平面向量測試題及詳解

平面向量第I卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符號題目要求的。)(文)(2011?北京西城區(qū)期末)已知點(diǎn)A(—1,1),點(diǎn)B(2,y),向量a=(l,2),若AB〃a,TOC\o"1-5"\h\z則實(shí)數(shù)y的值為( )A.5 B.6C.7 D.8［答案］C［解析］AB=(3,y—1),TAB〃a,.：1=^_^,.：y=7.(理)(2011福州期末)已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與4b—2a平行，則實(shí)數(shù)x的值為( )A.—2 B.0C.1 D.2［答案］D［解析］a＋b=(3,x＋1),4b－2a=(6,4x－2),3 x＋1^a^b與4b—2a平行，?:6=4X二2，°："=2，故選D.(2011.蚌埠二中質(zhì)檢)已知點(diǎn)A(—1,0),B(1,3),向量a=(2k—1,2),若AB丄a,則實(shí)數(shù)k的值為( )A.—2 B.—1C.1 D.2［答案］B［解析］ab=(2,3),vAb丄a,.：2(2k—1)+3X2=0,.：k=—1,二選B.3.(2011.北京豐臺期末)如果向量a=(k,1)與b=(6,k+1)共線且方向相反，那么k的值為( )A.—3 B.2C.—7 D.1［答案］A［k^—6久［解析］由條件知，存在實(shí)數(shù)久＜0,使a=Ab,.?.(k,1)=⑹，(k+1)A),AJ ,(k+1"=1/.k=—3,故選A.

4.（文）（2011?北京朝陽區(qū)期末）在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足AP=2pm，則PA.（PB+PC）等于（ ）A4A4一9-窠A.45營4一3-4-9

B.D［解析］由條件知，PA.(PB+PC)=PA.(2PM)=PA.AP=-iP4i2=-［3|M/Ai)2=-4.（理）（2011?黃岡期末）（理）（2011?黃岡期末）在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE父AFC.2 4_5a+5b24,d._5a_5b［答案］B［解析］［解析］AF=b+1fl，DE=a-2b,設(shè)DH=^DE,則DH=加-2肋，.?.AH=AD+DH=Aa+(1-2?b，TOC\o"1-5"\h\z, , 212久 2 2TAH與AF共線且a、b不共線，.：1=~j~,AA=5，AAH=5a25.(2011?山東濰坊一中期末)已知向量a=(1,1),b=(2,n),若la+bl=a?b,則n=( )D.3A.－3 B.－D.3C.1［答案］D高考總復(fù)習(xí)［解析］Ta+b=(3,l+n),la+bI=l；9+(n+1)2=\'n2+2n+10,又a?b=2+n,TIa+bI=a?b,n2+2n+10=n+2，解之得n=3，故選D.（2011.煙臺調(diào)研）已知P是邊長為2的正△ABC邊BC上的動點(diǎn)，則（AB+AC）（ ）A.最大值為8 B.是定值6C.最小值為2 D.與P的位置有關(guān)［答案］B［解析］設(shè)BC邊中點(diǎn)為D,貝U—>—>—> —> —>AP?（AB+AC）=AP?（2AD）=2lAPl?lADl?cosZP4D=2lADl2=6.（2011.河北冀州期末）設(shè)a,b都是非零向量，那么命題“a與b共線”是命題“l(fā)a+bl=al+lbl"的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件［答案］B［解析］la+bl=lal+lbla與b方向相同，或a、b至少有一個為0；而a與b共線包括a與b方向相反的情形，Ta、b都是非零向量，故選B.8.（2011.甘肅天水一中期末）已知向量a=（1,2）,b=（—2,—4）,lcl=<5，若（a+b）?c=|，則a與c的夾角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°［答案］C［解析］由條件知lal='5,lbl=^.'5,a+b=(—1,—2),.?.la+bl=p'5,T(a+b)?c=|,.^.\1；5Xll'5?cos0=|,其中0為a+b與c的夾角，.：0=60°.Ta+b=—a,.?.a+b與a方向相反,.'.a與c的夾角為120°.9.（文）（2011?福建廈門期末）在△ABC中，ZC=90。，且AC=BC=3，點(diǎn)M滿足BM=2MA,則CM?CB等于（ ）A.2 B.3C.4D.C.4高考總復(fù)習(xí)［答案］B［解析］解法1：如圖以C為原點(diǎn)，CA、CB為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（3,0）,B(0,3)，設(shè)M(x0,y0),X0=2X0=2(3_X0)xo=2.?.CM.CB=(2,1).(0,3)=3,故選B.解法2：tBM=2MA,.BM=|bA,=9+|x3X（理）（2011?安徽百校聯(lián)考）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1,1）,若點(diǎn)B（x,y）滿足x2+y2—2x—2y+1三0,TWxW2, 則OA?OB取得最大值時，點(diǎn)B的個數(shù)是（）、1WyW2,A．1 B．2C.3 D.無數(shù)［答案］A［解析］xi+yi—2x—2y+1三0,即（x—1）i+（y—1）2三1,畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，OA?OB=x+y,設(shè)x+y=t,則當(dāng)直線y=—x平移到經(jīng)過點(diǎn)C時，t取最大值，故這樣的點(diǎn)B有1個，即C點(diǎn).10.（201110.（2011?寧夏銀川一中檢測）a,b是不共線的向量，若4B=A1a+b,AC=a+A|b（A1，久2WR），則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為（）B? =久2=1D?AB? =久2=1D?A1^2—1=0C?人.A2+1=0［答案］D［分析］由于向量AC,AB有公共起點(diǎn)，因此三點(diǎn)a、b、c共線只要AC,AB共線即可，根據(jù)向量共線的條件可知存在實(shí)數(shù)a使得AC=;AB,然后根據(jù)平面向量基本定理得到兩個方程，消去A即得結(jié)論．［解析］TA、B、C共線,:.AC,AB共線，根據(jù)向量共線的條件知存在實(shí)數(shù)A使得AC=AAB,即a+X2b=A(X,fl+b)，由于a,b不共線,根據(jù)平面向量基本定理得j根據(jù)平面向量基本定理得j1It，消去A得久1久2=1.11.（文）（2011北京學(xué)普教育中心）設(shè)向量a=（a1，a2）,b=（b1，b2）,定義一種向量運(yùn)算a十b=a十b=(a1，a2)十(b「b2)=(a1b1，a2b2).已知m,n=俘，0）,點(diǎn)P(x,y)在y=sinx的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)Q在y=f（x）的圖象上運(yùn)動，且滿足OQ=m十OP+n（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則y=fx）的最大值及最小正周期分別為（A.2；n)B?2；4nC.g；4n［答案］C1D°2;n［解析］設(shè)點(diǎn)Q（x‘,yz）,則05=（?！?yz）,由新定義的運(yùn)算法則可得:(xz,y‘)=(2,￡十(x,y)+(3,0x<

得ly=2x+31x<

得ly=2x+311x=ly=2y代入y=sinx，得y2sin\2xfx)=2sin(|x—6),故選C.（理）（2011?華安、連城、永安、漳平一中、龍海二中、泉港一中六校聯(lián)考）如圖，在矩形OACB中，E和F分別是邊AC和BC的點(diǎn)，滿足AC=3AE，BC=3BF，若OC=aOE+〃OF其中A，“WR，則A+“是（ ）

D.D.1［答案］B［解析］oF=oB+BF=dB+3dA，1OE=OA+AE=OA+3OB，相加得OE+Of=4（Oa+OB）=4Oc,/.O>C/.O>C=4oE+3dF,3-3=33-=12.（2011.遼寧沈陽二中階段檢測）已知非零向量AB與AC滿足BC=0，且llABIlAClJABAC1?==—2則AABC的形狀為（ ）IABIIACI 2B.等邊三角形DB.等邊三角形D.直角三角形C.三邊均不相等的三角形［答案］A［分析］根據(jù)平面向量的概念與運(yùn)算知，，AB表示AB方向上的單位向量，因此向量鄉(xiāng)+IABI IABI一 （一一）叢平行于角A的內(nèi)角平分線.由|號■+呼?BC=0可知，角A的內(nèi)角平分線垂直于對邊,IACI lIABIlAClJ再根據(jù)數(shù)量積的定義及=再根據(jù)數(shù)量積的定義及=?=IABIIACI=—1可求角A.［解析］根據(jù)|號+￥?BC=0知，角A的內(nèi)角平分線與BC邊垂直，說明三角形是等llABIlAClJABAC1腰三角形，根據(jù)數(shù)量積的定義及=?==—2可知A=120°.故三角形是等腰非等邊的三角IABIIACI 2形.［點(diǎn)評］解答本題的關(guān)鍵是注意到向量鄉(xiāng)，牛分別是向量AB,AC方向上的單位向量,IABIIACI兩個單位向量的和一定與角A的內(nèi)角平分線共線.第11卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)(文)(2011湖南長沙一中月考)設(shè)平面向量a=(l,2),b=(-2,y),若a//b,則13a+bl等于 .［答案］、卩［解析］3a+b=(3,6)+(—2,y)=(1,6+y),一2y'：aHb,：、~^=2，.：y=—4,.?.3a+b=(1,2),l3a+bl=V5.(理)(2011?北京朝陽區(qū)期末)平面向量a與b的夾角為60°,a=(2,0),lbl=1,則la+2bl［答案］2半［解析］a?b=lal?lblcos60°=2X1X丄=1,2Ia+2bl2=lal2+4lbl2+4a?b=4+4+4X1=12,la+2bl=2、j3.(2011.華安、連城、永安、漳平、龍海、泉港六校聯(lián)考)已知a=(2+A,1),b=(3,久)，若〈a,b〉為鈍角，則久的取值范圍是 .［答案］^<-f且獰-3［解析］T〈a,b〉為鈍角，.:a?b=3(2+A)+A=4A+6<0,3.?.%<—2，當(dāng)a與b方向相反時，久=一3,3.?.久<——Q且久工——3.(2011.黃岡市期末)已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像為開口向下的拋物線，且對任意xWR都有f(1+x)=f(1-x).若向量a=&m,—1),b=&m,—2)，則滿足不等式fab)>f(-1)的m的取值范圍為 .［答案］0Wmv1［解析］由條件知fx)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，?\A—1)=f(3)，Tm20,.?.a?b=m+222,由f(fl-b)>f(—1)得f(m+2)>f(3),?.fx)在［1,+^)上為減函數(shù)，.?.m+2v3,.?.mv1.Tm20,?：OWmvl.16.(2011?河北冀州期末)已知向量a=(sin0,彳)，b=(cos0,1),c=(2,m)滿足a丄b且(a+b)^c,則實(shí)數(shù)m=［答案］[解析]Ta丄b,.?.sin0cos〃+1=o,.?.sin20=—1，又Ta又Ta+b=(sinO+cosO,5)，(a+b)〃c.m(sinO+cosO)—1=0,.m=2(sin.m=2(sinO+cosO)'(sinO+cosO)2=1+sin2O=..sinO+cosO=±〒,5迂=±2*三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分12分)(2011?甘肅天水期末)已知向量a=(—cosx,sinx),b=(cosx,丫‘3cosx)，函數(shù)fx)=a?b,xW［0,n］.(1)求函數(shù)fx)的最大值；(2)當(dāng)函數(shù)fx)取得最大值時，求向量a與b夾角的大小.［解析］(1fx)=a?b=—cos2x+\；3sinxcosxTxWTxW[0,n],.當(dāng)x?.1=2sin2x—^cos2x—(2)由(1)知x=3，a=,b=g乎)，設(shè)向量a與b(2)由(1)知x=3，a=1=_jL=1=1X1=2,n n.a=3.因此，兩向量a與b的夾角為3.18.(本小題滿分12分)(2011?呼和浩特模擬)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F］、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為\邁，且過點(diǎn)(4,—$10).求雙曲線方程；若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上，求證MR.MF2=0.［解析］(1)解：Te=\2.可設(shè)雙曲線方程為x2—y2=2,T?過(4,—帀)點(diǎn)，.16—10=九即2=6,.雙曲線方程為x2—y2=6.(2)證明：F］(—2\；3,0),F2(2\l3,0),MF1=(—3—2.;3,—m),MF2=(—3+2\：3,—含詳解答案.?.僑廠M/F2=-3+m2,又?：M點(diǎn)在雙曲線上，.：9—m2=6，即m2—3=0,:.MF1^Mf2=0,即aMF］丄mFF2.19.(本小題滿分12分)(2011.寧夏銀川一中月考，遼寧沈陽二中檢測)A4BC中，a、b、nBc分別是角A、B、C的對邊，向量m=(2sinB,2—cos2B),n=(2sin2(4+q),—1),m丄n.求角B的大?。蝗鬭=x/3,b=1,求c的值.［分析］根據(jù)向量關(guān)系式得到角B的三角函數(shù)的方程，解這個方程即可求出角B,根據(jù)余弦定理列出關(guān)于c的方程，解這個方程即可.［解析］(1)Tm丄n,.：m?n=0.4sinB?sin2(4+B)+cos2B-2=0,/.2sinB[1—cos(2+B)]+cos2B—2=0,2sinB+2sin2B+1—2sin2B—2=0,??sinB=2,?/0<B?/0<B<n,?.b=6或6兀(2)Ta=、j3,b=1,?.a>b,?.此時B=6,方法一：由余弦定理得：b2=a2+c2—2accosB,?c2—3c＋2=0,?c=2或c=1.方法二：b由正弦定理得而=asinA，方法二：b由正弦定理得而=asinA，.1=血，，1=sinA,2sinA*/0<A<n,4=3或訓(xùn)n n n若A=3,因為B=6，所以角C=2，.邊c=2；2 2nn若A=§n，則角C=n—3?！?=6,?邊c=b,?c=1.綜上c=2或c=1.20.(本小題滿分12分)(2011.山東濟(jì)南一中期末)已知向量a=(cos乎,siny^),b=(cos|,(cos|,—sinx),⑴求a?b及l(fā)a+bl；(2)求函數(shù)fx)=a?b+la+bl的最大值，并求使函數(shù)取得最大值時x的值.［解析］3x(l)a?b=［解析］3x(l)a?b=cos〒os；—sincos2x，la+bl=cos3X+cos2j2+^sin3x.x

T—sin2>22+2^cos3Xcos|—sin3Xsiri|='j2+2cos2x=2lcosxl,VxGVxGn[2， n]，cosxvO,/.la+bl=—2cosx.(2)f(x)=a?b+la+bl=cos2x一2cosx( 3=2COS2X—2cosx—1=2(cosx—刃2—2*/x^[2，n],.：—1WcosxW0,.?.當(dāng)cosx=—1,即x=n時f(x)=3.max21.(本小題滿分12分)(2011?河南豫南九校聯(lián)考)已知OA=(2asin2x,a),OB=(—1,2誦sinxcosx+1),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，aMO,設(shè)fx)=OA?OB+b,b>a.若a>0,寫出函數(shù)丁=幾工)的單調(diào)遞增區(qū)間；n若函數(shù)y=fx)的定義域為運(yùn),n],值域為[2,5]，求實(shí)數(shù)a與b的值.[解析](1)/(x)=一2asin2x+2\：3asinxcosx+a+b=2asin(2x+彳)+b,n n n心Ta>0,.：由2kn—2W2x+6W2kn+2得,n^ nkn^ nkn—jWxWkn+w，kWZ.n n二函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［kn—3,kn+6〕(kWZ)n. ,n7n13n(2)xe[2,n]時,2x+6^^6，g]，sin(