青島第二中學2023年高二上數(shù)學期末調研模擬試題含解析

青島第二中學2023年高二上數(shù)學期末調研模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等比數(shù)列，，，成公差不為0的等差數(shù)列，，則數(shù)列的前10項和（）A. B.C. D.2．已知正四面體的底面的中心為為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設分別是雙曲線的左、右焦點，直線交雙曲線左、右兩支于兩點，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.4．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項之和為（）A.26 B.39C.104 D.525．函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.6．已知，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.7．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，點E是棱PC的中點，作，交PB于F.下面結論正確的個數(shù)為()①∥平面EDB；②平面EFD；③直線DE與PA所成角為60°；④點B到平面PAC的距離為.A.1 B.2C.3 D.48．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°9．空間直角坐標系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A. B.C. D.10．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）.A.1 B.C. D.11．已知直線與圓交于A，B兩點，O為原點，且，則實數(shù)m等于（）A. B.C. D.12．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________14．在等差數(shù)列中，，公差，則_________15．已知數(shù)列滿足，則的最小值為__________．的前20項和為________16．某校開展“讀書月”朗誦比賽，9位評委為選手A給出的分數(shù)如右邊莖葉圖所示.記分員在去掉一個最高分和一個最低分后算得平均分為91，復核員在復核時發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計算無誤，則數(shù)字x應該是___________.選手A87899924x15三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右兩個焦點為、，動點P滿足（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）設過且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡E于A、B兩點，問：線段上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請給出證明：若不存在，請說明理由18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）當時，求函數(shù)f(x)的值域.19．（12分）如圖，正三棱柱的側棱長為，底面邊長為，點為的中點，點在直線上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值20．（12分）已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，且.（1）求C；（2）若D是BC的中點，，，求AB的長.21．（12分）已知橢圓的離心率為，且經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，經過點的直線與橢圓交于、兩點，若原點到直線的距離為，且，求直線的方程.22．（10分）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先設等比數(shù)列的公比為，結合條件可知，由等差中項可知，利用等比數(shù)列的通項公式進行化簡求出，最后利用分組求和法，以及等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，即可求出數(shù)列的前10項和.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，，，成公差不為0的等差數(shù)列，則，，都不相等，，且，，，，即，解得：或（舍去），，所以數(shù)列的前10項和：.故選：C.2、B【解析】連接，再取中點，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點，連接，因為分別為VC，中點，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.3、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理，再結合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線的定義知，是的中點且.在中，是的中點，所以，因為直線的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.4、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質化簡已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項和及等差數(shù)列的性質即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項之和為，故選：A5、B【解析】求得函數(shù)的導數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題6、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因為，所以，即，解得.故選：A.7、D【解析】①由題意連接交于，連接，則是中位線，證出，由線面平行的判定定理知∥平面；②由底面，得，再由證出平面，即得，再由是正方形證出平面，則有，再由條件證出平面；③根據(jù)邊長證明△DEO是等邊三角形即可；④根據(jù)等體積法即可求.【詳解】①如圖所示，連接交于點，連接底面是正方形，點是的中點在中，是中位線，而平面且平面，∥平面；故①正確；②如圖所示，底面，且平面，，，是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，(*)，由底面，得，底面是正方形，，又，平面，又平面，(**)，由(*)和(**)知平面，而平面，又，且，平面；故②正確；③如圖所示，連接AC交BD與O，連接OE，由OE是三角形PAC中位線知OE∥PA，故∠DEO為異面直線PA和DE所成角或其補角，由②可知DE＝，OD＝，OE＝，∴△DEO是等邊三角形，∴∠DEO＝60°，故③正確；④如圖所示，設B到平面PAC的距離為d，由題可知PA＝AC＝PC＝，故，由.故④正確.故正確的有：①②③④，正確的個數(shù)為4.故選：D.8、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D9、A【解析】由已知得，，，設向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標運算可求得，再由平面平行和距離公式計算可得選項.【詳解】解：由已知得，，，設向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.10、D【解析】利用向量的數(shù)量積為0可求的值.【詳解】因與互相垂直，故，故即，故.故選：D.11、A【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點O到直線l的距離，因此，，解得，所以實數(shù)m等于.故選：A12、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、405【解析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個首項為9，公差為9的等差數(shù)列，14、15【解析】由等差數(shù)列通項公式直接可得.【詳解】.故答案為：1515、①②.【解析】由題設可得，應用累加法求的通項公式，由基本不等式及確定的最小值，再應用裂項求和法求的前20和.【詳解】由題設，，∴，…，，又，∴將上式累加可得：，則，∴，當且僅當時等號成立，又，故最小，則或5，當時，；當時，；∴的最小值為.由上知：，∴前20項和為.故答案為：8，.16、4【解析】根據(jù)題意分和兩種情況討論，再根據(jù)平均分公式計算即可得出答案.【詳解】解：當時，則去掉的最低分數(shù)為87分，最高分數(shù)為95分，則，所以，當時，則去掉的最低分數(shù)為87分，最高分數(shù)為分，則平均分為，與題意矛盾，綜上.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意用定義法求解軌跡方程；（2）在第一問的基礎上，設出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達定理表達出兩根之和，兩根之積，求出直線l的垂直平分線，從而得到D點坐標，證明出結論.【小問1詳解】由題意得：，所以，，而，故動點P的軌跡E的方程為以點、為焦點的橢圓方程，由得：，，所以動點P的軌跡E的方程為；【小問2詳解】存，理由如下：顯然，直線l的斜率存在，設為，聯(lián)立橢圓方程得：，設，，則，，要想以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，則點D為AB垂直平分線上一點，其中，，則，故AB的中點坐標為，則AB的垂直平分線為：，令得：，且無論為何值，，點D在線段上，滿足題意.18、（1）；（2）.【解析】（1）先通過降冪公式和輔助角公式將函數(shù)化簡，進而求出周期；（2）求出的范圍，進而結合三角函數(shù)的性質求得答案.【小問1詳解】，函數(shù)最小正周期為.【小問2詳解】當時，，，∴，即函數(shù)的值域為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明平面，可得出，再由結合線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得結果.【小問1詳解】證明：正中，點為的中點，，因為平面，平面，則，，則平面，平面，則，又，且，平面.【小問2詳解】解：因為，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，平面，平面，則，又因為，，故平面，所以，平面的一個法向量為，則.因此，平面和平面夾角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，結合三角變換可求答案；（2）根據(jù)余弦定理先求，再用余弦定理求解.【小問1詳解】∵，∴由正弦定理可得，∴，∴.∵，∴，即.∵，∴.【小問2詳解】設，則，即，解得或（舍去），∴.∵，∴.21、（1）；（2）.【解析】（1）由已知條件可得出關于、、的方程組，求出這三個量的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，由點到直線的距離公式可得出，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可得出，代入韋達定理求出、的值，由此可得出直線的方程.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則，解得，因此，橢圓的標準方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線過原點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設斜率為，設直線方程為，設、，原點到直線的距離為，，即①.聯(lián)立直線與橢圓方程可得，則，則，由韋達定理可得，.，則為線段的中點，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直線的方程為或.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.22、（1）（2）【解析】（1）利用導數(shù)求出切線斜率，