考向29解決空間問(wèn)題中的平行與垂直問(wèn)題（十一大經(jīng)典題型）（解析版）

考向29解決空間問(wèn)題中的平行與垂直問(wèn)題經(jīng)典題型一：平行的判定經(jīng)典題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法經(jīng)典題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法經(jīng)典題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行經(jīng)典題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行經(jīng)典題型六：面面平行的證明經(jīng)典題型七：面面平行的性質(zhì)經(jīng)典題型八：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定經(jīng)典題型九：證明線線垂直經(jīng)典題型十：證明線面垂直經(jīng)典題型十一：證明面面垂直（2022·全國(guó)·高考真題（文））在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.選項(xiàng)BCD解法二：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.（2022·全國(guó)·高考真題（理））如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．證明：平面平面；【解析】（1）因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?方法技巧一：直線和平面平行1．定義直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱此直線與平面平行，記作∥2．判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線∥線線∥面如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線線平行線面平行面∥面線∥面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面3．性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線∥面線∥線如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行方法技巧二：兩個(gè)平面平行1．定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面和，若，則∥2．判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理線∥面面∥面如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行線面面∥面如果兩個(gè)平面同垂直于一條直線，那么這兩個(gè)平面平行∥3．性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面//面線//面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面中的所有直線都平行于另外一個(gè)平面性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行（簡(jiǎn)記為“面面平行線面平行”）面//面線面如果兩個(gè)平面中有一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線方法技巧三：直線與平面垂直的定義如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直．方法技巧四：判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判斷定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直面⊥面?線⊥面兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直___a平行與垂直的關(guān)系一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線與另一個(gè)平面也垂直__平行與垂直的關(guān)系兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直_b_a方法技巧五：性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行_b_a垂直與平行的關(guān)系垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行__線垂直于面的性質(zhì)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直方法技巧六：平面與平面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．方法技巧七：判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直__方法技巧八：性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直___a一．線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定線∥面線∥線面∥面（1）證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點(diǎn)進(jìn)平面，同向進(jìn)面，得平行四邊形的對(duì)邊，不同向進(jìn)面，延長(zhǎng)交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；（2）證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個(gè)平面垂直于同一條直線；④證明兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面．（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；二．線線線面面面（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形對(duì)角線互相垂直；④直徑所對(duì)的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質(zhì)；⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質(zhì)（）；平行線垂直平面的傳遞性（）；⑤面面垂直的性質(zhì)（）．（3）證明面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（）．空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位置．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定判定判定線∥面線∥線面∥面線⊥面線⊥線面⊥面經(jīng)典題型一：平行的判定1．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)高三開學(xué)考試（理））在正方體中，P，Q分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．平面平面C．平面 D．平面平面【答案】D【解析】如圖，因?yàn)?，而與平面相交，則A選項(xiàng)不正確；因?yàn)?，，所以平面平面，而平面與平面相交，則B選項(xiàng)不正確；在矩形中，與不垂直，即與平面不垂直，則C選項(xiàng)不正確；設(shè)的中點(diǎn)為G，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，，所以，所以平面，所以平面平面，則D選項(xiàng)正確.故選：D.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線平面，表示直線，表示平面，有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若與相交，則與相交.其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】對(duì)于①，或，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，，又，所以，故②正確；對(duì)于③，，，故③正確；對(duì)于④，若與相交，則與相交或平行，故④錯(cuò)誤.故正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.故選：C.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)A，如圖，易得平面平面，但平面與相交，故直線與平面不平行；對(duì)B，如圖，為所在棱的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)有，且，，故平行四邊形，故，故，故直線與平面平行.對(duì)C，根據(jù)中位線與平行四邊形的性質(zhì)，同理可得，直線與平面平行；對(duì)D，根據(jù)中位線與平行四邊形的性質(zhì)，同理可得，直線與平面平行；故選：A

經(jīng)典題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法4．（2022·北京高三開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，是中點(diǎn).求證：平面；【解析】連接，交于點(diǎn)N，連接，如圖直三棱柱中，是的中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.5．（2022·北京·高三開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，側(cè)面，都是正方形，∠ABC為直角，，M，N分別為，AC的中點(diǎn).求證：平面；【解析】連接，在中，因?yàn)槭牵闹悬c(diǎn)，所以∥，

又平面，平面

所以平面.6．（2022·江蘇省包場(chǎng)高級(jí)高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，點(diǎn)M是AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且PN＝PB.證明：MN平面PDC；【解析】在四邊形ABCD中，由AB＝BC＝，AD＝CD＝1，可得△ABD≌△CBD，可得AC⊥BD，且M為AC的中點(diǎn)，由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，可得DM＝CDcos60°＝，AC＝2CDsin60°＝，則BM＝×＝，由＝＝，可得MN∥PD，而MN?平面PCD，PD?平面PCD，可得MN∥平面PDC.經(jīng)典題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法7．（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面，，且，，為棱的中點(diǎn).求證：平面；【解析】在四棱錐中，取PB的中點(diǎn)E，連OE，CE，如圖，因?yàn)槔獾闹悬c(diǎn)，則，，因平面，有平面，而平面，則，則有，在直角梯形中，，又是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，即，又，因此，而，則，于是得四邊形為平行四邊形，有，又平面，平面，所以平面.8．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三高三階段練習(xí)）在等腰梯形（圖1）中，，是底邊上的兩個(gè)點(diǎn)，且.將和分別沿折起，使點(diǎn)重合于點(diǎn)，得到四棱錐（圖2）.已知分別是的中點(diǎn).證明：平面.【解析】由題意可得，在等腰梯形中，，在中，因?yàn)?，所以，四邊形為正方?在四棱錐中，連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，在正方形中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，且，∴四邊形是平行四邊形，，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?．（2022·云南·高三階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).證明：直線平面；【解析】證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，又為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面平面，所以直線平面.經(jīng)典題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，AB=4，，G為AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段，AC上，且，求證：平面.【解析】在長(zhǎng)方體中，取的中點(diǎn)，連接，如圖，因G為AB的中點(diǎn)，則，而平面，平面，從而平面，四邊形為矩形，而，則有，又，即有四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，從而平面，而，平面，因此平面平面，又平面，從而平面.11．（2022·福建省福州第一高三開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，，沿將四邊形折成四邊形，使點(diǎn)在平面上的射影H在直線上．求證：平面；【解析】，平面，平面．平面，由，同理可得平面，又，平面平面，平面，平面；12．（2022·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．證明：平面；【解析】由正方形的性質(zhì)知：，又平面，平面，∥平面，，平面，平面，∥平面，，平面，平面∥平面，平面，平面；13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF//CE，BF⊥BC，，BF=2，AB=1，．(1)求證：BC⊥AF；(2)求證：AF//平面DCE；【解析】（1）四邊形ABCD為矩形，即AB⊥BC，又BF⊥BC，平面ABF，，則有BC⊥平面ABF，而平面ABF，所以BC⊥AF．（2）因，平面CDE，平面CDE，則平面CDE，矩形ABCD中，，平面CDE，平面CDE，則平面CDE，又平面ABF，，于是得平面平面CDE，而平面ABF，所以平面DCE．14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱中分別為，，，的中點(diǎn)，求證：∥平面【解析】證明：∵P，D分別為，的中點(diǎn)，∴∥，且平面，平面，∴∥平面，∵D，N分別為，的中點(diǎn)，∴∥，且平面，平面，∴∥平面，又，平面，∴平面∥平面，又∵平面PDN，∴∥平面.經(jīng)典題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行15．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)?zāi)M預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，，點(diǎn)D為棱上動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），平面與棱交于點(diǎn)E．求證；【解析】，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，；16．（2022·福建省漳州第一模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，.記平面與平面的交線為.證明：；【解析】因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又平面，平面平面，所以.17．（2022·云南·昆明高三開學(xué)考試）如圖，三棱柱中，平面平面，過(guò)的平面交線段于點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），交線段于點(diǎn).(1)證明：；【解析】（1）在三棱柱中，面，面，所以面，又過(guò)的平面面，所以.經(jīng)典題型六：面面平行的證明18．（2022·上海·高三開學(xué)考試）在如圖所示的多面體中，，四邊形為矩形，，．(1)求證：平面平面；【解析】（1）證明：，平面，平面，平面，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，平面，平面，平面，，、平面，因此，平面平面.19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱柱的底面為正方形，為的中點(diǎn)，，求證：平面∥平面【解析】證明：因?yàn)樗睦庵牡酌鍭BCD為正方形，所以∥，，∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥．又平面，平面，所以∥平面，同理可證：∥平面．又，平面,平面所以平面∥平面．20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn)．證明：平面平面；【解析】證明：連接EG，．因?yàn)镋，G分別是棱，的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)?，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則．因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)镋，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面平面?1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，是所在平面外的一點(diǎn)，、、分別是、、的重心，求證：平面平面.【解析】連接、，如圖，因、、分別是、、的重心，則有、、分別為、、的中點(diǎn)，且，因此，，平面，平面，于是得平面，平面，平面，于是得平面，，平面，所以平面平面.經(jīng)典題型七：面面平行的性質(zhì)22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示正四棱錐，，P為側(cè)棱上的點(diǎn)．且，求：(1)正四棱錐的表面積；(2)側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說(shuō)明理由．【解析】（1）正四棱錐中，，，側(cè)面的高，正四棱錐的表面積．（2）在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足．理由如下：取中點(diǎn)為，因?yàn)椋瑒t，過(guò)作的平行線交于，連接，．在中，有，平面，平面，平面，由于，．又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面，23．（2022·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)（理））在四棱錐中，底面平分為的中點(diǎn)，，分別為上一點(diǎn)，且.(1)求的值，使得平面；【解析】（1）證明：在中，為直角，且，所以，可得，又因?yàn)槠椒郑?，因?yàn)?，由余弦定理可得，所?當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，因?yàn)?，且平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱柱中，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，且平面平面，試求的值.【解析】連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：由棱柱的性質(zhì)可知，四邊形為平行四邊形，所以，為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫嫫矫妫?，則為的中點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因?yàn)椋裕倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，，因此?經(jīng)典題型八：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定25．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）在正方體中，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，記平面平面，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】D【解析】由題意得，，平面,平面,則平面，又平面平面，∴，因?yàn)槠矫?平面,故平面,因此平面．故D正確而，平面,平面,則平面,故平面,選項(xiàng)A錯(cuò)誤，同理選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由于與相交不垂直，故與平面不垂直，因此不垂直平面，故C錯(cuò)誤；故選：D．26．（2022·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與相交 B．C．平面 D．平面【答案】B【解析】對(duì)于A，由題意可作圖如下：因?yàn)榕c異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接在正方體中，如下圖：，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以平面，平面，所以，故B正確；對(duì)于C，連接，如下圖：可得平面，因?yàn)榕c不平行，所以不垂直平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取中點(diǎn)，連接，如下圖：則，因?yàn)榻黄矫嬗?，不平行平面，即不平行平面，故D錯(cuò)誤．故選：B.27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是平面內(nèi)的兩條直線，是空間的一條直線，則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以且；當(dāng)且，，但，是否相交無(wú)法判斷，所以可能成立，也可能不成立．綜上，“”是“且”的充分不必要條件．故選：A．28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知是正方體的中心O關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．與是異面直線 B．平面C． D．平面【答案】B【解析】連接、，交于點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn).連接、、、、.由題可知，在平面上，所以與共面，故A錯(cuò)誤；在四邊形中，且，所以四邊形為平行四邊形..平面，平面，平面，故B正確；由正方體的性質(zhì)可得，因?yàn)椋?，又，平面，，又，，而與所成角為，所以顯然與不垂直，故C錯(cuò)誤；顯然與不垂直，而平面，所以與平面不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.經(jīng)典題型九：證明線線垂直29．（2022·河北邯鄲·高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，平面平面.(1)證明：；【解析】（1）證明：由題意，設(shè)，又，得，又，所以，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，又平面，所以；30．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)高三開學(xué)考試（文））如圖，三棱柱中，，交于點(diǎn)O，AO⊥平面.(1)求證：；【解析】（1）證明：∵AO⊥平面，平面，∴，∵，，∴，∴四邊形為菱形，∴，又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴.31．（2022·安徽·合肥市第十模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：；【解析】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因?yàn)?，，，則，所以，又，平面，平面，所以平面，平面，所以.經(jīng)典題型十：證明線面垂直32．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是菱形，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；【解析】（1）證明：連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，即，所以，又，平面，所以平面?3．（2022·遼寧朝陽(yáng)·高三階段練習(xí)）如圖，在多面體中，平面，四邊形是平行四邊形.為的中點(diǎn).(1)證明:平面.【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，則，而，，平面，于是得平面，因，且為的中點(diǎn)，即有，又，因此四邊形是平行四邊形，則，所以平面．34．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是菱形，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；【解析】（1）連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，平面，所?因?yàn)?，即，所?又，平面，平面，所以平面；經(jīng)典題型十一：證明面面垂直35．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在三棱柱中，平面平面，三角形是等邊三角形，，．(1)證明：平面平面；【解析】（1）證明：因?yàn)?，，，所以，則，即，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫云矫?，又平面，所以平面平面?6．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在以P，A，B，C，D為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD為等腰梯形，∥，，平面平面，．(1)求證：平面平面；【解析】（1）（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?7．（2022·福建省連城縣第一高三階段練習(xí)）如圖（一）所示，四邊形ABCD是等腰梯形，，，，，過(guò)D點(diǎn)作，垂足為E點(diǎn)，將沿DE折到位置如圖（二）所示，且.(1)證明：平面平面EBCD；【解析】（1）證明：在等腰梯形中，，所以，所以，因?yàn)?，，，可得，，，在中，由余弦定理得，在等腰梯形中，，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)槊鍱BCD，，所以面,因?yàn)槊?，所以平面平?38．（2022·江蘇省高郵高三開學(xué)考試）在四棱錐中，．(1)證明：平面平面﹔【解析】（1）在平面四邊形ABCD中，，所以四邊形ABCD是等腰梯形，過(guò)點(diǎn)作于,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，所以,,，所以，所以，又，BC，平面，所以平面，

又平面，所以，平面平面.1．（多選題）（2022·全國(guó)·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】如圖，連接、，因?yàn)椋灾本€與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD2．（多選題）（2021·全國(guó)·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.3．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．求證：平面；【解析】證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，平面，故平面.4．（2022·全國(guó)·高考真題（理））在四棱錐中，底面．證明：；【解析】證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)椋运倪呅螢榈妊菪?，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角