陜西省榆林市府、靖、綏、橫、定五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023年秋季學(xué)期高二期中考試試題數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色，黑水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章～第二章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．以為圓心，且經(jīng)過點的圓的方程是（）A． B．C． D．2．若，，則（）A． B． C．22 D．293．已知直線經(jīng)過點，，則下列不在直線上的點是（）A． B． C． D．4．在梯形中，，且和所在直線的方程分別是與，則梯形的面積為（）A． B． C． D．455．已知是空間的一個基底，，，若，則（）A． B．0 C．5 D．6．6．已知圓經(jīng)過點，，且圓心在直線上，若為圓上的動點，則線段（為坐標原點）長度的最大值為（）A． B． C．10 D．7．在四棱柱中，四邊形是正方形，，，，則的長為（）A． B．7 C．6 D．8．已知圓和點，，若點在圓上，且，則實數(shù)的取值范目是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．若直線過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為（）A． B．C． D．10．若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，11．已知圓和圓相交于，兩點，則下列說法正確的是（）A．B．直線的方程為C．線段的長為D．到直線的距離與到直線的距離之比為12．如圖，在長方體中，，，分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．平面B．平面C．異面直線和所成角的余弦值為D．若為線段上的動點，則點到平面的距離不是定值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．直線的傾斜角為__________．14．已知是平面的一個法向岳，點，在平面內(nèi)，則_________．15．已知直線與圓交于，兩點，則的最小值為_______．16．2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知三條直線，和．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若三條直線相交于一點，求實數(shù)的值．18．（本小題滿分12分）在空間直角坐標系中，已知點，，，設(shè)，．（1）若與互相垂直，求的值；（2）求點到直線的距離．19．（本小題滿分12分）已知，，，圓是的外接圓．（1）求圓的方程；（2）若直線過點，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程．20．（本小題滿分12分）在四棱錐中，平面，底面是正方形，，分別在棱，上且，．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．21．（本小題滿分12分）已知曲線C上任意一點到點的距離與到點的距離之比為．（1）求曲線的軌跡方程；（2）過直線上一點向曲線作切線，切點分別為，，若圓過，，三點，證明圓恒過定點，并求出所有定點的坐標．22．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，四邊形為菱形，且，平面平面，為棱的中點．（1）求證：；（2）棱（除兩端點外）上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，請求出點的位置；若不存在，請說明理由．2023年秋季學(xué)期高二期中考試試題·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則1．B由題意知，圓心是，圓的半徑，所以圓的方程為．故選B．2．A由，，得，，所以．故選A．3．D由直線的兩點式方程，得直線的方程為，即，所以點，，都在直線上，點不在直線上．故選D．4．B由，知，所以梯形的高即為直線和間的距離，所以梯形的面積為．故選B．5．D，因為，所以存在實數(shù)，使得，所以，所以解得所以．故選D．6．A線段中點的坐標為，，所以線段的中垂線的斜率為，所以線段，，．故選A．7．D由題意知，所以，所以，即的長為．故選D．8．C設(shè)，由，得，即點在圓上，圓心為，半徑．圓的圓心為，半徑，又點在圓上，故圓與圓有公共點，所以，解得，即的取值范圍是．故選C．9．BC當截距為0時，過點和原點，所以的方程為，即；當截距不為0時，設(shè)的方程為，由過點，得，解得，所以的方程為．故選BC．10．AB因為，，是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個基底，故A正確；，，是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個基底，故B正確；因為，所以，，是共面向量，不能構(gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；因為，所以，，是共面向量，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤．故選AB．11．ABC對于A項，若兩個圓相交，則圓心，所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；對于B項，因為圓和圓相交于，兩點，所以兩圓相減得到，即，故B正確；對于C項，圓化為標準方程是，圓心到直線的距離為，所以，故C正確；對于D項，因為圓化為標準方程是，圓心到直線的距離為，所以到直線的距離與到直線的距離之比為，故D錯誤．故選ABC．12．ACD以為原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，對于，因為，，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以平面的一個法向量為，因為與不平行，所以平面不成立，故B錯誤；對于C，，，設(shè)異面直線和所成的角為，則，故C正確；對于D，設(shè)，其中，所以，又平面的一個法向量為，所以點到平面的距離，不是定值，故D正確．故選ACD．13．由題意得該直線的斜率為，故其傾斜角為．14．9由，，得，因為是平面的一個法向量，點，在平面內(nèi)，所以，所以，解得．15．2由題意知直線過定點，當直線和直線垂直時，圓心到直線的距離最大，最小，此時．根據(jù)弦長公式得的最小值為．16．由題可知，在的同側(cè)，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則解得即．將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設(shè)將軍在河邊飲馬的地點為，則即為與的交點，所以．17．解：（1）因為，且，所以，解得．經(jīng)檢驗，時，．（2）由解得即與的交點為，因為三條直線相交于一點，所以點在上，所以，解得．18．解：（1）由題意知，，所以，．又與互相垂直，所以，解得．（2）由（1）知，，所以，所以點到直線的距離．19．解：（1）設(shè)圓的一般方程為，因為圓過，，三點，所以解得所以圓的一般式方程為．（2）由（1）可知圓心為，半徑，又被圓截得的弦長為6，所以由垂徑定理可得圓心到直線的距離，當直線的斜率不存在時，過點，所以的方程為，圓心到直線的距離，故滿足要求．當直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，又過點，所以直線的方程為，由點到直線的距離公式可得，解得，直線的方程為．綜上所述，直線的方程為或．20．（1）證明：如圖，在棱上取點，使得，連接，，因為，所以且，由正方形，，得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：若，則可設(shè)，所以．以為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則點，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則由得令，得平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．21．（1）解：設(shè)曲線上一點坐標為，由已知得，化簡可得，即曲線的軌跡方程為．（2）證明：由（1）知曲線是以為圓心，半徑為的圓，過直線上一點向曲線作切線，切點分別為，，則，，所以，，，四點共圓，即圓為的外接圓，圓心為的中點，半徑為．設(shè)，則，的中點為，，所以圓的方程為，即．將變形，得，所以解得或所以圓恒過定點和．22．（1）證明：取棱的中點，連接，．因為四邊形是菱形，所以，又，所以為等邊三角形，所以．因為四邊形為正方形且，分別是，的中點，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以．（2）解：因為平面平面，平面平面，且，平面，所以平面．以為