遼寧省大連市莊河高級中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

遼寧省大連市莊河高級中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在棱長為1的正方體中，M是的中點，則點到平面MBD的距離是（）A. B.C. D.2．經(jīng)過點作圓的弦,使點為弦的中點，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.3．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件4．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點，P為x軸上的動點，則以的最小值為（）A B.C. D.5．某手機上網(wǎng)套餐資費：每月流量500M以下（包含500M），按20元計費；超過500M，但沒超過1000M（包含1000M）時，超出部分按0.15元/M計費；超過1000M時，超出部分按0.2元/M計費，流量消費累計的總流量達到封頂值（15GB）則暫停當(dāng)月上網(wǎng)服務(wù).若小明使用該上網(wǎng)套餐一個月的費用是100元，則他的上網(wǎng)流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M6．設(shè)雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.7．方程與的曲線在同一坐標(biāo)系中的示意圖應(yīng)是（）A. B.C. D.8．若，，且，則（）A. B.C. D.9．已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前6項的和（）A.510 B.126C.256 D.51210．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則為（）A. B.C. D.11．學(xué)校開設(shè)甲類選修課3門，乙類選修課4門，從中任選3門，甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數(shù)為（）A.24 B.30C.60 D.12012．雙曲線的焦點坐標(biāo)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“，”是真命題，則的取值范圍是________14．已知等比數(shù)列中，則q＝___15．如圖，棱長為1的正方體，點沿正方形按的方向作勻速運動，點沿正方形按的方向以同樣的速度作勻速運動，且點分別從點A與點同時出發(fā)，則的中點的軌跡所圍成圖形的面積大小是________.16．如圖，某海輪以的速度航行，若海輪在點測得海面上油井在南偏東，向北航行后到達點，測得油井在南偏東，海輪改為沿北偏東的航向再行駛到達點，則，間的距離是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）在（1）的條件下，證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點；（3）若存在，使得，求的取值范圍18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)k＝1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值m和最大值M.19．（12分）已知數(shù)列是正項數(shù)列，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列前n項和.21．（12分）已知是拋物線上的焦點，是拋物線上的一個動點，若動點滿足，則的軌跡方程.22．（10分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】等體積法求解點到平面的距離.【詳解】連接，，則，，由勾股定理得：，，取BD中點E，連接ME，由三線合一得：ME⊥BD，則，故，設(shè)到平面MBD的距離是，則，解得：，故點到平面MBD的距離是.故選：A2、A【解析】由題知為弦AB的中點，可得直線與過圓心和點的直線垂直，可求的斜率，然后用點斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的斜率，直線的點斜式方程，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.4、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點共線時，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題5、C【解析】根據(jù)已知條件列方程，化簡求得小明的上網(wǎng)流量.【詳解】顯然小明上網(wǎng)流量超過了1000M但遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒達到封頂值，假設(shè)超出部分為M，由得.故選：C6、D【解析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進而得到雙曲線方程為.故選：D.7、A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當(dāng)和同號時，拋物線開口向左，方程表示焦點在軸的橢圓，無符合條件的選項；當(dāng)和異號時，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，本題選擇A選項.8、A【解析】由于對數(shù)函數(shù)的存在，故需要對進行放縮，結(jié)合（需證明），可放縮為，利用等號成立可求出，進而得解.【詳解】令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A9、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)條件，求得，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，可得，解得，所以數(shù)列前6項的和.故選：B.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.10、B【解析】根據(jù)空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B11、B【解析】利用組合數(shù)計算出正確答案.【詳解】甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數(shù)為.故選：B12、B【解析】根據(jù)雙曲線的方程，求得，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點再軸上，所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依題意可得，是真命題，參變分離得到在上有解，再利用構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性計算可得.【詳解】，等價于在上有解設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以，即故答案為：14、3【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得答案.【詳解】等比數(shù)列中，故，，所以，故答案為：315、##【解析】畫出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進行充分性和必要性兩方面的證明，并求解出軌跡圖形的面積.【詳解】如圖，分別是正方形ABCD，，的中心，下面進行證明：菱形EFGC的周界即為動線段PQ的中點H的軌跡，首先證明：如果點H是動線段PQ的中點，那么點H必在菱形EFGC的周界上，分兩種情況證明：（1）P，Q分別在某一個定角的兩邊上，不失一般性，設(shè)P從B到C，而Q同時從到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中點H必在上；（2）P，Q分別在兩條異面直線上，不失一般性，設(shè)P從A到B，同時Q從到，由于速度相同，則，由于H為PQ的中點，連接并延長，交底面ABCD于點T，連接PT，則平面與平面交線是PT，∵∥平面，∴∥PT，∴，而，∥BC，∴是等腰直角三角形，，從而T在AC上，可以證明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行線的唯一性，顯然H在DG上，綜合（1）（2）可證明，線段PQ的中點一定在菱形EFGC的周界上；下面證明：如果點H在菱形EFGC的周界上，則點H必定是符合條件的線段的中點.也分兩種情況進行證明：（1）H在CG或CE上，過點H作PQ∥（或BD），而與BC及（或CD及BC）分別相交于P和Q，由相似的性質(zhì)可得：PH=QH，即H是PQ的中點，同時可證：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合題設(shè)條件（2）H在EF或FG上，不失一般性，設(shè)H在FG上，連接并延長，交平面AC于點T，顯然T在AC上，過T作TP∥CB于點P，則TP∥，在平面上，連接PH并延長，交于點Q，在三角形中，G是的中點，∥AC，則H是的中點，于是，從而有，又因為TP∥CB，，所以，從而，因此P，Q符合題設(shè)條件.由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一點，則H必是符合題設(shè)條件的動線段PQ的中點，證畢.因為四邊形為菱形，其中，所以邊長為且，為等邊三角形，，所以面積.故答案為：【點睛】對于立體幾何軌跡問題，要畫出圖形，并要善于觀察，利用所學(xué)的立體幾何方面的知識，大膽猜測，小心驗證，對于多種情況的，要畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.16、【解析】根據(jù)條件先由正弦定理求出的長，得出,求出的長，由勾股定理可得答案.【詳解】海輪向北航行后到達點，則由題意，在中，又則,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值（2）證明見解析（3）【解析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)通分化簡，求出解得，在列出與在區(qū)間上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為，因為存在零點，所以，從而．在對進行分類討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.（3）構(gòu)造函數(shù)，在對進行求導(dǎo)，在對進行分情況討論，即可得的得到答案.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，由解得與在區(qū)間上的情況如下：–↘↗所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值，無極大值【小問2詳解】由（1）知，在區(qū)間上的最小值為因為存在零點，所以，從而當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個零點綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點【小問3詳解】設(shè)，①若，則，符合題意②若，則，故當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增所以，存在，使得的充要條件為，解得③若，則，故當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意綜上，的取值范圍是【點睛】本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、證明給定區(qū)間只有一個零點問題，以及含參存在問題，屬于難題.18、（1）增區(qū)間為（2），【解析】（1）求導(dǎo)，由判別式可判斷導(dǎo)數(shù)符號，然后可得；（2）求導(dǎo)，求導(dǎo)數(shù)零點，比較函數(shù)極值和端點函數(shù)值，結(jié)合單調(diào)性可得.【小問1詳解】因為，所以，，因為，所以恒成立所以的增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以在區(qū)間上的最大值，最小值為19、（1）（2）【解析】（1）由條件因式分解可得，從而得到，即可得出答案.（2）由（1）可得，由錯位相減法求和得到，由題意即即對恒成立，分析數(shù)列的單調(diào)性，得出答案.【小問1詳解】由，得∵∴∴∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.∵，∴.【小問2詳解】由（1）知，∴∴①∴②①-②得∴∴由對恒成立得對恒成立即對恒成立，又是遞減數(shù)列∴時得到最大值∴，即∴的取值范圍是.20、（1）；（2）.【解析】（1）先通過等比數(shù)列的基本量運算求出公比，進而求出通項公式；（2）結(jié)合（1）求出，然后根據(jù)錯位相減法求得答案.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q,,,，（負(fù)值舍去），所以.【小問2詳解】，，所以，解得：.21、【解析】由拋物線的方程可得到焦點坐標(biāo)，設(shè)，寫出向量的坐標(biāo)，由向量間的關(guān)系得到，將點代入物線即可得到軌跡方程.【詳解】由拋物線可得：設(shè)①在