主成分分析法綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)的信息融合

主成分分析法綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)的信息融合

一、確定綜合評(píng)價(jià)函數(shù)近年來(lái)，主要成分法已成為最重要的綜合評(píng)價(jià)方法之一。目前為止,較為普遍采用的做法為:1.設(shè)某綜合評(píng)價(jià)使用p項(xiàng)指標(biāo),先將指標(biāo)同趨勢(shì)化,即將逆向指標(biāo)轉(zhuǎn)為正向指標(biāo),一般用指標(biāo)值的倒數(shù)代替原指標(biāo)。2.將p項(xiàng)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化后的p項(xiàng)指標(biāo)記為x1,x2,…,xp,即E(xi)=0,D(xi)=1,i=1,2,…,p。3.計(jì)算指標(biāo)的相關(guān)矩陣R,求R的p個(gè)特征值記為:λ1≥λ2≥…≥λp≥0相應(yīng)的正則化特征向量ui=(ui1,ui2,…,uip),i=1,2,…,p。4.設(shè)方差貢獻(xiàn)率αi=λip∑k=1λkαi=λi∑k=1pλk,當(dāng)累計(jì)貢獻(xiàn)率m∑i=1αi∑i=1mαi達(dá)到一定數(shù)值(一般取≥85%)時(shí),取m個(gè)主成分Fi=ui1x1+ui2x2+…+uipxp(i=1,2,…,m),進(jìn)而得到綜合評(píng)價(jià)函數(shù):F=α1F1+α2F2+…+αmFm5.將每一個(gè)單位的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)值代入上式求得各單位的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)值,根據(jù)綜合評(píng)價(jià)函數(shù)值對(duì)各單位進(jìn)行排序。由于主成分Fi是x1,x2,…,xp的線性組合,所以實(shí)際上綜合評(píng)價(jià)函數(shù)F也可以表示為x1,x2,…,xp的線性組合(但可能是由于F的意義不好解釋,許多文獻(xiàn)都回避這一點(diǎn))。不少學(xué)者認(rèn)為:主成分分析法有許多優(yōu)點(diǎn),并將其作為綜合評(píng)價(jià)的首選方法。然而,通過(guò)對(duì)主成分分析法的深入研究,仍然可以發(fā)現(xiàn)用主成分分析法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)時(shí)存在一些問(wèn)題,而導(dǎo)致所得結(jié)果往往不正確。這也正是筆者所要討論的問(wèn)題。二、綜合評(píng)價(jià)函數(shù)用主成分分析法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)存在許多問(wèn)題,其中最關(guān)鍵的問(wèn)題(其它問(wèn)題多數(shù)由此而引起)是主成分分析法不能消除指標(biāo)重疊信息。而恰恰相反,卻強(qiáng)化了指標(biāo)重疊信息,使綜合評(píng)價(jià)結(jié)果與指標(biāo)相關(guān)性結(jié)構(gòu)關(guān)系十分密切,其具體表現(xiàn)在:(一)若評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中存在一部分變量高度相關(guān)、其它變量相關(guān)程度較低,則綜合評(píng)價(jià)函數(shù)中權(quán)系數(shù)分配存在一個(gè)明顯的集結(jié)傾向。權(quán)系數(shù)明顯向相關(guān)性較高的變量?jī)A斜,這些變量的權(quán)系數(shù)明顯大于其它變量的權(quán)系數(shù)。一般來(lái)說(shuō),同一類指標(biāo)(如經(jīng)濟(jì)效益評(píng)價(jià)時(shí)的利稅類指標(biāo))的相關(guān)系數(shù)往往較大,可認(rèn)為其中包含較多的重疊信息,不相同類指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)往往較小,所包含的重疊信息也少。若選用的某一類屬性指標(biāo)數(shù)量越多,則在用主成分分析法時(shí),這一類指標(biāo)所占的總權(quán)重系數(shù)就越大。這一點(diǎn)可通過(guò)下例得以說(shuō)明:例1某綜合評(píng)價(jià)有4項(xiàng)指標(biāo),其中x1,x2,x3為同一類的指標(biāo),x4為另一類的指標(biāo)(具體數(shù)據(jù)略),則x1,x2,x3之間的相關(guān)系數(shù)較高,x4與x1,x2,x3的相關(guān)系數(shù)較低。其相關(guān)矩陣為:其特征值為:λ1=2.814λ2=1.004λ3=0.173λ4=0.00961而前兩個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率已達(dá)到了95.44%,其主成分分別為:綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為:F=0.405x1+0.4036x2+0.3561x3+0.2984x4可以看出:x1,x2,x3的系數(shù)都比x4的系數(shù)大,x1,x2,x3作為同一類的指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)函數(shù)中占據(jù)著絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。而在實(shí)際問(wèn)題中,就單個(gè)指標(biāo)而言,x1,x2,x3則不一定比x4重要,相反有可能x4是關(guān)鍵性指標(biāo),而x1,x2,x3都是輔助性指標(biāo)。所以綜合評(píng)價(jià)函數(shù)F強(qiáng)化了x1,x2,x3之間的信息重疊,致使評(píng)價(jià)結(jié)果無(wú)法真實(shí)地反映實(shí)際情況。在此也順便指出:主成分分析法顯然不能確定指標(biāo)的重要程度,只能在假設(shè)各指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中的重要性相同的情況下,討論其權(quán)系數(shù)的合理性(以下均作此假設(shè))。(二)若綜合評(píng)價(jià)中有兩類指標(biāo),分別記作S1和S2。其類內(nèi)指標(biāo)兩兩高度相關(guān)且兩類指標(biāo)的個(gè)數(shù)及相關(guān)程度相當(dāng),而類間指標(biāo)兩兩低度相關(guān),則在綜合評(píng)價(jià)函數(shù)中,S1中指標(biāo)與S2中指標(biāo)的權(quán)系數(shù)相差很大,而類內(nèi)指標(biāo)的權(quán)系數(shù)相差不大。例2設(shè)某綜合評(píng)價(jià)有6項(xiàng)指標(biāo),指標(biāo)集S1由x1,x2,x3組成,S2由x4,x5,x6組成,其相關(guān)系數(shù)矩陣為:其中前兩個(gè)特征值為λ1=3.129,λ2=2.672,前兩個(gè)主成分為(累積方差貢獻(xiàn)率已達(dá)96.68%):綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為:顯然x1,x2,x3的權(quán)系數(shù)比x4,x5,x6的權(quán)系數(shù)大得多,這是不合理的。(三)當(dāng)各指標(biāo)相互之間都低度相關(guān)時(shí),所得綜合評(píng)價(jià)函數(shù)也不合理。例3設(shè)某綜合評(píng)價(jià)有3個(gè)指標(biāo)x1,x2,x3,相互之間都低度相關(guān),其相關(guān)矩陣為:R=[1.0000.1640.0130.1641.0000.2710.0130.2711.000]則可得其特征值為:λ1=1.3232λ2=0.9883λ3=0.6884需取全部主成分為:F1=0.3808x1+0.7005x2+0.6036x3F2=0.8556x1-0.0193x2-0.5173x3F3=0.3507x1-0.7134x2+0.6066x3綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為:F=0.5303x1+0.1389x2+0.2351x3x1的系數(shù)遠(yuǎn)大于x2與x3的系數(shù),這也是不合理的。(四)當(dāng)各指標(biāo)相互之間都高度相關(guān)時(shí),所得綜合評(píng)價(jià)函數(shù)才比較合理。例4取例1中的評(píng)價(jià)指標(biāo)x1,x2,x3,則其特征值為λ1=2.8045,第一主成分的方差貢獻(xiàn)率已達(dá)93.48%,取第一主成分作綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為:F=0.587x1+0.586x2+0.558x3各指標(biāo)的系數(shù)比較均衡。從以上較特殊的例子可見(jiàn):用主成分分析法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)其所決定的指標(biāo)權(quán)系數(shù)基本上是不正確的,所得結(jié)果很可能是完全錯(cuò)誤的。有許多學(xué)者都提出只用第一主成分進(jìn)行綜合評(píng)價(jià),認(rèn)為只有第一主成分才含有“評(píng)價(jià)信息”。然而事實(shí)上,若只用第一主成分作為綜合評(píng)價(jià)函數(shù),則各指標(biāo)的權(quán)系數(shù)有時(shí)會(huì)更加不合情理。如例1中第一主成分中指標(biāo)x4的系數(shù)僅為0.0709,與指標(biāo)x1,x2,x3的系數(shù)相比極小。也就是說(shuō),如用F1作為綜合評(píng)價(jià)函數(shù),指標(biāo)x4幾乎不起作用,這顯然極不合理。故再分析一下方差貢獻(xiàn)率的意義,筆者認(rèn)為第一主成分的方差貢獻(xiàn)率大,主要原因是:第一主成分的系數(shù)基本上都是正的,后面的主成分有較多的負(fù)系數(shù),而且越后面的主成分其系數(shù)之和越傾向于接近0(因正負(fù)相抵);后面的主成分的方差小,因而其方差貢獻(xiàn)率小,是由其值分布在均值0附近的內(nèi)在結(jié)構(gòu)決定的,已經(jīng)在其數(shù)值中得以體現(xiàn)。所以,原主成分分析法將主成分乘以方差貢獻(xiàn)率再相加來(lái)構(gòu)建綜合評(píng)價(jià)函數(shù),從理論上講也是不合理的,還不如將主成分直接相加更合理。但計(jì)算表明,將主成分直接相加有時(shí)也不合理。三、改進(jìn)的主成分分析法由主成分分析的理論和實(shí)際計(jì)算可知:前面幾個(gè)主成分中的每一個(gè)都代表評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中的某幾個(gè)指標(biāo),一般來(lái)說(shuō),每一個(gè)指標(biāo)都能被某個(gè)主成分所代表。筆者通過(guò)大量實(shí)例計(jì)算發(fā)現(xiàn):若把前面幾個(gè)主成分所代表的各指標(biāo)連同它們的系數(shù)組合在一起,作為綜合評(píng)價(jià)函數(shù),則所得綜合評(píng)價(jià)函數(shù)都很合理,故重新分析上面各例:在例1中:第一主成分F1中x1,x2,x3的系數(shù)均比x4大得多,故F1代表指標(biāo)x1,x2,x3;而第二主成分F2中x4的系數(shù)遠(yuǎn)大于其它指標(biāo)的系數(shù),即F2代表指標(biāo)x4。將F1中的0.586x1+0.5866x2+0.5544x3與F2中的0.990x4相加即得綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為:F=0.586x1+0.5866x2+0.5544x3+0.990x4因?yàn)閤1,x2,x3的相關(guān)系數(shù)較大,包含許多重復(fù)信息,就單個(gè)指標(biāo)來(lái)說(shuō)它們的系數(shù)都比x4的系數(shù)小得多;而作為同一類指標(biāo),它們的系數(shù)之和比x4的系數(shù)大,這是比較合理的,并消除了x1,x2,x3之間重疊的信息。在例2中:第一主成分F1中x4,x5,x6的系數(shù)較大,F1代表x4,x5,x6;而第二主成分F2中x1,x2,x3的系數(shù)較大,F2代表指標(biāo)x1,x2,x3。所以綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為:F=0.4817x1+0.4575x2+0.4960x3+0.4805x4+0.4980x5+0.4550x6因x1,x2,x3之間所包含的重疊信息量與x4,x5,x6之間所包含的重疊信息量相近,所以各指標(biāo)的系數(shù)相近。在例3中:第一主成分F1中x2,x3的系數(shù)較大,F1代表x2,x3,而F2則代表x1,所以綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為:F=0.8556x1+0.7005x2+0.6036x3因?yàn)閤2與x3之間的相關(guān)程度較高,信息重疊較多,所以權(quán)系數(shù)比x1的小。該例也表明:盡管F1和F2的累積方差貢獻(xiàn)率才77.05%,但已能代表所有三個(gè)指標(biāo)。在例4中:第一主成分的各系數(shù)相近,第一主成分就可以代表全部三個(gè)指標(biāo),所以其綜合評(píng)價(jià)函數(shù)即為第一主成分,并與原來(lái)相同。故再借用參考文獻(xiàn)中一個(gè)實(shí)際評(píng)價(jià)工業(yè)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的例子,說(shuō)明改進(jìn)后的主成分分析法的合理性:例5對(duì)某市大中型工業(yè)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行綜合評(píng)價(jià),選用7個(gè)經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo):固定資產(chǎn)產(chǎn)值率x1;固定資產(chǎn)利稅率x2;資金利潤(rùn)率x3;資金利稅率x4;流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天數(shù)x5;銷售收入利稅率x6和全員勞動(dòng)生產(chǎn)率x7。根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)用SPSS軟件可算得相關(guān)矩陣為:R=[1.0000.8500.8560.8600.0840.5850.4930.8501.0000.0920.8490.3120.9040.5980.8560.9021.0000.9880.1210.7670.3290.8600.8490.9881.0000.1070.6830.2650.0840.3120.1210.1071.0000.3750.4800.5850.9040.7670.6830.3751.0000.4970.4930.5980.3290.2650.4800.4971.000]特征值λ1=4.660λ2=1.316λ3=0.559相應(yīng)的主成分為:從權(quán)系數(shù)較大的指標(biāo)看,F1代表x1,x2,x3,x4,x6;F2代表x5,x7,可得綜合評(píng)價(jià)函數(shù)為:F=0.411x1+0.456x2+0.435x3+0.419x4+0.720x5+0.400x6+0.524x7因指標(biāo)x1,x2,x3,x4,x6之間的相關(guān)系數(shù)較大,亦即它們之間的信息重疊較多,所以它們的系數(shù)較小;x5與其它變量的相關(guān)程度最小,所以其權(quán)系數(shù)最大,這是比較合理的。當(dāng)然,筆者是在