專題13平方根立方根實(shí)數(shù)壓軸題八種模型全

專題13平方根、立方根、實(shí)數(shù)壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【類型一利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】 1【類型二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)根式】 2【類型三求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】 4【類型四與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題】 5【類型五算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用】 8【類型六實(shí)數(shù)的大小比較】 10【類型七程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算】 11【類型八新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 13【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 14【典型例題】【類型一利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】例題：（2023秋·北京豐臺(tái)·九年級(jí)北京豐臺(tái)二中?？奸_學(xué)考試）若，則．【答案】2【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，的值，代入代數(shù)式計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：由題意得，，，，，，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及求代數(shù)式的值，利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)求出，的值是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若a，b為實(shí)數(shù)，且，則．【答案】【分析】首先根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性得到，，然后代入求解即可．【詳解】∵∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．2．（2023春·河南·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x，y滿足，求的算術(shù)平方根．【答案】3【分析】由算術(shù)平方根的含義可得，再解方程，求解代數(shù)式的值及算術(shù)平方根即可．【詳解】解：，且，∴，當(dāng)時(shí)，，∴9的算術(shù)平方根是3．【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根的含義，熟記非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與算術(shù)平方根的含義是解本題的關(guān)鍵．【類型二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)根式】例題：（2023春·云南曲靖·七年級(jí)?？计谥校┮阎c(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)a、b、c的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：．【答案】b【分析】根據(jù)數(shù)軸可知，則可知，，即可根據(jù)平方根，立方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】根據(jù)數(shù)軸可知，則可知，，故答案為：b．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根、立方根的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸得出數(shù)與0的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)【答案】【分析】由數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，且離原點(diǎn)的距離大小即為絕對(duì)值的大小，判斷出的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義、算術(shù)平方根及立方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)所求式子，合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．【詳解】由數(shù)軸可知：，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、整數(shù)的運(yùn)算、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根及立方根的性質(zhì),掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：的結(jié)果為．【答案】【分析】先判斷和的正負(fù)，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義，算術(shù)平方根和立方根的意義化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義，算術(shù)平方根和立方根的意義，以及整式的加減，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【類型三求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】例題：（2023春·遼寧大連·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則_________，_________．【答案】【分析】根據(jù)首先確定的值，則小數(shù)部分即可確定．【詳解】解：，，則．故答案是：3，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問(wèn)題．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）的整數(shù)部分是______．小數(shù)部分是_______．【答案】3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分求解的方法直接進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為；故答案為3，．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握求一個(gè)算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a﹣b的值為______．【答案】．【分析】先求出介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，即可求出它的整數(shù)部分，再用減去它的整數(shù)部分求出它的小數(shù)部分，再代入即可.【詳解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查的是帶根號(hào)的實(shí)數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法，利用平方找到它的取值范圍是解決此題的關(guān)鍵.【類型四與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題】例題：（2023春·江西南昌·七年級(jí)南昌二中?？计谀┯^察表格，回答問(wèn)題：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①已知，則；②已知，若，用含m的代數(shù)式表示b，則b＝；(3)試比較與a的大小．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)0.1；10；100(2)①31.6；②(3)；或0；【分析】（1）由表格得出規(guī)律，求出x，y和z的值即可；（2）根據(jù)得出的規(guī)律確定出所求即可；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，分類討論a的范圍，比較大小即可．【詳解】（1），，．故答案為：0.1；10，100；（2）①∵，∴．②∵結(jié)果擴(kuò)大100倍，則被開方數(shù)擴(kuò)大10000倍，∴．故答案為：31.6；；（3）由表格中數(shù)據(jù)可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故答案為：；或0；．【點(diǎn)睛】此題考查了算術(shù)平方根的規(guī)律問(wèn)題，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察表格回答下列問(wèn)題：a…0.00010.01110010000……x1y100…(1)表格中，．(2)從表格中探究a與數(shù)位之間的變化規(guī)律，并利用規(guī)律解決下面問(wèn)題：①已知，則．②已知，若，則a＝．【答案】(1)；10(2)①；②25600【分析】（1）利用算術(shù)平方根的定義即可得出答案；（2）①根據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律，繼而求得答案；②根據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)規(guī)律，繼而求得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，．故答案為：；10．（2）解：①由表格中數(shù)據(jù)可得，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每往右移動(dòng)兩位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動(dòng)一位，已知，則，故答案為：；②由①可得被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每往右移動(dòng)兩位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動(dòng)一位，已知，則，∵，∴．故答案為：25600．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)式規(guī)律問(wèn)題、算術(shù)平方根的定義等知識(shí)點(diǎn)，從表格數(shù)據(jù)總結(jié)出數(shù)式變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市東莞中學(xué)校考期中）（1）填空：__________，__________；__________，__________．（2）請(qǐng)按以上規(guī)律計(jì)算：①；②．（3）已知，，用含，的式子表示．【答案】（1），，，；（2）①，；（3）【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律即可求解；（3）根據(jù)（1）的規(guī)律即可求解．【詳解】解：（1）填空：，；，，故答案為：，，，（2）①，②；（3）∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)是算術(shù)平方根，算術(shù)平方根規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【類型五算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用】例題：（2023春·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整數(shù)部分．(1)求和的值；(2)求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，(2)3【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根，立方根的定義，求得和的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，代入代數(shù)式，然后求得算術(shù)平方根即可求解．【詳解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，∴，，即，；（2）解：∵，∴∵是的整數(shù)部分，∴，由（1）知，，所以，那么9的算術(shù)平方根是3，即的算術(shù)平方根是3．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根、無(wú)理數(shù)的估算等知識(shí)內(nèi)容，難度較小，注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·甘肅定西·七年級(jí)校考期末）已知的兩個(gè)平方根分別是，的立方根為2．(1)求的平方根；(2)若的算術(shù)平方根是3，求的立方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根的意義求出字母的值，再求的平方根即可；（2）求出的值，再求的立方根即可．【詳解】（1）解：∵的兩個(gè)平方根分別是，的立方根為2．∴，，解得，，，，∵，∴的平方根是．（2）解：∵的算術(shù)平方根是3，∴，

∵，∴，，∵，∴的立方根是．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根和立方根，解題關(guān)鍵是根據(jù)平方根和立方根的意義求出字母的值，會(huì)熟練求一個(gè)數(shù)的平方根和立方根．2．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）已知：的立方根是3，的算術(shù)平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求的平方根．(2)若的整數(shù)部分為m，的小數(shù)部分為n，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)立方根與算術(shù)平方根，平方根的含義可得：，，，從而可得答案；（2）由，，可得，的值，從而可得答案.【詳解】（1）解：由題得：，，，解得，，∴．則的平方根為：（2）由（1）可求，∵，，

∴，，

則.【點(diǎn)睛】本題考查的是立方根，平方根，算術(shù)平方根的含義，無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分，熟記基本概念是解本題的關(guān)鍵.【類型六實(shí)數(shù)的大小比較】例題：（2023春·廣東惠州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大小：______，______；【答案】【分析】根據(jù)被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根越大可比較的大小，根據(jù)比較近似值的方法可比較的大小，從而可得答案．【詳解】解：，，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，掌握比較的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）比較實(shí)數(shù)大?。篲_____（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查比較實(shí)數(shù)大?。炀氄莆諢o(wú)理數(shù)的估算，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比較大小：_____．（填寫“”、“”或“”）【答案】【分析】利用作差法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，熟知作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．【類型七程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算】例題：（2023·陜西咸陽(yáng)·二模）程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，根據(jù)如圖的程序進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)輸入的值為64時(shí)，輸出的值是__________．【答案】【分析】根據(jù)程序框圖進(jìn)行運(yùn)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，取算術(shù)平方根為，8是有理數(shù)，取立方根，2是有理數(shù)，取算術(shù)平方根，是無(wú)理數(shù)，輸出，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、立方根，無(wú)理數(shù)、有理數(shù)，程序框圖．解題的關(guān)鍵在于理解框圖以及對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖是小明用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的計(jì)算小程序，當(dāng)輸入為時(shí)，輸出的值是____________【答案】【分析】將代入程序進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，輸出，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算，掌握求一個(gè)數(shù)的立方根，算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶渝北·九年級(jí)禮嘉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）按如圖所示程序計(jì)算，若輸入的x為，則輸出結(jié)果為___________．【答案】【分析】根據(jù)程序圖及算術(shù)平方根的計(jì)算方法，依次計(jì)算即可．【詳解】解：第一次運(yùn)算，輸入，取算術(shù)平方根為4，返回繼續(xù)運(yùn)算；第二次運(yùn)算，輸入4，取算術(shù)平方根為2，返回繼續(xù)運(yùn)算；第三次運(yùn)算，輸入2，取算術(shù)平方根為，是無(wú)理數(shù)，輸出結(jié)果．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根及程序圖的計(jì)算，理解程序圖的運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．【類型八新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】例題：（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）規(guī)定一種運(yùn)算：，其中，為實(shí)數(shù)．例如：，則的值為__________．【答案】【分析】讀懂新定義，利用新定義計(jì)算．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查新定義實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解新定義的運(yùn)算方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）定義一種運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，則的值為_________．【答案】【分析】根據(jù)題目所給的定義得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則方程的解是___________．【答案】或【分析】直接利用當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別得出等式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，故，解得：，當(dāng)時(shí)，，，故，解得：，綜上所述：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的值為（

）A．3 B．﹣3 C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)絕對(duì)值與二次根式的非負(fù)性即可求解．【詳解】解：依題意得，，解得，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的非負(fù)性．2．（2023春·江西南昌·七年級(jí)?？计谥校┫铝械仁秸_的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的求法進(jìn)行計(jì)算，再得出選項(xiàng)即可．【詳解】解：A．，故本選項(xiàng)符合題意；B．無(wú)意義），故本選項(xiàng)不符合題意；C．，而，故本選項(xiàng)不符合題意；D．，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了立方根和算術(shù)平方根，能熟記相應(yīng)的求法是解此題的關(guān)鍵．3．（2023春·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把各數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而可得，，的大小關(guān)系．【詳解】解：，，，∵，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根和立方根的意義，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的規(guī)律可得，系數(shù)為，字母為，指數(shù)為1開始的自然數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，找到單項(xiàng)式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·湖北恩施·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，，由，可得，分別計(jì)算，時(shí)代數(shù)式的值即可．【詳解】解：由題意知，，，∵，∴，當(dāng)，，當(dāng)，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，平方根，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．二、填空題5．（2023春·安徽亳州·七年級(jí)?？计谥校┍容^大小：．（填“>”“<”或“=”）【答案】<【分析】根據(jù)，，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的大小比較即可．【詳解】解：∵，，又∵，∴，故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，把二次根式通過(guò)平方的方法，平方的值越大，算術(shù)平方根越大．6．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則，．【答案】6/【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算方法，求得介于整數(shù)2和3之間即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴，，∴，，故答案為：6，．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解答的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖：當(dāng)輸入的時(shí)，輸出的y等于．【答案】【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)換程序把4代入求值即可．【詳解】解：4的算術(shù)平方根為：，則2的算術(shù)平方根為：．故輸出的值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確把握運(yùn)算規(guī)律是解題關(guān)鍵．8．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谥校?shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，已知，化簡(jiǎn)．【答案】0【分析】利用實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置確定，，的符號(hào)，利用已知條件得到，再利用算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)運(yùn)算即可．【詳解】解：由題意得：，∴，，∵，∴，∴．∴原式．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，算術(shù)平方根，絕對(duì)值的意義，利用實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置確定，，的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·甘肅定西·七年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)小組的同學(xué)在研究數(shù)的變化規(guī)律時(shí)，得到如下的等式：，則第個(gè)等式是.【答案】【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)的整數(shù)部分與分子相同，分母比分子的平方小1，然后根據(jù)被開方數(shù)的整數(shù)部分可以直接放到分號(hào)外面寫出第個(gè)等式即可.【詳解】解：∵；∴第個(gè)等式為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根中的規(guī)律題，理解題意掌握題中規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）已知：，當(dāng)，取不同的值時(shí)，也有不同的值，當(dāng)最小時(shí)，的算術(shù)平方根為．【答案】1【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性確定a，b的值，然后求得ba的算術(shù)平方根即可．【詳解】解：已知，，，當(dāng)，時(shí)，有最小值0，則，，那么，則的算術(shù)平方根為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的非負(fù)性及算術(shù)平方根，結(jié)合已知條件求得a，b的值是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知的立方根是，，是的算術(shù)平方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由“的立方根是”可求，由可求，由“是的算術(shù)平方根”即可進(jìn)一步求；（2）根據(jù)，，的值即可求解．【詳解】（1）解：因?yàn)榈牧⒎礁?，所以，解得．因?yàn)?，所以，即，解得．因?yàn)槭堑乃阈g(shù)平方根，所以，所以．（2）解：因?yàn)?，，，所以，所以的平方根是．【點(diǎn)睛】本題綜合考查立方根和平方根問(wèn)題．掌握相關(guān)定義及計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．12．（2023春·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖一只螞蟻從點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右爬了個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)表示，設(shè)點(diǎn)所表示的數(shù)為．(1)求的值；(2)在數(shù)軸上還有、兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且有與為相反數(shù)，求的平方根．【答案】(1)2(2)【分析】（1）先由題意解得，再運(yùn)用絕對(duì)值的知識(shí)求解此題結(jié)果；（2）先運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得c，d的值，再運(yùn)用平方根知識(shí)求解此題結(jié)果即可．【詳解】（1）由題意得，，，，；（2）由題意得，，，，解得，，，的平方根是，的平方根為．【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)、非負(fù)數(shù)和平方根解決問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)進(jìn)行正確地求解．13．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一個(gè)按運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行的數(shù)值轉(zhuǎn)換器：(1)若輸入的x為16，則輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，則x的值是；(3)若輸出y的值是，請(qǐng)寫出兩個(gè)滿足要求的x值．【答案】(1)(2)0或1(3)5，25（答案不唯一）【分析】（1）由，，，即可得到答案；（2）根據(jù)1和0的算術(shù)平方根還等于它本身，即可做出解答；（3）根據(jù)題意寫出兩個(gè)滿足要求的x值即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴輸入的x為16，輸出的y值是，故答案為：（2）∵1和0的算術(shù)平方根還等于它本身，∴輸入0或1后，始終輸不出y值，故答案為：0或1（3）∵，5的算術(shù)平方根是，∴兩個(gè)滿足要求的x值可以是25或5．故答案為：5，25（答案不唯一）【點(diǎn)睛】此題考查了算術(shù)平方根、實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握算術(shù)平方根的求法是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列解題