基本計(jì)數(shù)原理（第２課時(shí)）（課件）高二數(shù)學(xué)（人教B版2019選擇性）

2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精品課堂3.1.1基本計(jì)數(shù)原理（第２課時(shí)）第三章

排列、組合和二項(xiàng)式定理高二選擇性必修第二冊(cè)（2019人教B版）第1課時(shí)

分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理01學(xué)習(xí)目標(biāo)01學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分布乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.（重點(diǎn)）2.會(huì)用正確兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際計(jì)數(shù)問題.（難點(diǎn)）核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理02新知導(dǎo)入【情境一】隨著人民生活水平的提高，車輛擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車牌照號(hào)僅用一個(gè)字母和數(shù)字已經(jīng)不能滿足需求。因此，某地對(duì)車牌號(hào)進(jìn)行擴(kuò)容：民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成:第一部分為漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)，如圖所示.其中序號(hào)的編碼規(guī)則為:①由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除I,O之外的個(gè)24英文字母組成;②最多只能有2個(gè)英文字母.則采用5位序號(hào)編碼的魯牌照最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌數(shù)多少萬張？02新知導(dǎo)入03新知探索一、組數(shù)問題【例1】

用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)不重復(fù)且比2000大的四位偶數(shù)？【解析】完成這件事情可以分為三類：第一類：個(gè)位數(shù)字為0且比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步：第一步：任選千位的數(shù)字，只能在2,3,4,5中選擇，有4種選法；第二步：選取百位上的數(shù)字，除0和千位上的數(shù)字外，還有4種選法；第三步：選取十位上的數(shù)字，有3種選法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為：4×4×3=48一、組數(shù)問題【例1】

用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)不重復(fù)且比2000大的四位偶數(shù)？【解析】完成這件事情可以分為三類：第二類：個(gè)位數(shù)字為2且比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步：第一步：任選千位的數(shù)字，只能在3,4,5中選擇，有3種選法；第二步：選取百位上的數(shù)字，除2和千位上的數(shù)字外，還有4種選法；第三步：選取十位上的數(shù)字，有3種選法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為：3×4×3=36一、組數(shù)問題【例1】

用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)不重復(fù)且比2000大的四位偶數(shù)？【解析】完成這件事情可以分為三類：第三類：個(gè)位數(shù)字為4且比2000大的四位偶數(shù)，計(jì)算方法同第二類。由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，符合要求的數(shù)共有48+36+36=120（個(gè)）總結(jié)

數(shù)字問題的解題策略(1)對(duì)于組數(shù)問題，一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)解決組數(shù)問題，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘，排數(shù)時(shí)要注意特殊位置、特殊元素優(yōu)先的原則．(3)用0～9十個(gè)數(shù)字組成一些特定的數(shù)，是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的典型應(yīng)用，往往涉及奇數(shù)、偶數(shù)及數(shù)位的關(guān)系等．(4)解決數(shù)字問題常用的策略：可從數(shù)位入手，逐位探究可能的選取方法，再利用兩個(gè)原理計(jì)算．

【練習(xí)1】

從0,2種選取一個(gè)數(shù)字，從1,3,5種選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

?！窘馕觥坑捎谝笫瞧鏀?shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分為兩種情況：奇偶奇，偶奇奇。對(duì)于第一種情況，可以從個(gè)位開始分析（3種情況），之后十位（2種情況），最后個(gè)位（2種情況），共12種。對(duì)于第二種情況，個(gè)位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是0，只有1種情況），共6種。因此共有12+6=18（種）情況。一、組數(shù)問題【練習(xí)2】

在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個(gè)數(shù)為________．【解析】能被5整除的四位數(shù)的末位是0或5，因此分兩類，第一類，末位為0時(shí)，其他三位從剩下的數(shù)中任意排3個(gè)即可，有5×4×3＝60(個(gè))，第二類，末位為5時(shí)，首位不能排0，則首位只能從1，2，3，4選1個(gè)，第二位和第三位從剩下的任選2個(gè)即可，有4×4×3＝48(個(gè))，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得可以組成60＋48＝108個(gè)不同的能被5整除的四位數(shù)．一、組數(shù)問題二

抽取與分配問題【例2】(1)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A．30種 B．35種C．42種

D．48種【解析】選3門課程，要求A，B兩類至少各選1門，可分為兩種情況，一類是A類選修2門，B類選修1門，共有3×4＝12種選法；另一類是A類選修1門，B類選修2門，共有3×6＝18種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得符合條件的選法共有12＋18＝30(種)．【例2】(2)編號(hào)為A，B，C，D，E的五個(gè)小球放在如圖所示五個(gè)盒子中．要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，且A不能放1，2號(hào)，B必須放在與A相鄰的盒子中．則不同的放法有________種．【解析】以小球A放的盒為分類標(biāo)準(zhǔn)，共分為三類：第一類，當(dāng)小球A放在4號(hào)盒內(nèi)時(shí)，不同的放法有3×2×1＝6(種)；第二類，當(dāng)小球A放在3號(hào)盒內(nèi)時(shí)，不同的放法有3×3×2×1＝18(種)；第三類，當(dāng)小球A放在5號(hào)盒內(nèi)時(shí)，不同的放法有3×2×1＝6(種)．綜上所述，不同的放法有6＋18＋6＝30(種)．二

抽取與分配問題總結(jié)

選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．【練習(xí)1】有4位老師在同一年級(jí)的4個(gè)班級(jí)種各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時(shí)，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種樹是

?！窘馕觥糠椒ㄒ唬涸O(shè)4個(gè)班級(jí)分別為A,B,C,D,老師分別為a，b，c，d，并設(shè)A監(jiān)考B，則剩下的老師分別監(jiān)考其他班級(jí)，共3種方法；同理，當(dāng)A監(jiān)考c、d時(shí)，也各有3種不同的方法。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有3+3+3=9（種）不同的方法。二

抽取與分配問題【練習(xí)1】有4位老師在同一年級(jí)的4個(gè)班級(jí)種各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)考試時(shí)，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種樹是

?！窘馕觥糠椒ǘ鹤宎先選，則有3種選法；如果選擇的是B，再讓b選，也有三種不同的選法；剩下的兩個(gè)老師都只有一種選法。根據(jù)乘法分步計(jì)數(shù)原理，共有3×3×1×1=9（種）不同的方法二

抽取與分配問題【練習(xí)2】從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)購(gòu)、導(dǎo)游和保潔四項(xiàng)不同的工作，若甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案有

種

?！窘馕觥恳?yàn)榧滓也荒軓氖路g工作，所以翻譯工作從生下四人中選一人，有4種選法；后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3=60（種）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×60=240（種）不同選派方案。二

抽取與分配問題【例3】(1)將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？三

涂色問題【解析】第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成．第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法．于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(種)．綜上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(種)．三

涂色問題【解析】依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色．第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成．第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂③與第四步涂④時(shí)，分別有3種涂法和2種涂法．于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(種)．三

涂色問題【解析】第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法．①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有4×3＝12種不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×12×3＝180種不同的涂法．②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×4×4＝80種不同的涂法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180＋80＝260種不同的涂法．三

涂色問題涂色問題的解答策略(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，并用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算．(2)對(duì)于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn)．(3)以顏色為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算．總結(jié)【練習(xí)1】如圖所示，有五種不同顏色分別給A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有________種．三

涂色問題【解析】按區(qū)域分四步：第一步A區(qū)域有5種顏色可選；第二步B區(qū)域有4種顏色可選；第三步C區(qū)域有3種顏色可選；第四步由于D區(qū)域可重復(fù)使用區(qū)域A中已有過的顏色，故也有3種顏色可選用．由分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法共有5×4×3×3＝180(種)．【練習(xí)2】三

涂色問題【解析】按S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按A、C是否同色進(jìn)行分類：第一類：A,C同色，則有5×4×3×1×3=180（種）不同的方法；第二類：A,C異色，則有5×4×3×2×2=240（種）不同的方法。根據(jù)加法分類計(jì)數(shù)原理知，共有180+240=420（種）不同的方法。04課堂練習(xí)04課堂練習(xí)【練習(xí)1】如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【解析】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有（個(gè)）；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)，不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有（個(gè)）.故選：D04課堂練習(xí)【練習(xí)2】據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌計(jì)數(shù)法則是：“凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)."算籌計(jì)數(shù)法有縱?橫兩種形式，如圖為縱式計(jì)數(shù)形式，一豎表示1個(gè)單位，一橫表示5個(gè)單位，例如三豎一橫表示8.現(xiàn)從上圖中選擇三個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則能構(gòu)成等比數(shù)列的組合中所有數(shù)的縱式計(jì)數(shù)形式中共有橫數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．404課堂練習(xí)【解析】正整數(shù)1~9中能構(gòu)成等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)一共有四組，分別是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9.其中只有6，8，9的縱式計(jì)數(shù)形式中各有1橫，所以共有4橫故選：D04課堂練習(xí)【練習(xí)3】如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有

種.【解析】觀察圖形知，2區(qū)與4區(qū)不相鄰，3區(qū)與5區(qū)不相鄰，且不相鄰的區(qū)域可用同1種顏色涂色，因此計(jì)算涂色方法可用3色和4色，使用3種顏色，則2區(qū)與4區(qū)同色，3區(qū)與5區(qū)必同色，涂2區(qū)與4區(qū)有4種方法，涂3區(qū)與5區(qū)有3種方法，涂1區(qū)有2種方法，則涂色方法有（種）；使用4種顏色，選取同色的方案有2種，涂同色的兩塊有4種方法，涂另外3塊依次有3，2，1種方法，則涂色方法有（種），所以不同的涂色方法共有（種）.故答案為：7204課堂練習(xí)【練習(xí)4】設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法的種數(shù)為

.【解析】先選出1個(gè)小球，放到對(duì)應(yīng)序號(hào)的盒子里，有種情況，例如：5號(hào)球放在5號(hào)盒子里，其余四個(gè)球的放法為，，，，，，，，共9種，故將這五個(gè)球放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法種數(shù)為種，故答案為：45.0