2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 　空間位置關(guān)系、空間角與距離 課件（44張）

內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.空間角的求法(1)定義法求空間角求空間角的大小,一般是根據(jù)相關(guān)角(異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角)的定義,把空間角轉(zhuǎn)化為平面角來求解.(2)向量法求空間角①線線夾角的計(jì)算:設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,且它們的夾角為③面面夾角的計(jì)算:設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,α與β的夾角為θ,如圖,特別提醒二面角可能是兩法向量的夾角,也可能是兩法向量的夾角的補(bǔ)角,要注意從圖中分析.2.空間中點(diǎn)到平面的距離的求法(1)定義法:過點(diǎn)向平面作垂線,點(diǎn)與垂足的距離.(2)“等積法”:求解點(diǎn)到平面的距離常轉(zhuǎn)化為錐體的高,利用棱錐體積公式求點(diǎn)到平面的距離.(3)“向量法”:求解點(diǎn)到平面的距離常轉(zhuǎn)化為已知點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)構(gòu)成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破考向一

空間位置關(guān)系的證明與求線面角[例1](2021北京門頭溝一模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,AB=PA,PA⊥底面ABCD,∠ABC=,E是PC上任一點(diǎn),AC∩BD=O.(1)求證:平面EBD⊥平面PAC;(2)若E是PC的中點(diǎn),求ED與平面EBC所成角的正弦值.(1)證明

在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,所以AC⊥BD.又因?yàn)镻A⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC,因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.規(guī)律方法利用向量求直線與平面所成的角的兩個(gè)思路(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.精典對練·拿高分(2021四川成都二模)已知四棱錐P-ABCD及其三視圖如圖所示,其底面ABCD是正方形,且平面ABCD⊥平面PDC,M,N分別是棱PC,AD的中點(diǎn).(1)證明:直線MN∥平面PAB;(2)求直線MB與平面PAB所成角的正弦值.(1)證明

取PB的中點(diǎn)為E,連接EM,AE,又M是PC的中點(diǎn),則EM∥BC且EM=BC,∵N為AD的中點(diǎn),∴AN∥BC且AN=BC,∴EM∥AN且EM=AN,∴四邊形ANME為平行四邊形,∴MN∥AE,又MN?平面PAB,AE?平面PAB,∴MN∥平面PAB.又0°<∠PDC<180°,∴∠PDC=120°.∵四邊形ABCD為正方形,∴AD⊥CD,又平面ABCD⊥平面PDC,平面ABCD∩平面PDC=CD,AD?平面ABCD,∴AD⊥平面PDC.一題多解·練思維(2020全國Ⅱ,理20)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn),過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.(1)證明

因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(解法2)如圖,連接NP,∵AO∥平面EB1C1F,AO?平面AONP,平面AONP∩平面EB1C1F=NP,∴AO∥NP.又三棱柱上下底面平行,平面A1AMN∩平面ABC=AM,平面A1AMN∩平面A1B1C1=A1N,∴AM∥A1N,∴ON∥AP,∴四邊形ONPA是平行四邊形.設(shè)△ABC邊長是6m(m>0),可得ON=AP,NP=AO=AB=6m.在B1C1上截取B1Q=EP=m,則QN=2m,連接QP,∵B1Q=EP且B1Q∥EP,∴四邊形B1QPE是平行四邊形,∴B1E∥PQ,故∠QPN為B1E與平面A1AMN所成角.考向二

空間位置關(guān)系的證明與求二面角[例2](2020全國Ⅰ,理18)如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點(diǎn),PO=DO.(1)證明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.因此PA2+PB2=AB2,從而PA⊥PB.又PA2+PC2=AC2,故PA⊥PC.所以PA⊥平面PBC.疑難突破求二面角的方法(1)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量,然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.(2)利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量,求法向量的方法主要有兩種:①求平面的垂線的方向向量;②利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積為零,列方程組求解.精典對練·拿高分(2021全國乙,理18)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點(diǎn),且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.解

(1)連接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM?底面ABCD,∴PD⊥AM.∵PB⊥AM,PB∩PD=P,∴AM⊥平面PBD,∴AM⊥BD,∴∠ADB+∠DAM=90°.又∠DAM+∠MAB=90°,∴∠ADB=∠MAB,數(shù)學(xué)思想·擴(kuò)思路【函數(shù)思想】函數(shù)思想方法,就是設(shè)出變量,將所研究的問題表示為變量的函數(shù),通過函數(shù)知識得到解決問題的一種方法.在立體幾何中根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡,求空間角的某個(gè)三角函數(shù)值的取值范圍時(shí),常轉(zhuǎn)化為函數(shù)思想求解.(2021全國甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;(2)當(dāng)B1D為何值時(shí),平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?證明

(1)如圖,連接A1E,取BC中點(diǎn)M,連接B1M,EM.∵E,M分別為AC,BC中點(diǎn),∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,則點(diǎn)A1,B1,M,E四點(diǎn)共面,故DE?平面A1B1ME.又在側(cè)面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1?平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.(2)∵BF⊥A1B1,∴BF⊥AB,∴AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,∴AC2=8,則AB⊥BC.如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA,BB1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),F(2,0,1).設(shè)DB1=t,則D(0,t,2),0≤t≤2.則平面BB1C1C的法向量為m=(0,1,0),思想方法函數(shù)思想的應(yīng)用技巧:先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的軌跡設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(或利用三點(diǎn)共線設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)),用表示動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)t表示所研究的問題,再通過函數(shù)求最值的方法(如二次函數(shù)求最值,或利用基本不等式求最值)求解,同時(shí)還要注意t的范圍.考向三

空間位置關(guān)系的證明與求點(diǎn)面距

[例3](2019全國Ⅰ,文19)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).(1)證明:MN∥平面C1DE;(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.題后反思求平面外一點(diǎn)A到平面α的距離的方法:(1)直接法:通過線面垂直的證明,找到A在平面α內(nèi)的投影點(diǎn)A',則AA'即為A到平面α的距離;(2)等體積法:通過轉(zhuǎn)換棱錐的頂點(diǎn)棱錐的體積不變,表示出不同頂點(diǎn)下棱錐的高和底面積,再根據(jù)體積相等即可求出點(diǎn)到面的距離.精典對練·拿高分(2021四川一模)在四邊形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=30°.現(xiàn)將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,AD⊥CD.若點(diǎn)P在線段AD上,平面BPC將三棱錐A-BCD分成兩部分,VA-BPC∶VA-BCD=1∶2.(1)求證:BP⊥平面ACD;(2)若M為CD的中點(diǎn),求M到平面BPC的距離.(1)證明

∵AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD為等邊三角形,由