專題02不等式的性質(zhì)解法與均值定理(解析版)

專題02不等式的性質(zhì)解法與均值定理目錄一常規(guī)題型方法1題型一不等式的性質(zhì)1題型二一元二次不等式4題型三其他不等式9題型四由均值定理求積與和的最值12題型五均值不等式化“1”法16題型六均值不等式構(gòu)造法20二針對性鞏固練習(xí)24練習(xí)一不等式的性質(zhì)24練習(xí)二一元二次不等式25練習(xí)三其他不等式27練習(xí)四由均值定理求積與和的最值28練習(xí)五均值不等式化“1”法31練習(xí)六均值不等式構(gòu)造法33常規(guī)題型方法題型一不等式的性質(zhì)【典例分析】典例1-1．（2022·北京市陳經(jīng)綸高一期中）若實數(shù)a，b，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)，逐項分析即可求解.（解決此題的關(guān)鍵是熟記不等式的性質(zhì)）【詳解】由題意可得，實數(shù)且，若，則，故A錯誤；若，則，故B錯誤；若，則，故C錯誤；已知，，則恒成立，故D正確；故選：D.典例1-2．（2022·北京·首師大附中昌平高一期中）下列命題是真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：當(dāng)時，，是假命題，故錯誤；對B：當(dāng)時，滿足，但，是假命題，故錯誤；對C：當(dāng)時，滿足，但，，是假命題，故錯誤；對D：若，根據(jù)不等式的性質(zhì)，，是真命題.故選：D.典例1-3．（北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知，則m和n的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作差比較可得.【詳解】因為，所以.故選：A典例1-4．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一期中）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求的范圍，再求的范圍.【詳解】因為，所以，而，所以.故選：B【方法技巧總結(jié)】1.不等式的性質(zhì)有：對稱性、傳遞性、可加性（同向可加性，異向可減性）、可積性（同向正數(shù)可乘性，異向正數(shù)可除性）、平方法則、開方法則、倒數(shù)法則。2.技巧：性質(zhì)的應(yīng)用要注意正負(fù)，如果不方便用性質(zhì)可以在滿足條件的前提下進(jìn)行代數(shù)驗證，進(jìn)而排除選項。3.比較大小可用作差法或作商法【變式訓(xùn)練】1．（北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用列舉法可直接求解【詳解】對A，，但，故A錯誤；對B，，但，故B錯誤；對C，，故C正確；對D,，但，故D錯誤.故選：C2．（2022·河南南陽·高一期中）下列命題為真命題的是（

）．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】取特殊值可判斷AC，作差法可判斷B，由不等式的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，因為，所以，得，故B正確；對于C，取，即可判斷C錯誤；對于D，因為，所以，故D錯誤．故選：B3．（新疆兵團(tuán)地州2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作差法比較兩數(shù)的大小.【詳解】因為，所以.故選：B4．（2022·山東·濱州高新高級高一階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，再利用不等式性質(zhì)即可得答案.【詳解】由可得，而，故，故選：C題型二一元二次不等式【典例分析】典例2-1．（2022·福建省泉州市培元高一階段練習(xí)）若不等式的解集為，則不等式的（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】依題意可得、為方程的兩根且，利用韋達(dá)定理得到、，則不等式化為，解得即可.【詳解】解：因為不等式的解集為，所以、為方程的兩根且，所以，所以、，所以不等式，即為，即，即，解得，即不等式的解集為；故選：C典例2-2．（2022·山西·晉城市第高一階段練習(xí)）已知集合，，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解一元二次不等式求出集合，再由，列不等式組可求得結(jié)果.【詳解】，或，因為，所以，解得，故選：C典例2-3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都大于2，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，根據(jù)二次方程根的分布可得式子，計算即可.【詳解】令由題可知：則，即故選：C典例2-4．（2022·北京市第五十高一階段練習(xí)）對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】分類討論當(dāng)時和兩種情況，即可求解.【詳解】當(dāng)，即時，恒成立，滿足題意.當(dāng)時，則有，解得：綜上，實數(shù)的取值范圍是故選：B【方法技巧總結(jié)】1.一元二次不等式口訣：小于取中間，大于取兩邊，但前提是x平方前的系數(shù)為整數(shù)，另外也可以畫二次函數(shù)圖像來解一元二次不等式。2.含參的一元二次不等式要注意討論的方向，一般先討論開口方向，然后十字相乘，再對含參的根進(jìn)行大小比較，最后在不同情況下下結(jié)論。3.一元二次方程根的分布：有五種不同模型，以根的判別式、對稱軸、端點值的正負(fù)三方面求參數(shù)的范圍?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·山西·太原高一階段練習(xí)）不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的解集可得對應(yīng)方程的解，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得與的值，進(jìn)而解不等式.【詳解】由不等式的解集為，可知方程有個不同的實根，，，即或，解得，所以，解得，故選：A.2．（2022·北京·和平街第一高一階段練習(xí)）若集合，，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分、、三種情況分別求出集合，根據(jù)得到不等式組，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由，即，解得，所以，又，因為，當(dāng)時，顯然不滿足題意，當(dāng)時，也不符合題意，當(dāng)時，所以，解得；故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把方程的根轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點問題，恰有一個零點屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過點或者，另一個零點屬于，把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個交點，，解得，經(jīng)檢驗，當(dāng)時滿足方程恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi);綜上：實數(shù)m的取值范圍為故選：D4．（2022·廣東·高一期中）已知函數(shù)，，若對于任意，均有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】問題等價于在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式可求取范圍.【詳解】設(shè)，恒成立，即恒成立，時，恒成立，即恒成立，時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴的最小值為4．∴，解得，實數(shù)的取值范圍是．故選：C．題型三其他不等式【典例分析】典例3-1．（2022·江西省豐城高一期中）若“”是“”的充分而不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．1<a≤3 B． C． D．【答案】B【分析】先將兩個不等式分別化簡，然后根據(jù)題意列出不等式，求解即可.【詳解】因為，則因為，則即是的充分而不必要條件，所以故選:B.典例3-2．（2022·江蘇·鹽城高三階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)高次不等式的解法求出集合，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】解：，令，因為都是增函數(shù)，所以函數(shù)為增函數(shù)，又，所以不等式的解為，所以.故選：A.典例3-3．（2021·山東·德州市陵城區(qū)翔龍高級高一階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式分別求出集合、，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】解：由，即，所以，即，由，即，所以，所以，所以，則；故選：C【方法技巧總結(jié)】1.其他不等式有：分式不等式、絕對值不等式、高階不等式、根式不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式等。2.技巧：分式不等式可同乘分母的平方來去分母，且需注意最后結(jié)果要考慮分母不為零；絕對值不等式和根式不等式都是同時平方；高階不等式用穿針引線法，注意“奇穿偶不穿”；指對不等式需化同底，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·河南·高一階段練習(xí)）若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別解絕對值不等式與分式不等式，然后求交集即可.【詳解】，，所以，，所以.故選：A2．（2022·安徽省亳州市第一高三階段練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】原式可化為，解不等式即可．【詳解】解：原式可化為，即或，解得：或．∴不等式解集為：．故選：D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合,即得解.【詳解】所以，故選：C題型四由均值定理求積與和的最值【典例分析】典例4-1．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知，若，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式的性質(zhì)，解一元二次不等式即可得出結(jié)果.【詳解】由，得，所以，令，則，解得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的最大值為1，故選：A．典例4-2．（2022·安徽·蕪湖高一階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊思想結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】，由得：，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由解得，所以當(dāng)時，取得最小值4.故選：A典例4-3．（2022·江蘇省灌南高級高三階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】B【分析】結(jié)合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.【詳解】選項A，，，等號成立的條件是，等號取不到，所以，故A錯誤；選項B，當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B正確；選項C，，，等號成立的條件是，等號取不到，即，故C錯誤；選項D.當(dāng)時，，等號成立的條件是，即時等號成立，故，故D錯誤.故選：B典例4-4．（2020·寧夏·石嘴山市第三高三階段練習(xí)（文））若，則函數(shù)（

）A．有最大值10 B．有最小值10C．有最大值6 D．有最小值6【答案】B【解析】根據(jù)題中條件，將函數(shù)化為，再由基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.即函數(shù)有最小值，再由結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上無最大值.故選：B.【點睛】本題主要考查由基本不等式求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題型.【方法技巧總結(jié)】1.技巧：均值不等式求最值得關(guān)鍵在于“一正二定三相等”。一正：各項必須為正；二定：要求積的最大，其和必為定值，要求和的最小，其積必為定；三等：必須驗證等號成立的條件。2.相關(guān)拓展推式：（1）（2）（3）（4）【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川成都·高二期中（理））若正實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解：由題知：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以，的最大值為故選：B2．（2017·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所高二學(xué)業(yè)考試）已知點在直線上運動，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解：由題知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以，的最小值是.故選：B3．（2022·寧夏·石嘴山市第三高二階段練習(xí)（理））下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于選項A、C、D中利用基本不等式即可判定，對于B中，可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定，即可求解，得到答案.【詳解】解：由題意，對于A中，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以函數(shù)的最大值為，不符合題意；對于B中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，不符合題意；對于C中，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以最小值為，符合題意；對于D中，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即（顯然不成立），所以最小值取不到2.故選：C.4．（2020·云南·昭通市昭陽區(qū)第一高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【分析】利用湊配法和換元法,將函數(shù)的解析式化為對勾函數(shù)的形式,結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),得到答案.【詳解】函數(shù),令，則,令，則的定義域為，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在2,+∞上單調(diào)遞增，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),故當(dāng)時,,所以函數(shù)取最小值,故選：A.【點睛】本題考查對勾函數(shù)的單調(diào)性和最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)依分母變化分子，化成對勾函數(shù)的形式，注意自變量的范圍，屬于中檔題.題型五均值不等式化“1”法【典例分析】典例5-1．（2022·浙江寧波·高一期中）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．7 B．14 C．18 D．9【答案】D【分析】利用，再根據(jù)基本不等式即可求解．【詳解】解：∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故的最小值是9．故選：D．典例5-2．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知,且,則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)換底公式,找出的關(guān)系,再用“1”的代換,求出最小值.【詳解】解:由題知,根據(jù)換底公式該等式可化為,,當(dāng)且僅當(dāng)時成立最小值為.故選:D典例5-3．（2022·北京市第五十七高一階段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)、滿足，則下列說法不正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】C【分析】利用基本不等式判斷A、B、D，利用特殊值判斷C；【詳解】解：因為正實數(shù)、滿足，對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故A正確；對于B，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；對于C，當(dāng)，時，，故C錯誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：C．典例4-4．（2022·四川·簡陽市陽安高三階段練習(xí)（文））若兩個正實數(shù)、滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因為兩個正實數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即，解得.故選：C.【方法技巧總結(jié)】1.方法流程：首先，條件化“1”，然后，把其與問題相乘，再將其括號展開變?yōu)樗捻棧詈笾苯邮褂镁刀ɡ砬蟪鲎钪怠?.注意：需再讀題時觀察條件和問題，是否滿足“兩分子，兩分母分別相加”的形式，也需注意變量范圍和取等情況。【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇省灌南高級高一階段練習(xí)）已知，且，則最小值為（

）A．9 B． C．7 D．【答案】B【分析】由可得，利用“1”的妙用化簡后，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)“”即“”時，等號成立.故選：B.2．（2022·福建省長汀縣第一高一階段練習(xí)）若，，且，那么的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用“1”的代換法與基本不等式，求出的最小值即可．【詳解】，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立．所以的最小值為．故選：D．3．（2022·江蘇·常州市北郊高級高二開學(xué)考試）設(shè)正實數(shù)x，y滿足，則（

）A．的最大值是 B．的最小值是8C．的最小值為 D．的最小值為2【答案】C【分析】A基本不等式求積最大值；B應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值；C、D應(yīng)用基本不等式求和最值；【詳解】A：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，錯誤；B：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，錯誤；C：，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，正確；D：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，若有最小值不可能為2，錯誤.故選：C4．（2022·新疆·兵團(tuán)第一師高級高一階段練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過恒成立，則，所以問題轉(zhuǎn)化為求，而，可以化簡為，所以通過1的代換對進(jìn)行化簡，得到，通過基本不等式得到，從而求出的范圍.【詳解】若恒成立，則，且當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，即故選：A題型六均值不等式構(gòu)造法【典例分析】典例6-1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期中）設(shè)x，y均為正實數(shù)，且，則x＋y＋4的最小值為（

）A．12 B．20 C．13 D．10【答案】A【分析】運用拼湊法和基本不等式即可求解.【詳解】因為x，y均為正實數(shù)，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時，取等號；故選：A.典例6-2．（2021·天津·高一期末）若，且，則的最小值為（

）A．8 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)，得，將變形為，再與相乘，利用基本不等式即可求解.【詳解】，又，，則，又，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時不等式取最小值2.故選：C典例6-3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得出，將與相乘，利用基本不等式可求得的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，，則，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時等號成立．又恒成立，所以．故選：C.【方法技巧總結(jié)】1.構(gòu)造法是利用配湊的方法將條件或問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得整道題可以使用直接法或是化“1”法來進(jìn)行求解。2.均值定理方法的選擇順序為：直接法-化“1”法、構(gòu)造法、其他方法（同一變量法，三角換元等）?！咀兪接?xùn)練】1．（2022·黑龍江·雙鴨山高一階段練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】令，用分別乘兩邊再用均值不等式求解即可.【詳解】因為，且為正實數(shù)所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.所以.故選：B.2．（2022·湖北·廣水市第二高級高一期中）已知正數(shù)、滿足，求的最小值是（

）A． B．9 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用，可得答案.【詳解】因為，均為正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：C.3．（2022·山東·梁山縣第一高一階段練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)題意確定的正負(fù)，利用基本不等式求得答案.【詳解】由題意可得正數(shù)滿足，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，不合題意；故的最小值為9，故選：B針對性鞏固練習(xí)練習(xí)一不等式的性質(zhì)1．（2022·北京·大峪高一期中）如果，那么下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過反例可知ACD錯誤；根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可知B正確.【詳解】對于A，若，則，A錯誤；對于B，在上單調(diào)遞增，，，B正確；對于C，若，則，C錯誤；對于D，若，則，D錯誤.故選：B.2．（2022·福建省福州延安高一階段練習(xí)）若、、為實數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若a＜b＜0，則【答案】B【分析】利用舉反例進(jìn)行排除，以及利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時不成立，故A錯誤；對于B，因為，不等式兩邊同時乘以，所以，不等式兩邊同時乘以，，所以，故B正確；對于C，取，時，，，則不成立，故C錯誤；對于D，若a＜b＜0，則，所以，又，所以，因此D不正確．故選：B．3．（2022·云南·高一階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法即可判斷與的大小關(guān)系.【詳解】由題可知：，且，所以.故選：C4．（2022·陜西·咸陽市高新高一期中）若，則的取值范圍是（

）A． B． C．(0，4) D．(0，10)【答案】B【分析】求出，，由不等式的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】∵，∴，∵，，∴.故選：B.練習(xí)二一元二次不等式5．（2022·山西大附中高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】由不等式的解集是可得，，從而不等式可化為.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，，，可化為，即，關(guān)于的不等式的解集是.故選：D.6．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級高一階段練習(xí)）已知集合，，且，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】解一元二次不等式化簡集合B，分類討論解不等式化簡集合A，再借助求解作答.【詳解】解不等式得：，即，而，不等式，當(dāng)時，或，或，顯然，當(dāng)時，，，顯然，當(dāng)時，，，由得，解得，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，，恒有，則，綜上得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：C7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）要使關(guān)于的方程的一根比大且另一根比小，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次方程根的分布可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得，解得.故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對任意都成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將原不等式化為，然后分和兩種情況分析求解即可.【詳解】原不等式可整理為．當(dāng)時，不等式為，該不等式恒成立；當(dāng)時，必須滿足，解得．綜上知實數(shù)的取值范圍是．故選：C練習(xí)三其他不等式9．（2022·遼寧·大連市第二十高級高一階段練習(xí)）命題，命題，則是成立的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先將命題與命題化簡，再求出與命題，即可判斷出是的必要不充分條件.【詳解】由命題得或，由命題得，所以或所以是的必要不充分條件.故選：B.10．（2022·江西·贛州市第一高二階段練習(xí)（文））不等式的解集為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】先將不等式化簡為，再分類討論和兩種情況，即可求得答案.【詳解】不等式即，當(dāng)即時，即，故此時；當(dāng)即時，即或，故此時，故不等式的解集為或，故選：D11．（2021·河南南陽·高三期末）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)不等式的解法，化成同底，利用單調(diào)性即可求出集合，然后利用對數(shù)不等式的解法求出集合，注意定義域，最后根據(jù)并集的定義求出所求．【詳解】解：，，所以，故選：．練習(xí)四由均值定理求積與和的最值12．（2022·廣東·廣州南洋英文高一期中）已知，且滿足，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1【答案】A【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：A.13．（2022·湖南·株洲高一階段練習(xí)）已知，，且，則（

）A．xy的取值范圍是 B．的取值范圍是C．的最小值是3 D．的最小值是【答案】D【分析】A選項，利用基本不等式，得到，解出；B選項，根據(jù)，得到，解得，再得到，求出的取值范圍是，B錯誤；C選項，用來表示，并求出，化簡整理得到，利用基本不等式求出最值，驗證是否等號成立，得到C錯誤；D選項，用來表示，并求出，化簡整理得到，利用基本不等式求出最值，驗證是否等號成立，得到D正確.【詳解】，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，令，則，解得：，則，A錯誤；因為，所以，解得：或，因為，，所以，又，所以，所以的取值范圍是，B錯誤；因為，所以，因為，即，解得：，又因為，所以故，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，但，故等號取不到，C錯誤；，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是，D正確.故選：D14．（2022·重慶市長壽中高三期中）下列函數(shù)中，最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對勾函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合換元法判斷A、C的最值，應(yīng)用基本不等式求B的最值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求D的最值.【詳解】A：當(dāng)時，顯然最小值不為4，排除；B：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，滿足；C：由題意，而在上遞減，故時函數(shù)最小值為5，不滿足；D：由，當(dāng)時最小值為3，不滿足.故選：B15．（