高三北師大版數(shù)學（理）一輪課時檢測 9.8 曲線與方程 含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精9.8曲線與方程一、選擇題1．已知兩定點A(1,1），B(－1，－1)，動點P滿足eq\o（PA，\s\up6(→)）·eq\o（PB,\s\up6（→）)＝eq\f(x2,2),則點P的軌跡是()A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線解析設點P(x，y),則eq\o(PA,\s\up6（→））＝（1－x,1－y），eq\o(PB,\s\up6（→））＝(－1－x，－1－y）,所以eq\o(PA,\s\up6（→))·eq\o（PB,\s\up6(→）)＝（1－x)(－1－x）＋（1－y）（－1－y）＝x2＋y2－2。由已知x2＋y2－2＝eq\f（x2,2）,即eq\f(x2,4)＋eq\f(y2，2）＝1，所以點P的軌跡為橢圓．答案B2．已知點Feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，4),0))，直線l：x＝－eq\f(1，4),點B是l上的動點．若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M,則點M的軌跡是(）．A．雙曲線B．橢圓C．圓D．拋物線解析由已知：｜MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線,故選D.答案D3．長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動，＝2，則點C的軌跡是（）A．線段 B．圓C．橢圓 D．雙曲線解析設C（x，y),A(a，0），B(0，b)，則a2＋b2＝9，①又＝2，所以（x－a，y）＝2(－x,b－y）,即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3x，，b＝\f（3,2）y，））②代入①式整理可得x2＋eq\f（y2,4)＝1.答案C4．設圓（x＋1）2＋y2＝25的圓心為C，A(1，0）是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為（）．A.eq\f（4x2,21）－eq\f（4y2，25）＝1 B.eq\f(4x2，21）＋eq\f(4y2，25）＝1C.eq\f(4x2，25)－eq\f（4y2，21）＝1 D。eq\f（4x2，25)＋eq\f（4y2，21）＝1解析M為AQ垂直平分線上一點，則|AM|＝｜MQ|,∴｜MC｜＋｜MA|＝|MC｜＋|MQ|＝|CQ｜＝5，故M的軌跡為橢圓，∴a＝eq\f（5,2)，c＝1，則b2＝a2－c2＝eq\f（21，4），∴橢圓的標準方程為eq\f(4x2，25)＋eq\f(4y2，21)＝1.答案D5．已知二面角α－l－β的平面角為θ，點P在二面角內(nèi)，PA⊥α，PB⊥β，A,B為垂足，且PA＝4，PB＝5，設A，B到棱l的距離分別為x,y，當θ變化時，點(x，y）的軌跡方程是()A．x2－y2＝9（x≥0)B．x2－y2＝9（x≥0，y≥0)C．y2－x2＝9（y≥0)D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0)解析實際上就是求x，y所滿足的一個等式，設平面PAB與二面角的棱的交點是C,則AC＝x,BC＝y(tǒng)，在兩個直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜邊相等，根據(jù)勾股定理即可得到x，y所滿足的關(guān)系式．如圖，x2＋42＝y(tǒng)2＋52，即x2－y2＝9（x≥0,y≥0）．答案B6．△ABC的頂點A（－5，0）、B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是（）A.eq\f（x2，9)－eq\f(y2,16）＝1 B.eq\f（x2，16)－eq\f(y2,9）＝1C.eq\f（x2,9）－eq\f(y2，16)＝1(x>3) D。eq\f(x2，16）－eq\f(y2,9）＝1（x〉4)解析如圖|AD|＝｜AE|＝8,|BF｜＝｜BE|＝2，|CD｜＝|CF｜，所以|CA｜－|CB｜＝8－2＝6。根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支，方程為eq\f（x2,9）－eq\f（y2,16)＝1（x〉3)．答案C7．|y｜－1＝eq\r(1－x－12）表示的曲線是(）．A．拋物線 B．一個圓C．兩個圓 D．兩個半圓解析原方程等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|y|－1≥0,1－x－12≥0，|y|－12＝1－x－12))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（｜y｜－1≥0,x－12＋｜y|－12＝1))?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y≥1,x－12＋y－12＝1)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤－1,x－12＋y＋12＝1)）答案D二、填空題8.在平面直角坐標系中，橢圓的中心為原點，焦點在軸上，離心率為.過的直線交于兩點，且的周長為16，那么的方程為.答案9．在△ABC中，A為動點，B、C為定點，Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(a,2)，0)），Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a，2），0）)(a>0）,且滿足條件sinC－sinB＝eq\f（1，2)sinA，則動點A的軌跡方程是________．解析由正弦定理：eq\f（｜AB|，2R）－eq\f（｜AC|，2R）＝eq\f(1,2）×eq\f（｜BC|，2R),∴｜AB|－|AC｜＝eq\f（1,2)|BC|，且為雙曲線右支．答案eq\f(16x2，a2)－eq\f(16y2,3a2)＝1（x〉0且y≠0)10．已知圓的方程為x2＋y2＝4，若拋物線過點A（－1,0）、B（1,0）且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點軌跡方程是____________．解析設拋物線焦點為F,過A、B、O作準線的垂線AA1、BB1、OO1，則|AA1｜＋｜BB1|＝2|OO1｜＝4，由拋物線定義得|AA1|＋｜BB1|＝｜FA|＋｜FB|,∴|FA｜＋｜FB｜＝4,故F點的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為4的橢圓（去掉長軸兩端點)．答案eq\f(x2,4）＋eq\f（y2，3)＝1(y≠0)11．已知P是橢圓eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1上的任意一點,F1、F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，eq\o（OQ,\s\up16(→)）＝eq\o(PF1,\s\up16（→)）＋eq\o(PF2，\s\up16(→)）,則動點Q的軌跡方程是______________．解析由eq\o（OQ，\s\up16（→）)＝eq\o（PF1,\s\up16（→））＋eq\o（PF2,\s\up16(→)），又eq\o（PF1,\s\up16（→））＋eq\o(PF2，\s\up16（→））＝eq\o(PM,\s\up16(→））＝2eq\o(PO,\s\up16(→））＝－2eq\o（OP,\s\up16(→))，設Q（x，y)，則eq\o(OP，\s\up16（→）)＝－eq\f（1，2)eq\o（OQ,\s\up16(→)）＝－eq\f(1，2）(x，y)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(x,2），－\f（y，2）)），即P點坐標為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（x，2),－\f(y,2）））,又P在橢圓上，則有eq\f（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（x,2）))2,a2）＋eq\f（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（y,2）)）2,b2)＝1，即eq\f（x2,4a2)＋eq\f（y2，4b2）＝1.答案eq\f(x2，4a2）＋eq\f（y2，4b2）＝112.曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1（－1，0）和F2（1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a〉1）的點的軌跡，給出下列三個結(jié)論:①曲線C過坐標原點；②曲線C關(guān)于坐標原點對稱；③若點P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于eq\f（1，2）a2。其中，所有正確結(jié)論的序號是________．解析①曲線C經(jīng)過原點，這點不難驗證是錯誤的，如果經(jīng)過原點,那么a＝1，與條件不符；②曲線C關(guān)于原點對稱，這點顯然正確,如果在某點處｜PF1｜｜PF2｜＝a2，關(guān)于原點的對稱點處也一定符合｜PF1||PF2｜＝a2；③三角形的面積S△F1F2P2≤eq\f（a2，2),很顯然S△F1F2P＝eq\f（1，2）｜PF1｜｜PF2｜sin∠F1PF2≤eq\f(1,2)｜PF1｜｜PF2｜＝eq\f（a2,2).所以②③正確．答案②③三、解答題13。如圖，已知F(1，0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為點Q,且·＝·.求動點P的軌跡C的方程．解析法一：設點P(x，y)，則Q（－1，y），由·＝·，得（x＋1，0）·（2，－y）＝(x－1，y)·(－2，y）,化簡得C:y2＝4x.法二：由·＝·，得·（＋）＝0,∴（－)·（＋)＝0，∴2－2＝0.∴｜｜＝||.∴點P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為y2＝4x.14．已知定點F(0,1）和直線l1：y＝－1，過定點F與直線l1相切的動圓的圓心為點C.（1)求動點C的軌跡方程；(2)過點F的直線l2交軌跡于兩點P、Q，交直線l1于點R,求eq\o（RP,\s\up16（→）)·eq\o（RQ，\s\up16(→）)的最小值．解析(1）由題設知點C到點F的距離等于它到l1的距離，∴點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線，∴動點C的軌跡方程為x2＝4y。(2）由題意知,直線l2方程可設為y＝kx＋1（k≠0)，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x2－4kx－4＝0.設P（x1，y1)，Q（x2，y2），則x1＋x2＝4k,x1x2＝－4。又易得點R的坐標為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（2，k)，－1))，∴eq\o(RP,\s\up16（→））·eq\o（RQ,\s\up16(→）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x1＋\f（2，k）,y1＋1)）·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x2＋\f（2，k),y2＋1）)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x1＋\f(2,k)）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f（2,k)））＋（kx1＋2）（kx2＋2)＝（1＋k2)x1x2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，k)＋2k）)(x1＋x2）＋eq\f（4，k2)＋4＝－4(1＋k2）＋4keq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2,k）＋2k)）＋eq\f（4，k2）＋4＝4eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1，k2）)）＋8。∵k2＋eq\f(1,k2）≥2，當且僅當k2＝1時取等號，∴eq\o（RP,\s\up16(→）)·eq\o（RQ,\s\up16(→）)≥4×2＋8＝16,即eq\o(RP,\s\up16（→））·eq\o（RQ,\s\up16（→)）的最小值為16。15．已知雙曲線eq\f(x2，2）－y2＝1的左、右頂點分別為A1、A2,點P(x1，y1)，Q(x1，－y1）是雙曲線上不同的兩個動點．(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程;(2)若過點H（0，h)（h＞1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點,且l1⊥l2,求h的值．解析（1)由題設知|x1｜＞eq\r(2），A1（－eq\r(2），0）,A2（eq\r（2)，0），則有直線A1P的方程為y＝eq\f（y1，x1＋\r（2)）（x＋eq\r(2））,①直線A2Q的方程為y＝eq\f(－y1，x1－\r(2)）(x－eq\r（2））．②聯(lián)立①②解得交點坐標為x＝eq\f（2,x1）,y＝eq\f(\r（2）y1,x1）,即x1＝eq\f（2，x)，y1＝eq\f（\r（2)y,x),③則x≠0,｜x｜＜eq\r(2)。而點P(x1,y1）在雙曲線eq\f(x2，2)－y2＝1上，∴eq\f（x21,2)－y21＝1.將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為eq\f（x2，2)＋y2＝1,x≠0且x≠±eq\r（2）.（2)設過點H（0，h）的直線為y＝kx＋h（h＞1），聯(lián)立eq\f（x2,2)＋y2＝1得(1＋2k2）x2＋4khx＋2h2－2＝0。令Δ＝16k2h2－4（1＋2k2）（2h2－2)＝0得h2－1－2k2＝0，解得k1＝eq\r(\f（h2－1，2）），k2＝－eq\r（\f（h2－1,2））.由于l1⊥l2，則k1k2＝－eq\f(h2－1,2）＝－1，故h＝eq\r（3）.過點A1,A2分別引直線l1,l2通過y軸上的點H（0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由eq\f(h,\r（2）)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（h,\r(2)）))＝－1,得h＝eq\r（2)。此時，l1，l2的方程分別為y＝x＋eq\r（2）與y＝－x＋eq\r(2）,它們與軌跡E分別僅有一個交點eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（\r(2），3),\f(2\r（2),3））)與eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（2),3),\f(2\r（2）,3)）)。所以，符合條件的h的值為eq\r(3)或eq\r(2)。16．設橢圓方程為x2＋eq\f(y2,4）＝1，過點M（0，1)的直線l交橢圓于A，B兩點，O為坐標原點，點P滿足eq\o(OP,\s\up16（→））＝eq\f(1,2）（eq\o(OA，\s\up16(→）)＋eq\o(OB,\s\up16(→)））,點N的坐標為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），\f（1，2））），當直線l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：（1)動點P的軌跡方程；（2）｜eq\o(NP，\s\up16（→））|的最大值，最小值．解析(1）直線l過定點M(0,1）,設其斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1。設A(x1,y1)，B(x2，y2），由題意知，A、B的坐標滿足方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋\f（y2，4）＝1。)）消去y得（4＋k2)x2＋2kx－3＝0.則Δ＝4k2＋12(