輔助氣室相互連通對(duì)y自由度隔振性能的影響

輔助氣室相互連通對(duì)y自由度隔振性能的影響

隨著超精測量和加工技術(shù)的發(fā)展，環(huán)境振動(dòng)的隔離提出了越來越高的要求。例如，在激光直接成像領(lǐng)域，lumary激光直寫機(jī)的最小特殊偏差為150nm。一般來說，直寫頭的位移變化應(yīng)為15nm。由于設(shè)備自身質(zhì)量的巨大，應(yīng)將其配置為特定的高速振動(dòng)基礎(chǔ)，并提供穩(wěn)定的超靜工作環(huán)境。由于空氣彈簧在具有較大承載能力的同時(shí)具有較低的剛度,可使整個(gè)隔振系統(tǒng)具有優(yōu)良的隔振性能,因此在超精密儀器領(lǐng)域使用的超大型隔振平臺(tái)中應(yīng)用廣泛。為提高隔振系統(tǒng)隔振性能必須對(duì)空氣彈簧隔振機(jī)理進(jìn)行了深入的研究,張士義和郭榮生等人利用氣體狀態(tài)方程對(duì)空氣彈簧隔振機(jī)理進(jìn)行研究,C.Erin和C.M.Harris等人從氣體能量微分方程出發(fā)對(duì)空氣彈簧隔振機(jī)理進(jìn)行了深入研究。但是他們研究的對(duì)象主要是針對(duì)單個(gè)空氣彈簧,而實(shí)際應(yīng)用中,尤其對(duì)于超大型隔振基礎(chǔ),為了實(shí)現(xiàn)臺(tái)體的快速、精確高度控制,往往將多個(gè)空氣彈簧的輔助氣室相互連通并編成一組,以統(tǒng)一控制,這勢必會(huì)對(duì)系統(tǒng)隔振性能產(chǎn)生影響,因而對(duì)該影響機(jī)理的研究就成為亟待解決的問題。本文以兩個(gè)輔助氣室相互連通的空氣彈簧組成的隔振系統(tǒng)為研究對(duì)象,研究輔助氣室連通對(duì)隔振系統(tǒng)隔振特性的影響。1空氣彈簧輔助氣室設(shè)計(jì)兩個(gè)輔助氣室相互連通的空氣彈簧組成的隔振系統(tǒng)原理圖如圖1所示,其中臺(tái)體質(zhì)量為m,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J;兩個(gè)空氣彈簧的主氣室和輔助氣室的容積分別為Vt1、Vb1、Vt2、Vb2,壓力分別為Pt1、Pb1、Pt2、Pb2。兩個(gè)空氣彈簧支撐中心點(diǎn)距離臺(tái)體重心O的距離分別為L1和L2,以垂向位移x1和x2作為系統(tǒng)輸入,取重心O的垂向位移y和臺(tái)體繞重心軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ為系統(tǒng)輸出。首先以第一個(gè)空氣彈簧的主氣室為研究對(duì)象,其中的氣體總能量由該溫度時(shí)氣體的內(nèi)能以及它在壓縮或者膨脹時(shí)得到或者損失能量這兩部分組成。用焓的變化率可以表示為:˙Η=˙U+˙E=˙WcpΤ(1)H˙=U˙+E˙=W˙cpT(1)式中˙ΗH˙是焓隨時(shí)間的變化率。˙UU˙是內(nèi)能的變化率,˙EE˙是對(duì)氣體做的功的變化率,˙WW˙是氣體重量的變化率,cp是氣體在等壓時(shí)的比熱,T是氣體的絕對(duì)溫度。而內(nèi)能變化率和對(duì)氣體做功變化率可以表示為:˙U=WcvΤ=gcvRd(Ρt1Vt1)dt,˙E=gΡdVt1dt(2)U˙=WcvT=gcvRd(Pt1Vt1)dt,E˙=gPdVt1dt(2)式中cv是氣體在等容時(shí)的比熱,R為氣體常數(shù)。結(jié)合式(1)、(2)以及表達(dá)式1/cp+1/nR=1/R,可求得該空氣彈簧主氣室內(nèi)氣體質(zhì)量變化率為:˙mt1=1RΤ[Vt1n˙Ρt1+Ρt1˙Vt1](3)m˙t1=1RT[Vt1nP˙t1+Pt1V˙t1](3)式中n為多變指數(shù),靜態(tài)時(shí)n=1,動(dòng)態(tài)時(shí)n=1.3～1.4。同理對(duì)第一個(gè)空氣彈簧的輔助氣室以及第二個(gè)空氣彈簧的主氣室和輔助氣室分別做上述處理有:˙mb1=Vb1nRΤ˙Ρb1,˙mt2=1RΤ[Vt2n˙Ρt2+Ρt2˙Vt2],˙mb2=Vb2nRΤ˙Ρb2(4)m˙b1=Vb1nRTP˙b1,m˙t2=1RT[Vt2nP˙t2+Pt2V˙t2],m˙b2=Vb2nRTP˙b2(4)設(shè)兩個(gè)空氣彈簧阻尼孔和連通管道內(nèi)氣體質(zhì)量變化率分別為˙m1,˙m2,˙m3m˙1,m˙2,m˙3,則˙m1=rc1(Ρt1-Ρb1),˙m2=rc2(Ρt2-Ρb2),˙m3=rc3(Ρb1-Ρb2)(5)m˙1=rc1(Pt1?Pb1),m˙2=rc2(Pt2?Pb2),m˙3=rc3(Pb1?Pb2)(5)式中:r為氣體密度,ci=πd4i4i/128μli為流量系數(shù),di和li分別為阻尼孔或者連通管的內(nèi)徑和長度?？諝鈴椈蓺馐覂?nèi)質(zhì)量變化率與阻尼孔和連通管內(nèi)氣體質(zhì)量變化率之間的關(guān)系,以及兩個(gè)空氣彈簧主氣室體積可以表示為{˙mt1=-˙m1,˙mb1=˙m1-˙m3,˙mt2=-˙m2,˙mb1=˙m2+˙m3Vt1≈A1(y-L1θ-x1)+α1(y-L1θ-x1)2+Vt10Vt2≈A2(y-L2θ-x2)+α2(y-L2θ-x2)2+Vt20(6)?????m˙t1=?m˙1,m˙b1=m˙1?m˙3,m˙t2=?m˙2,m˙b1=m˙2+m˙3Vt1≈A1(y?L1θ?x1)+α1(y?L1θ?x1)2+Vt10Vt2≈A2(y?L2θ?x2)+α2(y?L2θ?x2)2+Vt20(6)式中:A1,A2為空氣彈簧的有效承載面積,Vt10和Vt20為空氣彈簧主氣室的初始容積,α1,α2為有效面積變化率,對(duì)于隔振專用空氣彈簧大多為直筒約束膜式空氣彈簧,這時(shí)αi=0。對(duì)于隔振臺(tái)體,由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可知:{m??y=(Ρt1-ΡA)A1+(Ρt2-ΡA)A2-mgJ??θ=(Ρt2-ΡA)A2L2-(Ρt1-ΡA)A1L1(7)???my??=(Pt1?PA)A1+(Pt2?PA)A2?mgJθ??=(Pt2?PA)A2L2?(Pt1?PA)A1L1(7)式中:PA為大氣壓力。通常同一隔振系統(tǒng)所使用的空氣彈簧一般為相同型號(hào),且對(duì)稱布置以減少各自由度相互耦合帶來的不利影響,因此可做如下假設(shè):Vt10=Vt20=V1,Vb1=Vb2=V2,c1=c2=c,A1=A2=A,L1=L2=L。此時(shí)垂向平動(dòng)和繞重心轉(zhuǎn)動(dòng)是相互解耦的。考慮到隔振系統(tǒng)在穩(wěn)定工作狀態(tài)下,臺(tái)體的振動(dòng)幅度很小,因而可以將式(3)、(4)、(7)在Vt1=Vt10,Vt2=Vt20,Pt1=Pt2=Pb1=Pb2=P0處展開成一階Taylor級(jí)數(shù)。然后對(duì)其做Laplace變換,同時(shí)結(jié)合P0=rRT,合并整理后可得垂向平動(dòng)傳遞率Tt和繞重心轉(zhuǎn)動(dòng)傳遞率Tr的表達(dá)式:{Τt=yx1=yx2=nΡ0A2V1V2(nΡ0c+V2s)ms3+mnΡ0c(V1+V2)V1V2s2+2nΡ0A2V1s+2n2Ρ20A2cV1V2Τr=θx2L=-θx1L=nΡ0A2V1V2(2nΡ0c3+nΡ0c+V2s)Js3+JnΡ0c(V1+V2)V1V2s2+JnΡ0c3V2s2+Jn2Ρ20c3V1V2s+2nΡ0A2L2V1s+4n2Ρ20A2L2cc3V1V2+2n2Ρ20A2L2cV1V2(8)?????????????????Tt=yx1=yx2=nP0A2V1V2(nP0c+V2s)ms3+mnP0c(V1+V2)V1V2s2+2nP0A2V1s+2n2P20A2cV1V2Tr=θx2L=?θx1L=nP0A2V1V2(2nP0c3+nP0c+V2s)Js3+JnP0c(V1+V2)V1V2s2+JnP0c3V2s2+Jn2P20c3V1V2s+2nP0A2L2V1s+4n2P20A2L2cc3V1V2+2n2P20A2L2cV1V2(8)由式(8)可見,垂向平動(dòng)傳遞率Tt中并不含有流量系數(shù)c3,因而不受兩個(gè)空氣彈簧輔助氣室相互連通的影響;繞重心轉(zhuǎn)動(dòng)傳遞率Tr分子分母都含有流量系數(shù)c3,因此本文將主要研究該自由度的隔振特性。2空氣彈簧輔助氣室對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的影響由于空氣彈簧輔助氣室相互連通對(duì)于Tt不產(chǎn)生影響,本節(jié)將著重分析連通對(duì)Tr的影響,為不失一般性,將Tr做歸一化處理。設(shè),Κr=nΡ0A2L2V1,ω2n=ΚrJ/2,V1nΡ0c=2ξ1ωn,V1V2=Ν,c3c=λKr=nP0A2L2V1,ω2n=KrJ/2,V1nP0c=2ξ1ωn,V1V2=N,c3c=λ將上述各式帶入轉(zhuǎn)動(dòng)傳遞率表達(dá)式,整理后可得,Τr=122ξsΝωn+1+2λ2ξ1Νs3ω3n+(1+1Ν)s2ω2n+2λs2ω2n+λξsω+2ξsΝωn+1+2λ(9)Tr=122ξsNωn+1+2λ2ξ1Ns3ω3n+(1+1N)s2ω2n+2λs2ω2n+λξsω+2ξsNωn+1+2λ(9)由上式可知,當(dāng)空氣彈簧阻尼孔和連通管流量系數(shù)比λ=0(c3=0)時(shí),繞Tr表達(dá)式與Tt表達(dá)式類似,因此由文獻(xiàn)可知阻尼比ξ從0變化到∞過程中,系統(tǒng)繞重心轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的固有頻率ω0將從ωn√Ν/(Ν+1)增加到ωn。由此可見,無論主/輔氣室容積比選擇何值,系統(tǒng)固有頻率都將小于ωn,即添加輔助氣室可以有效降低系統(tǒng)固有頻率。首先分析給定主/輔氣室容積比N和阻尼比ξ條件下,λ變化對(duì)Tr的影響。由Tr表達(dá)式可知,當(dāng)λ趨向于∞時(shí),傳遞率表達(dá)式將退化成一個(gè)二階系統(tǒng),這時(shí)等效系統(tǒng)固有頻率為ωn,等效系統(tǒng)阻尼比變?yōu)?/(4ξ)。圖2為N=0.5,ξ=0.4條件下,λ變化對(duì)Tr影響的仿真曲線圖。由圖2可見,選擇小的主/輔氣室容積比N可以有效降低系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)固有頻率ω0,這與文獻(xiàn)的結(jié)論相符。然而在空氣彈簧主氣室固定的條件下,降低主/輔氣室容積比N,將使得輔助氣室體積迅速增加,這不僅增加制造成本,還會(huì)占用更大的空間,在實(shí)際應(yīng)用中需要綜合考慮。其次分析N固定,不同λ和ξ組合對(duì)Tr的影響。由于在傳遞率表達(dá)式的特征方程里有一個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)為λ/ξ,這意味著當(dāng)λ/ξ趨近于∞時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)傳遞率趨于零。圖3即為N為0.5時(shí),不同λ和ξ的組合對(duì)Tr影響的仿真曲線。由圖可知,λ/ξ較大的組合可有效提高系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的低頻隔振性能。例如ξ=0.01和λ=1的組合與ξ=2和λ=0組合相比較,可在損失很少高頻隔振性能的條件下,使得系統(tǒng)θ自由度超低頻區(qū)(即頻率遠(yuǎn)小于ω0的區(qū)域)隔振性能至少提高25dB。這在那些對(duì)隔振平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度超低頻隔振性能有特殊要求的應(yīng)用場合,如高級(jí)慣導(dǎo)設(shè)備的裝配和測試領(lǐng)域,有很廣闊的應(yīng)用前景。最后分析ξ固定,不同λ和N組合對(duì)Tr的影響。圖4為ξ=0.1,不同λ和N組合對(duì)Tr的影響的仿真曲線。圖示的四條曲線對(duì)比表明,在選用與空氣彈簧阻尼孔具有相同的流量系數(shù)的連通管時(shí),諧振區(qū)隔振性能可提高20dB以上。同時(shí)從圖中可以看出,λ不為0的組合與λ為0的組合相比,可在保持高頻隔振性能基礎(chǔ)上,很好的抑制諧振峰值,這與skyhook阻尼器效果相當(dāng),即相當(dāng)于為系統(tǒng)提供了主動(dòng)阻尼。3空氣彈簧輔助氣室相互連通的影響本文基于氣體能量微分方程推導(dǎo)了由兩個(gè)輔助氣室相互連通的空氣彈簧組成的隔振系統(tǒng)的傳遞率數(shù)學(xué)模型,并利用該模型分析了空氣彈簧輔助氣室相互連通對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響,得到如下結(jié)論:1)空氣彈簧輔助氣室相互連通對(duì)垂向平動(dòng)y的隔振性能沒有影響