江蘇省南通市田家炳中學2023年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

江蘇省南通市田家炳中學2023年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設正實數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，若的最大值為3，則（）A.3 B.C. D.2．函數(shù)f（x）=xex的單調(diào)增區(qū)間為（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）3．如圖，是函數(shù)的部分圖象，且關于直線對稱，則（）A. B.C. D.4．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.2 B.4C.6 D.85．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.6．在數(shù)列中，已知，則“”是“是單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（）A.2 B.C. D.38．若構成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，9．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-311．已知等比數(shù)列的首項為1，公比為2，則=（）A. B.C. D.12．如圖所示幾何體的正視圖和側(cè)視圖都正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與曲線有且僅有一個公共點．則b的取值范圍是__________14．已知直線與曲線，在曲線上隨機取一點，則點到直線的距離不大于的概率為__________.15．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線與兩點，且，則拋物線的準線方程為________.16．已知球面上的三點A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知橢圓(a>b>0)的右焦點為F2(3，0)，離心率為e.（1）若e＝，求橢圓的方程；（2）設直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF2，BF2的中點，若坐標原點O在以MN為直徑的圓上，且<e≤，求k的取值范圍.19．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點與點.（1）求圓的方程；（2）過點作圓的切線，求切線所在的直線的方程.20．（12分）某市對新形勢下的中考改革工作進行了全面的部署安排.中考錄取科目設置分為固定賦分科目和非固定賦分科目，固定賦分科目（語文、數(shù)學、英語、物理、體育與健康）按卷面分計算；非固定賦分科目（化學、生物、道德與法治、歷史、地理）按學生在該學科中的排名進行等級賦分，即根據(jù)改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A，，，，，，，共個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，，，.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到，，，，，，，八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.該市學生的中考化學原始成績制成頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中的值；（2）估計該市學生中考化學原始成績不少于多少分才能達到等級及以上（含等級）？（3）由于中考改革后學生各科原始成績不再返回學校，只告知各校參考學生的各科平均成績及方差.已知某校初三共有名學生參加中考，為了估計該校學生的化學原始成績達到等級及以上（含等級）的人數(shù)，將該校學生的化學原始成績看作服從正態(tài)分布，并用這名學生的化學平均成績作為的估計值，用這名學生化學成績的方差作為的估計值，計算人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）附：，，.21．（12分）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）在中，是的中點，，現(xiàn)將該平行四邊形沿對角線折成直二面角，如圖：（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由于，，為正數(shù)，且，所以利用基本不等式可求出結(jié)果【詳解】解：因為正實數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，所以，則，所以，所以故選：D.2、D【解析】求出，令可得答案.【詳解】由已知得，令，得，故函數(shù)f（x）=xex的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）.故選：D.3、C【解析】先根據(jù)條件確定為函數(shù)的極大值點，得到的值，再根據(jù)圖像的單調(diào)性和導數(shù)幾何意義得到和的正負即可判斷.【詳解】根據(jù)題意得，為函數(shù)部分函數(shù)的極大值點，所以，又因為函數(shù)在單調(diào)遞增，由圖像可知處切線斜率為銳角，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，所以，又因為函數(shù)在單調(diào)遞增，由圖像可知處切線斜率為鈍角，根據(jù)導數(shù)的幾何意義所以.即.故選：C.4、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合等差數(shù)列下標的性質(zhì)、等差數(shù)列通項公式進行求解即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，，故選：B5、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，故.故選：D.6、C【解析】分別求出當、“是單調(diào)遞增數(shù)列”時實數(shù)的取值范圍，利用集合的包含關系判斷可得出結(jié)論.【詳解】已知，若，即，解得.若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，對任意的，，即，所以，對任意的恒成立，故，因此，“”是“是單調(diào)遞增數(shù)列”充要條件.故選：C.7、C【解析】根據(jù)，（且），利用累加法求得，再根據(jù)恒成立求解.【詳解】因為數(shù)列滿足，，（且）所以，，，，因為恒成立，所以，則M的最小值是，故選：C8、C【解析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.9、D【解析】先求定義域，再求導數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域為令，解得故選：D【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.10、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因為，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A11、D【解析】數(shù)列是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，然后可算出答案.【詳解】因為等比數(shù)列的首項為1，公比為2，所以數(shù)列是首項為1，公比為4的等比數(shù)列所以故選：D12、B【解析】根據(jù)側(cè)視圖，沒有實對角線，正視圖實對角線的方向，排除錯誤選項，得到答案.【詳解】側(cè)視時，看到一個矩形且不能有實對角線，故A，D排除而正視時，有半個平面是沒有的，所以應該有一條實對角線，且其對角線位置應從左上角畫到右下角，故C排除.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或.【解析】根據(jù)曲線方程得曲線的軌跡是個半圓，數(shù)形結(jié)合分析得兩種情況：（1）直線與半圓相切有一個交點；（2）直線與半圓相交于一個點，綜合兩種情況可得答案.【詳解】由曲線，可得，表示以原點為圓心，半徑為的右半圓，是傾斜角為的直線與曲線有且只有一個公共點有兩種情況：（1）直線與半圓相切，根據(jù)，所以，結(jié)合圖像可得；（2）直線與半圓的上半部分相交于一個交點，由圖可知.故答案為：或.【點睛】方法點睛：處理直線與圓位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法；如果或有限制，需要數(shù)形結(jié)合進行分析.14、【解析】畫出示意圖，根據(jù)圖形分析可知點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型可求出.【詳解】作出示意圖曲線是圓心為原點，半徑為2的一個半圓.圓心到直線距離，而點到直線的距離為，故若點到直線的距離不大于，則點在陰影部分所對的劣弧上，由幾何概型的概率計算公式知，所求概率為.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算，屬于中檔題.15、【解析】根據(jù)題意作出圖形，設直線與軸的夾角為，不妨設，設拋物線的準線與軸的交點為，過點作準線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準線和軸的垂線，垂足分別為，進一步可以得到，進而求出，同理求出，最后解得答案.【詳解】設直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設，如圖所示.設拋物線的準線與軸的交點為，過點作準線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準線和軸的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義可知，，同理：,于是，，則拋物線的準線方程為：.故答案為：.16、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因為球心到平面的距離為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意得解方程組求出，從而可求出數(shù)列的通項公式，（2）因為是公比為的等比數(shù)列，又，，所以，從而可得，然后利用分組求和法求解即可【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為.由題意得解得，.所以.【小問2詳解】因為是公比為的等比數(shù)列，又，，所以，所以.所以.18、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)右焦點為F2(3，0)，以及，求得a，b，c即可.(2)聯(lián)立，根據(jù)M，N分別為線段AF2，BF2中點，且坐標原點O在以MN為直徑的圓上，易得OM⊥ON，則四邊形OMF2N為矩形，從而AF2⊥BF2，然后由0，結(jié)合韋達定理求解.【詳解】(1)由題意得c＝3，，所以.又因為a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以橢圓的方程為.(2)由,得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，依題意易知，OM⊥ON，四邊形OMF2N為矩形，所以AF2⊥BF2.因為(x1－3，y1)，(x2－3，y2)，所以(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.即，將其整理為k2＝＝－1－.因為<e≤，所以2≤a<3，12≤a2<18.所以k2≥，即k∈【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是由O在以MN為直徑的圓上，即OM⊥ON，得到四邊形OMF2N為矩形，推出AF2⊥BF2，結(jié)合韋達定理得出斜率k與離心率e的關系.19、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段中點，進而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，∴.則圓的方程可求（2）當切線斜率不存在時，可知切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，∴.∴圓的方程為.（2）當切線斜率不存在時，切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【點睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點弦等問題，解題的關鍵是利用圓的特性，利用點到直線的距離公式求解20、（1）（2）85（3）23【解析】（1）根據(jù)所有矩形面積之和等于1可得；（2）先根據(jù)矩形面積之和判斷達到等級的最低分數(shù)為x所在區(qū)間，然后根據(jù)矩形面積之和等于0.9可得；（3）由題知，所以由可得.【小問1詳解】由得【小問2詳解】由題意可知，要使等級達到等級及以上，則成績需超過的學生.因為，記達到等級的最低分數(shù)為x，則，則由，解得所以該市學生中考化學原始成績不少于85分才能達到等級及以上.【小問3詳解】由題知，因為所以故該校學生的化學原始成績達到等級及以上的人數(shù)大約為人.21、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問2詳解】由余弦定理得，即，所以，當且僅當，取“=”，所以面積的最大值為22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先求出BD，通