第12章量子力學4態(tài)疊加測不準原理方程

§12.5態(tài)疊加與測不準原理量子力學的幾大假設：概率波：態(tài)疊加和不確定關系薛定諤方程力學量用算符表示算符對易關系全同粒子交換對稱經典波的疊加性：干涉和衍射

1.若是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)

2.當體系處于態(tài)時，發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的幾率是，前提，歸一化波函數(shù)：態(tài)疊加導致測量結果不確定性概率波疊加：一、態(tài)疊加最簡單的態(tài)疊加：空間波包光的偏振，自旋過濾，電子雙縫干涉兩個垂直偏振方向的偏振態(tài)的線性疊加復線性疊加，圓偏振或橢圓偏振，實線性疊加，線偏振部分處于x態(tài)，部分處于y態(tài)xyY’X’或者，部分處于x’態(tài)，部分處于y’態(tài)思考：一堆光子，50%光子處于x偏振，50%處于y偏振，一個光子，50%幾率x偏振，50%幾率y偏振，二者描述的是否同一件事情，并說明理由。前者幾率的疊加，后者幾率幅的疊加前者相干疊加，有固定偏振方向后者非相干疊加，非偏振態(tài)（量子態(tài)）解答：X偏振態(tài)和y偏振態(tài)相干疊加相干項非相干疊加非量子態(tài)雙縫干涉：點源處標記為s，屏幕x，從s出發(fā)到達x的態(tài)相干疊加態(tài)電子雙縫衍射等概率幅的相干疊加，波粒二相設想：子彈和聲波通過雙縫，會是什么情形？聲波：既1又2，相干疊加波的相干疊加，但是沒有概率的概念等概率的非相干疊加，沒有波的概念子彈穿過雙縫：非1即2，概率疊加子彈和電子有區(qū)別嗎？真實的子彈雙縫衍射物質波，有相干效應，但是波長太小，儀器無法分辨相干效應非常微弱，既容易被破壞（觀察者）尺寸的差別測量電子究竟通過哪一個縫觀測破壞相干性，變成概率疊加無法同時分辨小孔和保持動量測不準原理在作怪想要分辨就破壞相干，想保持相干就無法分辨如果能看見就非此即彼，如果看不見就亦此亦彼位置和運動狀態(tài)（方向，速度，動量）不可能同時確定測不準原理！

二、不確定關系量子力學：位置和動量（某一方向）不能同時確定。二者的不確定度滿足不確定關系經典力學：任意時刻質點在軌道上有確定的位置和速度，表示為:

海森伯（W.Heisenberg）1927年由量子力學給出更嚴格的結論，位置和動量的不確定關系：海森堡獲1932年諾貝爾物理學獎更一般的結論：事實上，不僅僅是坐標和動量，一切不相關（不對易）的物理量，都不能同時確定，受不確定關系限定。特殊的對耦的物理量：形象描述：倒空間和正空間，數(shù)學關系：二者滿足傅里葉變換物理關系：對易子=普朗克常量對耦的物理量：坐標和動量，時間和能量，角坐標和角動量，。。。1)位置的不確定程度

電子在單縫處的位置不確定量為三、電子單縫衍射的不確定關系I2）動量的不確定程度U落在主極大條紋內電子的動量不確定度或：代入(2)式有x方向上的動量不確定度大于主條紋：四、能量與時間的不確定性關系粒子可能發(fā)生的位移能級自然寬度和壽命兩邊微分超出測量限度，可認為位置、動量可同時確定。2.不確定關系對宏觀物體不顯現(xiàn)作用。如m=1g的物體，不超過10-6m（這是可以做到的），討論1.不確定關系說明：微觀粒子在某個方向上的坐標和動量不能同時準確地確定，其中一個不確定量越小，另一個不確定量越大，若為零，則無窮大。隔壁車庫內的汽車突然闖入了客廳

這在微觀世界里是可能發(fā)生的圖象。該圖包含著兩個物理內容：1.由不確定關系，汽車在車庫中永遠不會靜止。2.物體在有限勢阱內（車庫的壁）有一定透出的概率。

該圖出自伽莫夫的《物理世界奇遇記》事實上，因為h是極小的量，不確定關系對宏觀物體不顯現(xiàn)作用例1原子線度按估算，原子中的電子的動能按估算，求原子中電子運動速度的不確定量。電子速度的不確定度為解原子的線度就是原子中電子的位置不確定度，即m按照經典力學計算，電子的速度為

有相同的數(shù)量級，即粒子的速度完全不確定。

和由不確定關系例2：電視顯像管中電子的加速電壓為9kV，電子槍槍口的直徑為0.1mm,求電子射出槍口后的橫向速度。解：Δx

=0.1mm=1×10-4

mm=9.11×10-31kg

=1.2

m/s縱向速度！=6

107m/s例3．求線性諧振子的最小可能能量。解:線性諧振子沿直線在平衡位置附近振動，坐標和動量都有一定限制，即沿x方向的線性諧振子能量為：因此可以用坐標-動量不確定關系來計算其最小可能能量，為求E的最小值，先計算令可得可得最小可能能量為思考:?12.6.2定態(tài)薛定諤方程

12.6.1含時薛定諤方程

§

12.6薛定諤方程

(Schr?dingerEquation)

在經典力學中，物體的運動滿足牛頓定律，它給出了物體運動狀態(tài)隨時間的變化規(guī)律。

在量子力學中，微觀粒子的運動規(guī)律用薛定諤方程描述。所謂微觀粒子的運動規(guī)律,也就是波函數(shù)ψ隨時間和空間的變化規(guī)律。

玻恩的統(tǒng)計觀點解釋了微觀粒子波動性和粒子性之間的關系，但是并沒有說明波函數(shù)是如何隨時間變化的，我們還需要知道微觀粒子的運動遵循什么樣的規(guī)律？

薛定諤方程是量子力學的基本方程，在量子力學中的地位就相當于經典力學中牛頓方程的地位。薛定諤方程的誕生：德布羅意論文寄送到維也納大學，德拜命中年講師薛定諤解讀論文德拜:“既然是波，總應該有一個波動方程”瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學物理討論會（1926）德拜薛定諤再讀，湊出來薛定諤方程

通篇物質波，物質波到底是什么？無解，無奈，退而求其次微觀粒子狀態(tài)隨時間變化的動力學方程薛定諤方程滿足的幾個條件：（1）時間一階導（確定的坐標或動量）（3）方程是普遍適用的（系數(shù)不包括狀態(tài)參量）（2）方程是線性的（態(tài)疊加原理）§

12.6.1含時薛定諤方程滿足以上幾個條件，由自由粒子的運動方程，引出普遍的波動方程設粒子沿x方向運動,波函數(shù)為對x求二階偏導對t求一階偏導（1）（2）1.以自由粒子為例操作即算符方程（2）表示波函數(shù)隨時間的演化，但方程中含有狀態(tài)量E，不能算是波動方程，必須借助動量算符，得到哈密頓算符的另一種表達形式討論

通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，利用能量關系式E=p2/2m可以導出如下方程：即得自由粒子的薛定諤方程再做算符替換：稱為能量算符稱為動量算符推廣到受限的粒子（勢場中的粒子）2.一維勢場中的薛定諤方程勢場中粒子能量得一維勢場中的薛定諤方程用算符代替物理量3.推廣到三維勢場中粒子引入拉普拉斯算符上式寫成引入哈密頓算符可得一般形式的薛定諤方程

這就是薛定諤（1926）提出的描述微觀粒子運動規(guī)律的非相對論的波動方程：狄拉克（1928）提出了相對論性的狄拉克方程，它們是量子力學的基本方程，二人分享了1933年諾貝爾物理學獎。將上式代入一般薛定諤方程并除以上式得勢能函數(shù)U=U(r)不隨時間變化,則波函數(shù)可以分離變量§

12.6.2定態(tài)薛定諤方程等式兩邊是相互無關的物理量，故應等于與r,t都無關的常數(shù)設此常數(shù)=E兩個獨立的方程：二階微分方程一階微分方程定態(tài)波函數(shù)先解相對簡單的一階微分方程得到時間部分的解時空合解：定態(tài)：能量確定，能量本征態(tài)，特殊態(tài)；概率密度與時間無關即在定態(tài)下概率分布不隨時間改變，這正是定態(tài)這一名稱的由來。概率：定態(tài)，能量確定態(tài)，能量本征態(tài)，所有物理量的平均值（概率平均）不隨時間改變

算符作用到波函數(shù)上等于一個數(shù)乘這個波函數(shù)，則稱這個波函數(shù)是該算符的本征函數(shù)，這個數(shù)值稱為該算符的本征值，這個方程稱為該算符的本征方程。定態(tài)薛定諤方程的意義：

對波函數(shù)進行某種運算或作用的符號稱為算符。算符，本征值，本征函數(shù)定態(tài)薛定諤方程式也稱為哈密頓算符的本征方程，或能量算符的本征方程。量子力學的建立經典物理（-1900年）德布洛意物質波海森伯矩陣力學薛定諤波動力學狄拉克量子力學

量子力學（1923-1927年）普朗克能量量子化愛因斯坦光量子論玻爾量子論舊量子論（1900-1913年）birthdayofquantummechanicsMaxPlanck(1858-1947)

NobelPrize191814December1900Planck(age42)suggeststhatradiationisquantizedE=hn

h=6.626x10-34J?s1897Thompson(age41)

NobelPrize1906

measurestheelectron"plumpudding"model1905Einstein(age26)proposesthephoton1911Rutherford(age40)infersthenucleusStatusofphysicsAlbertEinstein(1879-1955)

NobelPrize19211913,Bohr

(age28)constructsatheoryofatom1921BohrInstituteopenedinCopenhagen(Denmark)Itbecamealeadingcenterforquantumphysics(Pauli,Heisenberg,Dirac,…)

NielsBohr(1885-1962)

NobelPrize1922oldquantumtheory舊量子論matrixformulationofquantummechanicsWernerHeisenberg(1901-1976)NobelPrize1932

1925atG?ttingen(Germany)M.Born(age43)W.Heisenberg(age23)P.Jordan(age22)

MaxBorn(1882-1970)NobelPrize1954

wavefunctionformulationofquantummechanicsErwinSchr?dinger(1887-1961)NobelPrize1933

1923DeBroglie(age31)matterhaswavepropertiesLouisdeBroglie(1892-1987)

NobelPrize1929

1926Schr?dinger(age39)Schr?dingerequation1926ErwinSchr?dingerinAustriaCarlEckert(age24)inAmericaProved:wavemechanics=matrixmechanics

(Schr?dingerandHeisenbergtheoriesequivalentmathematically)

Schr?dinger'swavemechanicseventuallybecamethemethodofchoice,becauseitislessabstractandeasiertounderstandthanHeisenberg'smatrixmechanicsNeumann(mathematician)inventedoperatortheoryLargelybecauseofhiswork(publishhisbookin1932),quantumphysicsandoperatortheorycanbeviewedastwoaspectsofthesamesubject.

wavemechanics=matrixmechanicsPaulDirac(1902-1984)NobelPrize19331925Pauli(age25)

PauliexclusionprincipleWolfgangPauli(1900-1958)NobelPrize1945

1928Dirac(age26)Diracequation(quantum+relativity)The5thSolvayConference

in1927HeldinBelgium,theconferencewasattendedbytheworld'smostnotablephysiciststodiscussthenewlyformulatedquantumtheory.M.CurieLorentzComptonSolvayBrillouinDebyAnumberofscientists,includingSchr?dinger,deBroglie,andmostprominentlyEinstein,remainedunhappywiththestandardproba