高等代數(shù)課件(北大版)第六章-線性空間§6.2

2023/11/6§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)§3維數(shù)·基與坐標(biāo)§4基變換與坐標(biāo)變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構(gòu)§6子空間的交與和小結(jié)與習(xí)題第六章線性空間2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)一、線性空間的定義二、線性空間的簡單性質(zhì)§6.2線性空間的定義與簡單性質(zhì)2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)而且這兩種運(yùn)算滿足一些重要的規(guī)律,如

引例1空間Pn，定義了兩個向量的加法和數(shù)量乘法：在第三章§2中，我們討論了數(shù)域P上的n維向量2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即

數(shù)域P上的一元多頂式環(huán)P[x]中，定義了兩個多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，而且這兩種運(yùn)算引例22023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)一、線性空間的定義設(shè)V是一個非空集合，P是一個數(shù)域，在集合V中定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法：即對，

在V中都存在唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為的和，記為；在P與V的元素之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法：即在V中都存在唯一的一個元素δ與它們對應(yīng)，稱δ為的數(shù)量乘積，記為如果加法和數(shù)量乘法還滿足下述規(guī)則，則稱V為數(shù)域P上的線性空間：2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)加法滿足下列四條規(guī)則：

①

⑤

⑥

數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則：

⑦

（具有這個性質(zhì)的元素0稱為V的零元素）

數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則

:②

⑧

④

對

都有V中的一個元素β，使得

;（β稱為的負(fù)元素）

③

在V中有一個元素0，對2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)3．線性空間的判定：注：

1．凡滿足以上八條規(guī)則的加法及數(shù)量乘法也2．線性空間的元素也稱為向量，線性空間也稱向量空間．但這里的向量不一定是有序數(shù)組．稱為線性運(yùn)算．就不能構(gòu)成線性空間．運(yùn)算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合若集合對于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)例1引例1,2中的Pn,P[x]均為數(shù)域P上的線性空間．例2數(shù)域P上的次數(shù)小于n的多項(xiàng)式的全體，再添的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，法構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，常用P[x]n表示．上零多項(xiàng)式作成的集合，按多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘例3數(shù)域P上矩陣的全體作成的集合,按矩陣用表示．2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)例5全體正實(shí)數(shù)R＋，判斷R＋是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間

.1)加法與數(shù)量乘法定義為：

2)加法與數(shù)量乘法定義為：

例4任一數(shù)域P按照本身的加法與乘法構(gòu)成一個數(shù)域P上的線性空間．2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)1）R＋不構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間.

⊕不封閉，如

R＋．

2)R＋構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間．

首先，R＋≠，且加法和數(shù)量乘法對R＋是封閉的.,且

ak

唯一確定．

解：

,且

ab

唯一確定；

事實(shí)上,

其次，加法和數(shù)量乘法滿足下列算律

②

①

2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)③

R＋，

R＋，即1是零元；

④

R＋，

R＋，且

即

a的負(fù)元素是；⑤

;R＋；

⑥

;⑦

⑧

∴R＋構(gòu)成實(shí)數(shù)域

R上的線性空間．

;2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)即n

階方陣A的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，則V關(guān)于矩陣?yán)?

令的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間．證：根據(jù)矩陣的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算可知其中，又V中含有A的零多項(xiàng)式，即零矩陣0，為V的零元素.以

f(x)

的各項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)為系數(shù)作成的多項(xiàng)式記為－f(x),則

f(A)有負(fù)元素－f(A).由于矩陣的加法與數(shù)乘滿足其他各條，故V為實(shí)數(shù)域R上的線性空間.2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)1、零元素是唯一的.2、，的負(fù)元素是唯一的，記為-．

證明：假設(shè)有兩個負(fù)元素β、γ，則有

利用負(fù)元素，我們定義減法：

01＝01＋02＝02．證明：假設(shè)線性空間V有兩個零元素01、02，則有二、線性空間的簡單性質(zhì)2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)∴兩邊加上即得0

＝0；

∵

∴兩邊加上

；即得k

0＝0;∵

∴兩邊加上－即得

∵

即得

∴兩邊加上

3、∵

證明：2023/11/6§6.2

線性空間的定義與簡單性質(zhì)4、如果＝0，那么k＝0或＝0.證明：假若則練習(xí)：1、P273：習(xí)題3

1）2）4）2、證明：數(shù)域P上的