陜西省榆林市府、靖、綏、橫、定五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023年秋季學(xué)期高二期中考試試題數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色，黑水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第二章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．以為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程是（）A． B．C． D．2．若，，則（）A． B． C．22 D．293．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則下列不在直線上的點(diǎn)是（）A． B． C． D．4．在梯形中，，且和所在直線的方程分別是與，則梯形的面積為（）A． B． C． D．455．已知是空間的一個(gè)基底，，，若，則（）A． B．0 C．5 D．6．6．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上，若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）長(zhǎng)度的最大值為（）A． B． C．10 D．7．在四棱柱中，四邊形是正方形，，，，則的長(zhǎng)為（）A． B．7 C．6 D．8．已知圓和點(diǎn)，，若點(diǎn)在圓上，且，則實(shí)數(shù)的取值范目是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．若直線過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為（）A． B．C． D．10．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，11．已知圓和圓相交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．直線的方程為C．線段的長(zhǎng)為D．到直線的距離與到直線的距離之比為12．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．平面B．平面C．異面直線和所成角的余弦值為D．若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離不是定值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．直線的傾斜角為_(kāi)_________．14．已知是平面的一個(gè)法向岳，點(diǎn)，在平面內(nèi)，則_________．15．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______．16．2023年暑期檔動(dòng)畫(huà)電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱(chēng)出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分．唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營(yíng)所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知三條直線，和．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若三條直線相交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．18．（本小題滿分12分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，設(shè)，．（1）若與互相垂直，求的值；（2）求點(diǎn)到直線的距離．19．（本小題滿分12分）已知，，，圓是的外接圓．（1）求圓的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為6，求直線的方程．20．（本小題滿分12分）在四棱錐中，平面，底面是正方形，，分別在棱，上且，．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．21．（本小題滿分12分）已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為．（1）求曲線的軌跡方程；（2）過(guò)直線上一點(diǎn)向曲線作切線，切點(diǎn)分別為，，若圓過(guò)，，三點(diǎn)，證明圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．22．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，四邊形為菱形，且，平面平面，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）棱（除兩端點(diǎn)外）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2023年秋季學(xué)期高二期中考試試題·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．B由題意知，圓心是，圓的半徑，所以圓的方程為．故選B．2．A由，，得，，所以．故選A．3．D由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線的方程為，即，所以點(diǎn)，，都在直線上，點(diǎn)不在直線上．故選D．4．B由，知，所以梯形的高即為直線和間的距離，所以梯形的面積為．故選B．5．D，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，所以，所以解得所以．故選D．6．A線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以線段的中垂線的斜率為，所以線段，，．故選A．7．D由題意知，所以，所以，即的長(zhǎng)為．故選D．8．C設(shè)，由，得，即點(diǎn)在圓上，圓心為，半徑．圓的圓心為，半徑，又點(diǎn)在圓上，故圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍是．故選C．9．BC當(dāng)截距為0時(shí)，過(guò)點(diǎn)和原點(diǎn)，所以的方程為，即；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)的方程為，由過(guò)點(diǎn)，得，解得，所以的方程為．故選BC．10．AB因?yàn)?，，是不共面的向量，能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故A正確；，，是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；因?yàn)?，所以，，是共面向量，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，，是共面向量，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤．故選AB．11．ABC對(duì)于A項(xiàng)，若兩個(gè)圓相交，則圓心，所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閳A和圓相交于，兩點(diǎn)，所以?xún)蓤A相減得到，即，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心到直線的距離為，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)閳A化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心到直線的距離為，所以到直線的距離與到直線的距離之比為，故D錯(cuò)誤．故選ABC．12．ACD以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，對(duì)于，因?yàn)?，，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)榕c不平行，所以平面不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，設(shè)異面直線和所成的角為，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，其中，所以，又平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離，不是定值，故D正確．故選ACD．13．由題意得該直線的斜率為，故其傾斜角為．14．9由，，得，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，點(diǎn)，在平面內(nèi)，所以，所以，解得．15．2由題意知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，最小，此時(shí)．根據(jù)弦長(zhǎng)公式得的最小值為．16．由題可知，在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則解得即．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設(shè)將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)為，則即為與的交點(diǎn)，所以．17．解：（1）因?yàn)?，且，所以，解得．?jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，．（2）由解得即與的交點(diǎn)為，因?yàn)槿龡l直線相交于一點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，所以，解得．18．解：（1）由題意知，，所以，．又與互相垂直，所以，解得．（2）由（1）知，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離．19．解：（1）設(shè)圓的一般方程為，因?yàn)閳A過(guò)，，三點(diǎn)，所以解得所以圓的一般式方程為．（2）由（1）可知圓心為，半徑，又被圓截得的弦長(zhǎng)為6，所以由垂徑定理可得圓心到直線的距離，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)，所以的方程為，圓心到直線的距離，故滿足要求．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得，直線的方程為．綜上所述，直線的方程為或．20．（1）證明：如圖，在棱上取點(diǎn)，使得，連接，，因?yàn)?，所以且，由正方形，，得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．?）解：若，則可設(shè)，所以．以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則由得令，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．21．（1）解：設(shè)曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知得，化簡(jiǎn)可得，即曲線的軌跡方程為．（2）證明：由（1）知曲線是以為圓心，半徑為的圓，過(guò)直線上一點(diǎn)向曲線作切線，切點(diǎn)分別為，，則，，所以，，，四點(diǎn)共圓，即圓為的外接圓，圓心為的中點(diǎn)，半徑為．設(shè)，則，的中點(diǎn)為，，所以圓的方程為，即．將變形，得，所以解得或所以圓恒過(guò)定點(diǎn)和．22．（1）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又，所以為等邊三角形，所以．因?yàn)樗倪呅螢檎叫吻?，分別是，的中點(diǎn)，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且，平面，所以平面．以?/p>