專題06導數(shù)與函數(shù)的零點問題（練）【解析版】

第一篇熱點、難點突破篇專題06導數(shù)與函數(shù)的零點問題（練）【對點演練】一、單選題1．（2022·河南駐馬店·高三期中（文））已知函數(shù)，，，實數(shù)是函數(shù)的一個零點，下列選項中，不可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點的存在性定理即可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為,所以恒成立,所以在定義域上是單調(diào)減函數(shù)，當時，，又因為，，所以，當，，都為負值，則都大于，故A,D可能成立;當，，，則都小于，大于.故B可能成立;綜合可得，不可能成立.故選:C.2．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預測（理））定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；且當時，．則方程所有的根之和為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】A【分析】根據(jù)題意函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，再根據(jù)當時，，求導分析函數(shù)的單調(diào)性，從而畫出簡圖，根據(jù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解零點和即可.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴，又∵關(guān)于直線對稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，又，所以，故為周期函數(shù)，周期為4，當時，，所以在上單調(diào)遞增，作函數(shù)圖象如下方程可化為，方程的解即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點的橫坐標，作函數(shù)的圖象，∴方程的所有實根之和為.故選：A．3．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預測（理））已知函數(shù)（其中，）有兩個零點，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)、方程的解個數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)之間的關(guān)系可得方程有2個不同的解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得，即函數(shù)與圖象在上有2個交點，利用導數(shù)求出，即可求解.【詳解】函數(shù)有2個零點，則方程有2個不同的解，方程，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，即，則函數(shù)與圖象在上有2個交點.設(shè)函數(shù)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得.故選：D.4．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市第一模擬預測（理））已知，若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.【詳解】由題意，得，當，時，，單調(diào)遞增，當，時，，單調(diào)遞減，易知當時，有極大值，極大值；當時，有極大值，極大值，，畫出函數(shù)的大致圖象與直線如圖所示，則由圖像可得，當或時，的圖象與直線有三個交點，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A5．（2022·青海·海東市教育研究室高二期末（文））已知函數(shù)在上有零點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由參變量分離法可知關(guān)于的方程在上有解，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，即為實數(shù)的最小值.【詳解】函數(shù)在上有零點，等價于關(guān)于的方程在上有解，即在上有解.令，則.由，得；由，得.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，，所以，則，即的最小值為.故選：D.6．（2022·山東德州·高三期中）已知定義在上的函數(shù)，若的圖像與軸有4個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的圖像與軸有4個不同的交點，轉(zhuǎn)化為與有4個不同的交點，畫出二者函數(shù)圖像，求出與恰有3個交點的臨界直線的斜率，即可求的取值范圍.【詳解】因為的圖像與軸有4個不同的交點，所以與有4個不同的交點，作出二者圖像如下圖：易知直線恒過定點，斜率為a，當直線與相切時是一種臨界狀態(tài)，設(shè)此時切點的坐標為，則，解得，所以切線為，此時有三個交點；當直線過點時，，此時有四個交點；綜上所述：，故選：A.7．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測）已知函數(shù)，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)解析式研究、的函數(shù)性質(zhì)，由零點個數(shù)知與的交點橫坐標一個在上，另一個在上，數(shù)形結(jié)合可得，且，，進而可得代入目標式，再構(gòu)造函數(shù)研究最值即可得解.【詳解】由解析式，在上單調(diào)遞增且值域為，在上單調(diào)遞增且值域為，函數(shù)圖象如下：所以，的值域在上任意函數(shù)值都有兩個x值與之對應(yīng)，值域在上任意函數(shù)值都有一個x值與之對應(yīng)，要使恰有三個不同的零點，則與的交點橫坐標一個在上，另一個在上，由開口向下且對稱軸為，由上圖知：，此時且，，結(jié)合圖象及有，，則，所以，且，令且，則，當時，遞增；當時，遞減；所以，故最大值為.故選：A二、多選題8．（2022·福建·泉州高三期中）是定義在上的函數(shù)，滿足，，則下列說法正確的是（

）A． B．當時，方程有兩個解C． D．當時，方程有且只有一個解【答案】CD【分析】首先根據(jù)條件求出的表達式,再求導，分析的圖像，結(jié)合圖像即求解.【詳解】，將代入得，又，解得，故A錯；令，，則，為任意常數(shù).,..，當時，,單調(diào)遞增，當，單調(diào)遞減,在處取最大值.作圖如下：則方程有兩個解，即與的圖像有兩個交點，,則B錯誤；由上圖可知，，C正確；當時，與的圖像有一個交點，符合題意，D正確.故選：CD三、填空題9．（江西省九江市十校2023屆高三上學期11月聯(lián)考數(shù)學（文）試題）已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】通過分離參數(shù)得，研究函數(shù)的單調(diào)性，極值點，零點，從而得到其大致圖像，則得到的范圍，解出即可.【詳解】當時，此時，顯然無零點.當時，得，令，，分別令，，前者解得，，后者解得或，故在，遞減，遞增.故的極小值為，極大值為，令，顯然分母，則分子，，則有唯一零點0，作出大致圖像如圖所示：所以，解得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.10．（2022·北京十高三期中）已知函數(shù).①若，則函數(shù)的零點有______個；②若存在實數(shù)，使得函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】

2

【分析】空1：通過分類討論解方程判斷零點個數(shù)；空2：根據(jù)題意可得與有3個交點，在同一坐標系作出與的圖象，分類討論結(jié)合圖象分析求解.【詳解】空1：若，則函數(shù)，令，則有：當時，，解得或或（舍去）；當時，，解得（舍去）；故函數(shù)的零點為，共2個.空2：對于函數(shù)，則，令，則∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，令，則，由題意可得：與有3個交點，如圖，在同一坐標系作出與的圖象，則有：當時，存在，使得與有3個交點，即成立；當時，與至多有2個交點，即不成立；當時，存在，使得與有3個交點，即成立；當時，與至多有2個交點，即不成立；故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：2；.【沖刺提升】一、單選題1．（2023·陜西西安·高三期末（理））已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題首先通過函數(shù)奇偶性求出，再利用導數(shù)研究其在上的零點個數(shù)即可.【詳解】當時，，當時，，，，且定義域為，關(guān)于原點對稱，故為奇函數(shù)，所以我們求出時零點個數(shù)即可，，，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，而，故在有1零點，，故在上有1零點，圖像大致如圖所示：故在上有2個零點，又因為其為奇函數(shù)，則其在上也有2個零點，且，故共5個零點，故選：D.2．（2022·福建·福州模擬預測）已知，為函數(shù)的零點，，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．若，則C． D．a(chǎn)的取值范圍是【答案】C【分析】作圖，將看作函數(shù)與函數(shù)的交點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逐項分析即可求解.【詳解】可以看作函數(shù)與函數(shù)的作差組成，作圖如下：對于A，由草圖可知：時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故存在唯一的交點，考慮：時，

，，，當時，，，A正確；對于B，有，兩邊取對數(shù)得：，由條件可得：，聯(lián)立方程，消去得，并且，解得，B正確；對于C，當時，，

，沒有零點，即，，C錯誤；對于D，由于在時存在唯一零點，若存在3個零點，必有，考慮當時，必有2個解，兩邊取自然對數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)：，即在時必有2個零點，求導：，令，則有，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，在時，取得最小值，有2個零點的充分必要條件是，即，

，，D正確；故選：C.3．（2022·天津·高三期中）已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】把函數(shù)恰有2個零點轉(zhuǎn)化為和有兩個交點.利用圖像法解.【詳解】因為函數(shù)恰有2個零點，所以和有兩個交點.作出函數(shù)的圖像如圖所示：因為時，和相交，所以只需和再有一個交點..當時，若與相切，則有的判別式，此時.當時，若與相切，則有的判別式，此時.當時，若與相切，設(shè)切點為.則有，解得：.所以要使函數(shù)恰有2個零點，只需或或，解得：或或.故選：D二、多選題4．（2022·廣東·深圳實驗光明部高三期中）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C錯誤；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D正確.故選：AD.5．（2022·廣東·普寧市華僑高三期中）關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．當時，在處的切線方程為B．當時，存在唯一極小值點且C．對任意，在上均存在零點D．存在，在上有且只有一個零點【答案】ABD【分析】對于A選項，直接求出切線斜率利用點斜式寫出方程即可判斷正誤.對于B選項，利用二次求導得單調(diào)性，再利用零點存在性定理確定出所在區(qū)間.對于C，D選項，轉(zhuǎn)化為對于與圖像交點情況的判斷.【詳解】對于A選項，當時，，x，故，切點為(0，1).又，.則切線方程為，即，故A正確;對于B選項，時，，令，則.當時，因，則.當時，，故在(-π，+∞)上單調(diào)遞增，注意到，，有，又=>0，故在(-π，+∞)上有唯一零點，結(jié)合在(-π，+∞)上單調(diào)遞增得f(x)存在唯一極小值點，且，則，得+，則，又因則，得，故B正確.對于C選項，，，令，則，當且時，顯然沒有實根，故且則，令，有，令，得且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極小值為h=≥，的極大值為h=-≤-，故當時，與的圖像沒有交點，即在上沒有零點，故C錯誤;對于D選項，由C選項分析可知，存在，使得在上有且只有一個零點，此時，故D正確，故選：ABD.三、填空題6．（2022·安徽·合肥市第十高三階段練習）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且，函數(shù)有且只有一個零點，則的取值范圍為______【答案】【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合導數(shù)的運算公式、函數(shù)零點的定義，利用導數(shù)的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化法進行求解即可.【詳解】，設(shè)函數(shù)，即，所以，因為，所以，即，即，于是有，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞增，當時，，當時，，函數(shù)圖象如下圖所示：函數(shù)有且只有一個零點，即方程有一個實數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線有一個交點，如上圖所示：所以，因此的取值范圍為，故答案為：7．（2022·北京·匯文高三期中）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)是奇函數(shù)；

②函數(shù)在和上都單調(diào)；③當時，函數(shù)恒成立；

④當時，函數(shù)有一個零點.其中所有正確結(jié)論的序號是____________.【答案】③④【分析】由奇偶性的定義可判斷①；結(jié)合導數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可判斷②；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求當時函數(shù)的最小值，比較最小值與0的大小關(guān)系即可判斷③；由，結(jié)合函數(shù)的零點存在定理可判斷④.【詳解】由題得，的定義域為，①，且，所以不是奇函數(shù)，故①錯誤；②，當時，，則，令，則，，所以存在，使得，所以當時，，是單調(diào)減函數(shù)；當時，，是單調(diào)增函數(shù)，所以②錯誤；③由②可知，當時，在上有最小值，且，所以，因為，由，則，即，所以，所以當時，恒成立，故③正確；④當時，，，令，則令，解得，當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；所以當時，，則，所以在上單調(diào)遞減，由，，所以在內(nèi)有一個零點，故④正確.故答案為：③④四、解答題8．（2022·河南·駐馬店市第二高級高三階段練習（文））已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的方程在上有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)【分析】（1）由導函數(shù)的正負，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）方程在區(qū)間上有實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上有零點，利用導數(shù)研究單調(diào)性即可.【詳解】（1）函數(shù)，定義域為，，，解得，，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）在上有實數(shù)根，即在上有實數(shù)根，設(shè)，則，，解得，，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，在上最大值為，最小值為，在上有實數(shù)根，有，解得，實數(shù)a的取值范圍為9．（生標準學術(shù)能力診斷性測試2022-2023學年高三上學期11月測試）已知函數(shù)，.(1)若直線與曲線和都相切，求實數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上有三個不同的零點，，，且，求證：，.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)切線的方程及導數(shù)的幾何意義，列出方程求解即可；（2）分析的正負及單調(diào)性、變換趨勢，確定的零點所在區(qū)域及，由為在上的兩個零點，再由零點的分布確定求的和.【詳解】（1），,令，得，所以直線與曲線相切于點，得，設(shè)直線與曲線相切于點，則且，所以，，（2）由題意得，在上有唯一零點1，當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得到，必然存在使得，故，因為，所以存在，使得，所以在上至少有一個零點，在上至多有兩個零點，因為在上有三個不同的零點，所以1為的零點，不是的零點，進而，即，因為當時，，所以在上無零點，在上有兩個零點，，所以，因為當時，，所以在上有零點，，因為，，所以在上存在極小值，由，得，，所以，設(shè)方程，則，，，所以，，設(shè)，則，因為在遞增，且，，所以，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題通過分析函數(shù)的特點，確定出的零點分別來源于零點及所在區(qū)間是第一難點，也是關(guān)鍵點，當確定是在上兩個零點之后的求和是第二個難點，也是本題求解的關(guān)鍵點之二，方法比較獨特，不容易想到，實屬難題.10．（2022·河北·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)令，當時，討論零點的個數(shù)．【答案】(1)當時，無極值；當時，有極小值，無極大值(2)2個零點【分析】(1)根據(jù)題意，求出函數(shù)的導函數(shù)，對導函數(shù)的正負進行分類討論即可求解；(2)先對函數(shù)求導，令，對的取值范圍分類討論，利用導數(shù)的正負求出的單調(diào)性，由零點存在性定力判斷零點個數(shù)即可.【詳解】（1）的定義域為，且．①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，無極值，②當時，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在處取極小值，無極大值．綜上所知，當時，無極值；當時，有極小值，無極大值．（2）因為，所以，令，則．①當時，由，得，所以故在上無零點．②當時，，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞增，，在上有唯一零點，③當時，，在上單調(diào)遞增，，存在，使，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；又；在上有唯一零點，在上無零點，即在上有1個零點．綜上，當時，函數(shù)有2個零點．11．（山西省呂梁市2023屆高三上學期階段性測試數(shù)學試題）已知函數(shù)．證明：(1)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點；(2)有且僅有唯一零點．（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，根據(jù)零點存在定理及導數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系即得；（2）分，，，討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合零點存在定理即得.【詳解】（1）由題可得，設(shè)，則，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，又因為，，由函數(shù)零點存在定理，在區(qū)間存在唯一零點，當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）（ⅰ）由（1）當時，，單調(diào)遞增，，，所以在區(qū)間上有唯一零點；（ⅱ）當時，，單調(diào)遞減，，所以，在區(qū)間內(nèi)不存在零點；（ⅲ）當時，，所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點；（ⅳ）下面證明：當時，，因為，令，，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，又，，所以，即在區(qū)間內(nèi)，恒成立，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，所以當時，，在區(qū)間內(nèi)不存在零點；綜上，有且僅有唯一零點．12．（2022·湖北·高三期中）已知函數(shù)的周期為，圖像的一個對稱中心為，將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍(