高考中一些不等式的解法研究

第第頁高考中一些不等式的解法研究摘要：縱觀近年來的高考題，不等式已經(jīng)成為高考的熱點內(nèi)容，不僅考察不等式的基本知識，基本技能，而且注重考查學(xué)生的運算能力，邏輯思維能力，以及分析問題和解決問題的能力.文章從高考中不等式試題的設(shè)置、特點及其幾類基本的方法出發(fā)，同時推廣列舉了函數(shù)與不等式、數(shù)列與不等式、解析幾何與不等式、線性規(guī)劃與不等式、含參數(shù)不等式的幾種解法，形成知識結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)，使考生能在解題時能從不同角度去分析。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；不等式；二次函數(shù)

1.與函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題的求解方法

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的一章，在高中數(shù)學(xué)中有著重要的地位和作用，高考中經(jīng)常出現(xiàn)函數(shù)類問題的解決最終歸結(jié)為對函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)思想的應(yīng)用，這類問題的解決涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖像，性質(zhì)，學(xué)習(xí)中常用的數(shù)學(xué)思想與方法，也是必須掌握的知識要點，如數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想等數(shù)學(xué)方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.

1.1一元函數(shù)型――利用單調(diào)性求解

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，把不等式證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式.

1.2二次函數(shù)型――利用判別式、韋達定律及根的分布求解

例1（2012北京）已知，，若，或，求的取值范圍.

分析對于有關(guān)二次不等式的（或）在指定區(qū)間恒成立問題，可設(shè)函數(shù)，先由的符號確定拋物線的開口方向，再根據(jù)圖像與x軸的交點問題，由判別式解決問題.

解由已知，可得，要使，或，必須使時，恒成立

2.含參數(shù)不等式的求解方法

確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍需要靈活應(yīng)用函數(shù)與不等式的基礎(chǔ)知識，并且要在兩者間進行合理的交匯，因此此類問題屬學(xué)習(xí)的重點，然而，怎樣確定其取值范圍呢？課本中卻從未論及，但它已成為近年來命題測試中的常見題型，所以此類問題屬于學(xué)習(xí)的熱點，在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時，需要在函數(shù)指導(dǎo)的思想下，靈活地進行代數(shù)變形、綜合地運用多科知識，方可取得較好的效益，因此此類問題的學(xué)習(xí)當(dāng)屬學(xué)習(xí)過程中的難.

2.1函數(shù)值域法

利用函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.確定含參數(shù)或未知數(shù)的代數(shù)式范圍，然后再聯(lián)系不等式求，此法看似簡單，其作用不可低估.

例2（2012江蘇）已知函數(shù)的值域為，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)c的值為多少.

分析本題考查二次函數(shù)的解析式以及性質(zhì)和一元二次不等式的解法，通過運用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

2.2構(gòu)建函數(shù)法

當(dāng)參數(shù)難以分離而不等式是有關(guān)某個變量的一次或二次函數(shù)時，可以通過構(gòu)建函數(shù)來解決.函數(shù)思想和方法已滲透到數(shù)學(xué)的各個分支.在一些數(shù)學(xué)問題中，通過數(shù)式類比，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，然后利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)結(jié)論求解，往往會有意想不到的效果.這里，我們主要介紹如何通過構(gòu)造一次函數(shù)，二次函數(shù)模型，并利用它們的性質(zhì)來確定參數(shù)的取值范圍.

3高考中不等式的其它求解方法

3.1數(shù)列不等式的求解

4.1.1放縮法證明不等式

這類問題能有效地考查學(xué)生綜合運用數(shù)列與不等式知識解問題的能力.靈活掌握等差（比）數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)以及有關(guān)性質(zhì)、公式的延伸，可使解法簡捷.解決這類問題常常要用到放縮法，而求解途徑一般有兩條，一是先求解再放縮，二是先放縮再求解..

原不等式得證

用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把我一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗，而且放縮法靈活多樣，要能想到這一個個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧.

3.1.2裂項求和證明不等式

3.2分離參數(shù)法

例5若對任意實數(shù)都成立，求的取值范圍.

解將與分別集中，得

令，易知的最小值為0

根據(jù)題意，只需，

一般地，利用最值分離參數(shù)法來確定不等式恒成立中參數(shù)的取值范圍基本按照先將函數(shù)與參數(shù)分離，即化為（或）的形式；再求在取值范圍內(nèi)的最大（或最小）值；最后解不等式（或）得的取值范圍.

3.3.數(shù)形結(jié)合法

某些含參數(shù)不等式恒成立問題，既不能分離參數(shù)求解，又不能轉(zhuǎn)化為某個變量的一次或二次函數(shù)時，則可采用數(shù)形結(jié)合法.我們在解題時，可以有意識地去認(rèn)識，挖掘和創(chuàng)造抽象的直觀形象，化抽象為直觀，由數(shù)思形，已形輔數(shù).

說明對于解決含參數(shù)的不等式恒成立問題，我們可以先把不等式兩端的式子分別看成兩個函數(shù)，并畫出兩函數(shù)的圖像，然后通過觀察圖像的位置關(guān)系，解決問題.

4結(jié)論

本文通過對不等式的證明和求解的各種題型進行研究，發(fā)現(xiàn)了不同題型的不同解法，還有一題多解的情況.這告訴我們：學(xué)習(xí)不能單靠老師和書本，只要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，就可以找出適合自己的解題方法，弄清知識點內(nèi)在聯(lián)系，并形成知識結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)，在解題時能從不同角度去分析解決，才能達到對知識融會貫通、運用自如的目的.

參考文獻：

[1]田寶運；不等式問題中的數(shù)學(xué)思想[J]；數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版）；2004年06期

[2]湯斌；解含參數(shù)