2022-2023學(xué)年北京市平谷區(qū)市級(jí)名校高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年北京市平谷區(qū)市級(jí)名校高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，在邊上滿足，為的中點(diǎn)，則（）.A． B． C． D．2．阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，當(dāng)，，不共線時(shí)，的面積的最大值是（）A． B． C． D．3．己知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)分別在拋物線上，且，直線交于點(diǎn)，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．64．不等式的解集記為，有下面四個(gè)命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．5．已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A． B．C． D．6．已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若為線段中點(diǎn)且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．7．年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯(cuò)誤的是（）A．月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B．隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)C．月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D．我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值8．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．9．已知，若對(duì)任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）至少有2個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知.給出下列判斷：①若，且，則；②存在使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；③若在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為；④若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．1412．某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計(jì)劃維修費(fèi)用超過15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢，則該設(shè)備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，，（且），則__________.14．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，則a2=____.15．為了了解一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度（單位：毫米）情況，現(xiàn)抽取容量為400的樣本進(jìn)行檢測(cè)，如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間的一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數(shù)為__________．16．已知是偶函數(shù)，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)陣，其中、、、．設(shè)，其中，且．定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、、、）．表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到、，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”，記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為．（1）若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）若，，求的值；（3）對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過．18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對(duì)?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+19．（12分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).20．（12分）已知，函數(shù).（Ⅰ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）21．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（ⅠⅠ）求直線與平面所成的角的正弦值.22．（10分）[選修4-5：不等式選講]設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）已知關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，，，則，化簡(jiǎn)得，當(dāng)點(diǎn)到（軸）距離最大時(shí)，的面積最大，∴面積的最大值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3、D【解析】

作，垂足為，過點(diǎn)N作，垂足為G，設(shè)，則，結(jié)合圖形可得，，從而可求出，進(jìn)而可求得，，由的面積即可求出，再結(jié)合為線段的中點(diǎn)，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設(shè)，由，得，則，.過點(diǎn)N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，所以F到l的距離為．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．4、A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.5、B【解析】

選B.考點(diǎn)：圓心坐標(biāo)6、B【解析】

設(shè)，代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到的等式，求出離心率．【詳解】，設(shè)，則，兩式相減得，∴，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題方法是點(diǎn)差法，即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．7、D【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可知，月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在月日及以前，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，故的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生運(yùn)算能力，是一道容易題.9、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.10、B【解析】

對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱性及平移變換，對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)分析，可選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以周?對(duì)于①，因?yàn)?，所以，即，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，故對(duì)任意整數(shù)，，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，令，可得，則，因?yàn)?，所以在上?個(gè)零點(diǎn)，且，所以第7個(gè)零點(diǎn)，若存在第8個(gè)零點(diǎn)，則，所以，即，解得，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，且，所以，解得，又，所以，故④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱性，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力，屬于中檔題.11、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計(jì)第年維修費(fèi)用超過15萬(wàn)元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值.【詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】解：(2x-1)7的展開式通式為：當(dāng)時(shí)，，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題.15、100.【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數(shù)．詳解：由題意得，三等品的長(zhǎng)度在區(qū)間，和內(nèi)，根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為，∴樣本中三等品的件數(shù)為.點(diǎn)睛：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為，因此每一個(gè)小矩形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率，把小矩形的高視為頻率時(shí)常犯的錯(cuò)誤．16、2【解析】

由偶函數(shù)性質(zhì)可得，解得，再結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】令得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：2【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）由，能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）由，，求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣，進(jìn)而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．【詳解】（1），經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；含有且不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；同時(shí)含有和的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；不含有的子集共個(gè)，經(jīng)過變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為．同理，經(jīng)過變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為．所以的所有可能取值的和為，又因?yàn)?、、、，所以的所有可能取值的和不超過．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)陣變換的求法，考查數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和不超過的證明，考查類比推理、數(shù)陣變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，綜合性強(qiáng)，難度大．18、（Ⅰ）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）-1010,0.【解析】

（Ⅰ）由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1，利用分類討論法去掉絕對(duì)值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min，分別求出【詳解】（Ⅰ）由題意知，f(1)=|1-2a|-|1-a|>1，若a≤12，則不等式化為1-2a-1+a>1，解得若12<a<1，則不等式化為2a-1-(1-a)>1，解得若a≥1，則不等式化為2a-1+1-a>1，解得a>1，綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由題意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立，只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時(shí)，|x-2a|-|x-a|≤-a，[f(x)]max因?yàn)閨y+2020|+|y-a|≥|a+2020|，所以當(dāng)(y+2020)(y-a)≤0時(shí)，[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|，解得a≥-1010，結(jié)合a<0，所以a的取值范圍是[-1010,0).【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解問題，含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問題，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查了分類討論思想，是中檔題．含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問題，關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為最值問題，再通過絕對(duì)值三角不等式求解最值，從而建立不等關(guān)系，求出參數(shù)范圍.19、（1）；（2）.【解析】

（1）依據(jù)新定義，的定義域和值域都是，且在上單調(diào)，建立方程求解；（2）依據(jù)新定義，討論的單調(diào)性，列出方程求解即可?！驹斀狻浚?）當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上是增函數(shù)，即有，解得；同理，當(dāng)時(shí)，有，解得，綜上，。（2）若在上是閉函數(shù)，則在上是單調(diào)函數(shù)，①當(dāng)在上是單調(diào)增函數(shù)，則，解得，檢驗(yàn)符合；②當(dāng)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有。【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，利用所學(xué)知識(shí)分析解決新定義問題。20、（Ⅰ）；（Ⅱ）3.【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)，得，已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，令，求得，討論得，而，故，進(jìn)而得解；（Ⅱ）可通過必要性探路，當(dāng)時(shí)，由知，又由于，則，當(dāng)，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在使得，得，，化簡(jiǎn)得，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證；【詳解】（Ⅰ）的定義域?yàn)?易知單調(diào)遞增，由題意有.令，則.令得.所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)