青海省互助縣第一中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

青海省互助縣第一中學(xué)2024屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點(diǎn)，圓：，則圓，的公共弦長為A. B.C. D.22．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.53．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在雙曲線上，且軸，若則雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.34．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.25．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至多2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面6．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.7．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.9．從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個小球,則恰有兩個小球編號相鄰的概率為()A. B.C. D.10．若是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12．方程有兩個不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________14．已知A，B為x，y正半軸上的動點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)以為邊長在第一象限做正方形，則的最大值為___________.15．在長方體中，設(shè)，，則異面直線與所成角的大小為______16．在的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______．（結(jié)果用數(shù)值表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)（1）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值18．（12分）如圖，在三棱柱中，四邊形為矩形，，，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）求平面AEB與平面夾角的余弦值.19．（12分）2021年國慶期間，某電器商場為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費(fèi)滿8千元，可減8百元.方案二：消費(fèi)金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個紅色小球、2個黃色小球的一號箱子，裝有2個紅色小球、2個黃色小球的二號箱子，裝有1個紅色小球、3個黃色小球的三號箱子各抽一個小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個紅色小球則打6折；若抽出2個紅色小球則打7折；若抽出1個紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費(fèi)8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場消費(fèi)了1萬元，請用所學(xué)知識幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.20．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，求面積的最大值.21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）求的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).22．（10分）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).請判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為:,代點(diǎn)即可求出,進(jìn)而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設(shè)圓的圓心為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,將點(diǎn)代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關(guān)系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時,常利用垂徑定理解決問題.2、C【解析】作出不等式組對應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析求解.【詳解】解：作出不等式組對應(yīng)的可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分區(qū)域，由得，它表示斜率為縱截距為的直線系，當(dāng)直線平移到點(diǎn)時，縱截距最大，最大.聯(lián)立直線方程得得.所以.故選：C3、B【解析】由雙曲線定義結(jié)合通徑公式、化簡得出，最后得出離心率.【詳解】，，，解得故選：B4、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.5、D【解析】根據(jù)對立事件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】對立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對立事件為0次或1次出現(xiàn)正面，即“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D6、D【解析】由直線斜率概念可寫出傾斜角的正切值，進(jìn)而可求出傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以傾斜角.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角，由斜率的概念，即可求出結(jié)果.7、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，所以，即，從?故選：A.8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B9、C【解析】利用古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可【詳解】從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個小球共有種不同的取法,恰好有兩個小球編號相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C10、D【解析】根據(jù)已知條件，找出，的齊次關(guān)系式即可得到雙曲線的離心率.【詳解】由題意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，計(jì)算得，故.故選：D.【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)11、B【解析】求出的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】，因“”“”且“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.12、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓和表示恒過定點(diǎn)的直線始終有兩個公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓，表示恒過定點(diǎn)的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點(diǎn)，如圖圓心到直線的距離為，解得，當(dāng)直線經(jīng)過時由得，當(dāng)直線經(jīng)過時由得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數(shù)相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.14、32【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出角度和邊長，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出，利用三角函數(shù)換元，求出最大值.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，設(shè)，（），則由三角形全等可知，設(shè)，，則，則，，則，令，，則，當(dāng)時，取得最大值，最大值為32故答案為：3215、##【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法即可求出異面直線與所成的角.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以，因?yàn)?，所以，即，所以異面直線與所成的角為.故答案為：90°.16、【解析】先求解出該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，然后求解出滿足題意的項(xiàng)數(shù)值，帶入通項(xiàng)即可求解出展開式的系數(shù).【詳解】展開式通項(xiàng)為，由題意，令，解得，，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見詳解.【解析】（1）設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得直線；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用直線垂直，從而得到的斜率關(guān)系，即可證明.【詳解】（1）由條件知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l的方程為：，即從而焦點(diǎn)到直線l的距離為，平方化簡得：，故直線斜率為：.（2）證明：設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，消元得：設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，故因?yàn)?，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入后整理得：即可得：故為定值．即證.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中的定值問題，涉及直線方程的求解，韋達(dá)定理，屬綜合基礎(chǔ)題.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)矩形及勾股定理的逆定理可得線面垂直的條件，再由平面，即可證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)后，求出相關(guān)法向量，再用夾角公式即可.【小問1詳解】證明：由三棱柱的性質(zhì)及可知四邊形為菱形又∵∴為等邊三角形∴，又∵，∴，∴又∵四邊形為矩形∴又∵∴平面又∵平面∴平面平面.【小問2詳解】以B為原點(diǎn)BE為x軸，為y軸，BA為E軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，設(shè)平面的法向量為.則即∴，又∵平面ABE的法向量為，∴，∴平面ABE與平面夾角的余弦值為.19、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個紅球，求出沒有抽出紅色小球的概率，再根據(jù)對立事件的概率公式即可得出答案；（2）若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，求出對應(yīng)概率，從而可求得的期望，在比較的期望與9200的大小即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：根據(jù)題意得要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個紅球，設(shè)沒有抽出紅色小球?yàn)槭录?，則，所以所求概率；【小問2詳解】解：若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，，，，，故的分布列為X60007000800010000P所以（元），因?yàn)椋赃x擇方案二更劃算.20、(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)題意計(jì)算得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設(shè)直線的方程為，由方程組得，設(shè)，，所以，，所以，所以，令（），則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，即時，面積取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.21、（1）；（2）極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn).【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極