2023屆吉林省遼源市高三三診數(shù)學試題試卷

2023屆吉林省遼源市高三三診數(shù)學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．3．造紙術、印刷術、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學家所繼承，普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經(jīng)濟，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三級的500名學生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人4．已知復數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．5．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或86．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A． B． C． D．7．設復數(shù)滿足，在復平面內(nèi)對應的點的坐標為則（）A． B．C． D．8．的展開式中含的項的系數(shù)為（）A． B．60 C．70 D．809．設復數(shù)滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．10．函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－211．一個空間幾何體的正視圖是長為4，寬為的長方形，側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的角所對的邊分別為，且，，若，則的值為__________.14．如圖是一個算法偽代碼，則輸出的的值為_______________.15．設為互不相等的正實數(shù)，隨機變量和的分布列如下表，若記，分別為的方差，則_____．（填>，<，=）16．已知橢圓的下頂點為，若直線與橢圓交于不同的兩點、，則當_____時，外心的橫坐標最大．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了實現(xiàn)中華民族偉大復興之夢，把我國建設成為富強民主文明和諧美麗的社會主義現(xiàn)代化強國，黨和國家為勞動者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動的舞臺.借此“東風”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機無公害的蔬菜時，為創(chuàng)造更大價值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進行試點.第一組采用延長光照時間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：（1）如果你是該農(nóng)場的負責人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對于下一季大棚蔬菜的種植，說出你的決策方案并說明理由；（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長光照時間的方案，光照設備每年的成本為0.22千元/畝；若采用夜間降溫的方案，降溫設備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次，且該蔬菜市場的收購均價為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計總體，請計算在兩種不同的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤；（3）農(nóng)場根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗，認為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進行夜間降溫試點的20間大棚中隨機抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為，求的分布列及期望.18．（12分）新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績，某公司設計了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點.運作一年后，對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點各選取了50個，對比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長的百分點分成5組：，分別統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長10個百分點及以上的營銷網(wǎng)點為“精英店”.（1）請你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關”；采用促銷沒有采用促銷合計精英店非精英店合計5050100（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤，通過分析上一年度的售價(單位：元)和日銷量(單位：件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的：①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算的值；②已知該公司成本為10元/件，促銷費用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價定為多少時日利潤可以達到最大.附①：附②：對應一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.19．（12分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數(shù)a，b，c滿足.求證.20．（12分）已知正實數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：21．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點是直線的一點，過點作曲線的切線，切點為，求的最小值.22．（10分）如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎題.2、B【解析】因為對A不符合定義域當中的每一個元素都有象，即可排除；對B滿足函數(shù)定義，故符合；對C出現(xiàn)了定義域當中的一個元素對應值域當中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對D因為值域當中有的元素沒有原象，故可否定．故選B．3、D【解析】

先求得名學生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎題.4、C【解析】

把代入，利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題，屬基礎題6、A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進去的，即俯視圖中應有一不可見的長方形，且俯視圖應為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題。7、B【解析】

根據(jù)共軛復數(shù)定義及復數(shù)模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)對應點坐標的幾何意義，復數(shù)模的求法及共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題.8、B【解析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到，由二項式的通項，可得解【詳解】由題意，展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到，所以的展開式中含的項的系數(shù)為．故選：B【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的求解，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.9、B【解析】

利用復數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算，需掌握復數(shù)的運算法則，屬于基礎題.10、A【解析】

求出，對分類討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值點，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調(diào)遞增，且，在不存在零點；若，，在內(nèi)有且只有一個零點，.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的零點、導數(shù)的應用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關鍵，屬于中檔題.11、B【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積．【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，．故選：B．【點睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積．解題關鍵是由三視圖不愿出原幾何體．12、B【解析】

直接利用集合的基本運算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．【點睛】本題考查集合的基本運算，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關的等式，結(jié)合可求的值.【詳解】因為，故，因為，所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因為，解得或（舍）.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，注意結(jié)合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.14、5【解析】

執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán)，輸出.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析與運算能力，屬基礎題.15、>【解析】

根據(jù)方差計算公式，計算出的表達式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關系.【詳解】，故.，.要比較的大小，只需比較與，兩者作差并化簡得①，由于為互不相等的正實數(shù)，故，也即，也即.故答案為：【點睛】本小題主要考查隨機變量期望和方差的計算，考查差比較法比較大小，考查運算求解能力，屬于難題.16、【解析】

由已知可得、的坐標，求得的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標，再由導數(shù)求最值．【詳解】如圖，由已知條件可知，不妨設，則外心在的垂直平分線上，即在直線，也就是在直線上，聯(lián)立，得或，的中點坐標為，則的垂直平分線方程為，把代入上式，得，令，則，由，得（舍）或．當時，，當時，.當時，函數(shù)取極大值，亦為最大值．故答案為：.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用導數(shù)求最值，是中等題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）（i）該農(nóng)場若采用延長光照時間的方法，預計每年的利潤為426千元；（ii）若采用降低夜間溫度的方法，預計每年的利潤為424千元；（3）分布列見解析，.【解析】

（1）估計第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)和第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)來選擇.（2）對于兩種方法，先計算出每畝平均產(chǎn)量，再算農(nóng)場一年的利潤.（3）估計頻率分布直方圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相應的概率，寫出分布列，再求期望.【詳解】（1）第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，可知第一組方法較好，所以采用延長光照時間的方法；（（2）（i）對于采用延長光照時間的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤.∴該農(nóng)場一年的利潤為千元.（ii）對于采用降低夜間溫度的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤，∴該農(nóng)場一年的利潤為千元.因此，該農(nóng)場若采用延長光照時間的方法，預計每年的利潤為426千元；若采用降低夜間溫度的方法，預計每年的利潤為424千元.（3）由圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，；；；.所以的分布列為0123所以.【點睛】本題主要考查樣本估計總體和離散型隨機變量的分布列，還考查了數(shù)據(jù)處理和運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）列聯(lián)表見解析，有把握；（2）①；②元時【解析】

（1）直接由題意列出列聯(lián)表，通過計算，可判斷精英店與采用促銷活動是否有關.（2）①代入表中數(shù)據(jù)，結(jié)合公式求出；②由①中所得的線性回歸方程，若售價為，單價利潤為，日銷售量為，進而可求出日利潤，結(jié)合導數(shù)可求最值.【詳解】解：（1）由題意知，采用促銷中精英店的數(shù)量為，采用促銷中非精英店的數(shù)量為；沒有采用促銷中精英店的數(shù)量為，沒有采用促銷中非精英店的數(shù)量為，列聯(lián)表為采用促銷沒有采用促銷合計精英店352055非精英店153045合計5050100因為有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關”.（2）①由公式可得：所以回歸方程為②若售價為，單件利潤為，日銷售為，故日利潤，解得.當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.故當售價元時，日利潤達到最大為元.【點睛】本題考查了獨立性檢驗，考查了線性回歸方程的求法，考查了函數(shù)最值的求解.在求函數(shù)的最值時，常用的方法有：函數(shù)圖像法、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最值、基本不等式法、導數(shù)法.其中最常用的還是導數(shù)法.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知是偶函數(shù)，且時為增函數(shù)，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）法一：（當且僅當時取等號），又（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），由題意得，則，解得，故的取值范圍是；法二：因為對于任意恒有成立，即，令，易知是偶函數(shù)，且時為增函數(shù)，所以，即，則，解得，故的取值范圍是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【點睛】本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳