題得分低