第二節(jié) 可分離變量的微分方程

節(jié)可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程二、典型例題2021/5/91一、可分離變量的微分方程形如的方程，稱(chēng)為可分離變量的微分方程.分離變量，得：①設(shè)

y=

(x)

是方程①的解,則有恒等式：兩邊積分,得即：設(shè)函數(shù)G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一個(gè)原函數(shù),②則有2021/5/92當(dāng)

G(y)與F(x)可微且

G'(y)=g(y)

0時(shí),說(shuō)明由②確定的隱函數(shù)y=

(x)是①的解.稱(chēng)②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F'(x)=f(x)

0時(shí),上述過(guò)程可逆,由②確定的隱函數(shù)x=

(y)也是①的解.2021/5/93一、可分離變量的微分方程形如的方程，稱(chēng)為可分離變量的微分方程.求解步驟：(變量分離法)1、分離變量,得2、兩邊積分,得3、求出通解隱函數(shù)確定的微分方程的解微分方程的隱式通解2021/5/94例1

求解微分方程解分離變量,得兩端積分,得二、典型例題解得2021/5/95例2

求解微分方程解分離變量,得兩端積分,得解得2021/5/96解分離變量,得兩端積分,得解得2021/5/97解根據(jù)題意,有(初始條件)對(duì)方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:2021/5/98解

根據(jù)牛頓第二定律,得初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分

:得利用初始條件,得代入上式后化簡(jiǎn),得特解例設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.

t

足夠大時(shí)2021/5/99解分離變量,解得然后積分

:2021/5/910可分離變量的微分方程初值問(wèn)題:的解也可直接用變上限積分來(lái)確定：2021/5/911分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分——隱式通解.三、小結(jié)若是求特解，還需根據(jù)初值條件定常數(shù).2021/5/912(1)找出事物的共性及可貫穿于全過(guò)程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)

根據(jù)幾何關(guān)系列方程,2)

根據(jù)物理規(guī)律列方程,3)

根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程.(2)

利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定初值條件.(3)

求通解,并根據(jù)初值條件確定特解.3.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟2021/5/913思考與練習(xí)求方程的通解

:提示:方程變形為2021/5/914練習(xí)題2021/5/9152021/5/916練習(xí)題答案2021/5/917例9

有高為1m

的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1cm2(如圖).開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿(mǎn)了水,求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.解由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度2021/5/918設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由