孔隙擴張推導

孔隙擴張理論

問題描述平面問題的極坐標解答平衡微分方程幾何方程和物理方程

圓球孔隙擴張理論

橢球孔隙擴張理論目錄

問題描述

無限大的土體內(nèi)部存在一空腔，在空腔內(nèi)部壓力ug和土體外部平均總應(yīng)力p的共同作用下，空腔的形態(tài)是如何變化的？又會對周圍的土體造成什么樣的影響？ppppug土體空腔目前，多采用圓孔擴張理論來分析此類問題問題描述

圓孔擴張理論最早于1945年由Bishop等提出用于解決金屬壓痕問題，此后Gibson等于1961年將其應(yīng)用于巖土力學問題中，Vesic總結(jié)了球形孔和柱形孔的擴張問題的解答，將圓孔擴張理論推廣到可壓縮土體，自此以后圓孔擴張理論得到了快速發(fā)展。圓孔擴張理論在巖土工程中已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于旁壓試驗、靜力觸探試驗、隧道施工、井筒、沉樁等問題的應(yīng)力應(yīng)變分析。問題描述

假設(shè)：土體為均勻、各項同性的理想彈塑性材料，且服從摩爾-庫倫破壞準則；圓孔形狀在擴張前后均為圓形；土體擴孔過程中，土體服從小變形理論；孔擴張過程為準靜態(tài)過程；圓孔擴張過程為不排水過程；基于上述假設(shè)，可以解得兩組臨界狀態(tài)對應(yīng)的ug與p的關(guān)系：彈塑性界限：圓孔邊界土體先發(fā)生屈服，塑性區(qū)出現(xiàn)（rp=r0）完全塑性：土體全部屈服，塑性區(qū)完全擴張（rp→∞）pppp塑性區(qū)塑性區(qū)彈性區(qū)rpr0ug

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圓球孔隙擴張理論

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平衡微分方程

考慮軸對稱性，可將圓孔擴張問題視為平面應(yīng)變問題，采用彈性力學中平面問題的極坐標解答進行彈性分析在區(qū)域內(nèi)任一點（ρ，φ）取一微分體，考慮其平衡條件。微分體由夾角為dφ的2條徑向線和距離為dρ的2條環(huán)向線組成。平衡微分方程

注意：兩φ面并不平行，其夾角均為dφ。兩ρ面的長度并不相等，分別為ρdφ和(ρ+dρ)(dφ)。ρ從原點出發(fā)為正，φ從x軸向y軸轉(zhuǎn)向為正。平衡微分方程

微分體上的作用力有：體力——fρ，fφ，以坐標正向為正。應(yīng)力——±ρ，±φ面分別表示應(yīng)力及其增量。應(yīng)力同樣以正面正向，負面負向的應(yīng)力為正，反之為負。平衡微分方程

平衡條件：應(yīng)用假定：（1）連續(xù)性，（2）小變形，（3）均勻性?？紤]通過微分體形心D的ρ、φ向，列出三個平衡條件：平衡微分方程

取，略去二階微量，化簡可得：平衡微分方程

取，略去二階微量，化簡可得：平衡微分方程

通過形心D的力矩為0，當考慮到二階微量時，得

平面問題的極坐標解答平衡微分方程幾何方程和物理方程

圓球孔隙擴張理論

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幾何方程和物理方程

幾何方程——表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式過任一點P(ρ，φ)做兩個沿正向的微分線段，PA=dρ，PB=ρdφOyφdφρPABxC幾何方程和物理方程

只有徑向位移uρ，求形變P,A,B,C

變形后變?yōu)镻',A',B',C'，各點的位移如圖所示。PABCP'A'B'C'OxyD幾何方程和物理方程

PB線應(yīng)變:PA線應(yīng)變:在小變形假定下，PABCP'A'B'C'OxyD幾何方程和物理方程

∴只有徑向位移時切應(yīng)變?yōu)镻A轉(zhuǎn)角:PB轉(zhuǎn)角:PABCP'A'B'C'OxyD幾何方程和物理方程

只有環(huán)向位移uφ，求形變P,A,B,C

變形后變?yōu)镻'',A'',B'',C''，各點的位移如圖所示。PABCP''A''B''C''OxyE幾何方程和物理方程

PA線應(yīng)變:PB線應(yīng)變:PA轉(zhuǎn)角:由環(huán)向位移引起的切應(yīng)變?yōu)椋篜B轉(zhuǎn)角:PABCP''A''B''C''OxyE幾何方程和物理方程

當uρ和uφ同時存在時，幾何方程為OxyPABP'''A'''B'''C'''C幾何方程和物理方程

物理方程：由廣義胡克定律

平面問題的極坐標解答平衡微分方程幾何方程和物理方程

圓球孔隙擴張理論

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圓球孔隙擴張理論

問題描述：一氣泡腔體被飽和基質(zhì)包圍，氣泡直徑大于土顆粒，飽和基質(zhì)承受外部總應(yīng)力p，氣泡腔內(nèi)存在壓力ug，如何確定氣泡腔體在外部總應(yīng)力p與內(nèi)部壓力ug變化時的。采用如下圖所示的單元模型來進行分析。圓球孔隙擴張理論

在區(qū)域內(nèi)任一點（r，φ）取一微元體，考慮其平衡條件。微元體由夾角為dφ的4條徑向線和距離為dr的4條環(huán)向線組成圓球孔隙擴張理論

注意：上下和前后的φ面并不平行，其夾角均為dφ。兩r面的面積并不相等，分別為(rdφ)2和(r+dr)2(dφ)2。r從原點出發(fā)為正，φ從x軸轉(zhuǎn)向y軸以及從z軸正向轉(zhuǎn)向負向為正。由對稱性和剪應(yīng)力互等定理可得，τrφ=τφr=0由對稱性可得，圓球擴張時只有徑向位移，沒有環(huán)向位移圓球孔隙擴張理論

取，略去二階及以上微量，化簡可得：平衡微分方程：（1）圓球孔隙擴張理論

幾何方程：徑向應(yīng)變：

環(huán)向應(yīng)變：式中：ω為徑向的沉降（2a）（2b）（3a）（3b）物理方程：徑向應(yīng)力-應(yīng)變：

環(huán)向應(yīng)變：圓球孔隙擴張理論

聯(lián)立式（2）、（3），化簡可得：式中：由式（5）可得：（4）（5）（6）圓球孔隙擴張理論

將式（6）代入式（1）中，化簡可得微分方程：求解微分方程可得通解為：將通解代入式（5）得：（7）（8）（9）圓球孔隙擴張理論

由邊界條件：

可得方程組：聯(lián)立解得：（10a）（10b）（11）（12）（13）（14）圓球孔隙擴張理論

將式（13）、（14）代入式（9），將所得結(jié)果再代入式（4）、（5）中可得：由式（16）、（17）可得：假設(shè)當時，發(fā)生屈服，可解得初始屈服界限為：（15）（16）（17）（18）（19）圓球孔隙擴張理論

將代入式（1）中可得微分方程：（20）（21）（22）（23）可解得：由邊界條件：圓球孔隙擴張理論

將式（22）、（23）代入式（21）中可得方程組：聯(lián)立解得：當時，土體完全屈服，發(fā)生破壞，此時可得：（24）（25）（26）（36）式中：

平面問題的極坐標解答平衡微分方程幾何方程和物理方程

圓球孔隙擴張理論

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橢球孔隙擴張理論

問題描述：在實際情況中，氣泡腔體多為橢球形，而非圓球形，因此采用圓球模型分析得到的結(jié)果并不符合實際，接下來介紹一種基于橢球模型分析得到的結(jié)果，單元模型如下圖所示。（e）橢球孔隙擴張理論

平衡微分方程：由太沙基有效應(yīng)力原理：平衡微分方程可重寫為：（28a）（28b）（29）（30a）（30b）橢球孔隙擴張理論

物理方程：假設(shè)：，可得：（31a）（31b）（31c）（32）（33a）（33b）物理方程可重寫為：橢球孔隙擴張理論

不排水條件下：將式（35）代入式（36）中可得：由此可得：（34）（35）（36a）（36b）（36c）橢球孔隙擴張理論

幾何方程：將式（36）、（37）代入式（30）得：（37）（38a）（38b）橢球孔隙擴張理論

由式（36a）和式（37）可得：對式（39）積分可得：忽略體力，將式（40）代入式(38)得：（39）（40）（41a）（41b）聯(lián)立式（41a）、（41b)可得設(shè)：將式（43）代入式（42）中可得橢球孔隙擴張理論

（42）（43）（44）（45）設(shè)：，，將其代入式（44）可得根據(jù)加載模式可知，切向位移uφ=0，徑向位移隨距離的增大而減小，因此可得：邊界條件：其中：聯(lián)立式（33）、（36）、（37）可解得由式（47）、（48）可解得：橢球孔隙擴張理論

（47）（46）（48）（49）橢球孔隙擴張理論

將式（49）代入式（48），并將結(jié)果代入式（37）可得：（50a）（50b）由式（50）可得：式中：（51）由式（51