2015年第26屆亞太小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克第一回合 答案

20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合201526屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合2小時（總分：150分）2015年4月11日上午900~1100（注意事項）第一題至第十題，每題4分第十一題至第二十題，每題5分第二十一題至第三十題，每題6分1題】200米的環(huán)形跑道上，甲乙兩人從相同的位置同時出發(fā)，按順時針方向跑步。已知甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。請問，在16分鐘內(nèi)，甲超過乙多少次？【分析與解】行程，環(huán)形跑道追及問題。甲每20064100秒追上乙一次；16分鐘960秒；960100960；甲超過乙9次。2題】一個長方體的長、寬、高的比例為432，全部棱長總和為72【分析與解】幾何，立體幾何。因為長方體的長、寬、高的比例為432；所以設(shè)這個長方體的長為4x厘米、寬為3x厘米、高為2x厘米；44x3x2x72；x2；這個長方體的長為428厘米、寬為326厘米、高為224厘米；這個長方體的體積為864192立方厘米。33題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合1012345672345678910123456789234567。設(shè)234567A23456789B；1012345672345678910123456789234567101AB101BA101BAB101ABA101BA1018989894題】一個布袋中有紅、黃、綠三種顏色的小球各04568個球，他們的數(shù)字和是9。請問其中最多可能有多少個紅球？【分析與解】如果8個球都是紅球，則數(shù)字之和是4832；把一個紅球換成一個黃球，數(shù)字之和增加541；把一個紅球換成一個綠球，數(shù)字之和增加642；3932231；故要把把3個紅球換成3個綠球，把1個紅球換成1個黃球；即4個紅球、1個黃球、3個綠球數(shù)字之和為39；另一方面，若有5個紅球，數(shù)字之和不超過456338；故最多可能有4個紅球。5題】5題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合A591A有多少種不同的取值？9 A【分析與解】591；9 A9A1，即1A9；5 9 9 5所以9A81，即9A161；5 5A是正整數(shù)；A10、11、12、13、14、15、16；A有161017種不同的取值。6題】已知某個月份有31天，其中星期一和星期五出現(xiàn)的次數(shù)相同。請問這個月的10號是星期幾？【分析與解】31743；星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期??、星期六中，只有3個出現(xiàn)5次；而星期一和星期??出現(xiàn)的次數(shù)相同；所以星期一和星期??出現(xiàn)的4次；所以出現(xiàn)5次的是星期二、星期三、星期四；所以這個月的1號是星期二；所以這個月的10號是星期四。星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六12345678910111213141516171819202122232425262728293031PAGEPAGE7題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合已知一個正整數(shù)和411的乘積的最后四位是2015，那么這個正整數(shù)最小是多少？【分析與解】數(shù)論，整除。41141141141155552055，，，，2015201520152015411411411411565656520552055205520556，6，2466，2466，32015201520152015411411411411365365365236520552055205520552466，2466，2466，2466，312331233123322201520152015201541141123652365205520552466，2466；123312338228222015972015即4112365972015；這個正整數(shù)最小2365。和三塊黑皮三塊白皮相鄰，每塊黑皮和五塊白皮相鄰。問：共有多少塊皮是白的？【分析與解】先找等量關(guān)系式：白色皮塊的邊中與黑色皮塊公用的邊數(shù)黑色皮塊的邊中與白色皮塊公用的邊數(shù)；x塊白色皮塊；3x532x；x20；共有20塊皮是白的。9題】ABCD的邊長為8EABBEFGAFC的面積。GD CGFA B E【分析與解】幾何，面積，等積變形。GD CGFB EBF；ABCDBEFG都是正方形，即BACEBF45；ACBF；SAFCSABC88232平方厘米。1010題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合有一種“五加一”汽水，每五個空瓶可以換一瓶新汽水。一次同學(xué)聚會，某班喝了109瓶汽水，其中有一些是用空瓶換來的。請問：最初他們至少買了多少瓶汽水？等量代換。因為5個空瓶1瓶水1個空瓶；所以4個空瓶1瓶水；所以每買4瓶就能喝到5瓶水；；班長只要買214488瓶礦泉水，就可以保證每人一瓶。如圖所示是將一個多面體全部展開后得到的平面圖。請問這個多面體有多少條棱？【分析與解】幾何，立體幾何。（方法一）把這個多面體構(gòu)造出來；如圖所示，這個多面體的有15條棱。（方法二）則兩條邊段才對應(yīng)多面體的一條棱；所以這個多面體的有618215條棱。1212題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合已知229是一個由九個不同數(shù)字組成的九位數(shù)。請問哪個數(shù)字沒有出現(xiàn)？212mod9，224mod9，238mod9，247mod9，255mod9，261mod9；2n924875，1”循環(huán)出現(xiàn)；因為29645；所以2299的余數(shù)與259的余數(shù)相同，為5；如果不缺任何數(shù)字，所有的數(shù)位上的數(shù)字之和為012345678945；而459余0；故229中缺少的數(shù)字為954。229536870912。13題】某班共有學(xué)生52人，其中30人會游泳，35人會騎自行車，42人會打乒乓球。請問這個班至少有多少名學(xué)生這三項運動都會？【分析與解】計數(shù)，容斥原理。523022人不會游泳；35523517不會騎自行車；10不會打乒乓球；要使三項都會最少，則至少一項不會最多；至少一項不會最多有22171049人；三項都會的最少有52493人。1414題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合貨運公司要運送89噸貨物，每輛大卡車的載重是7噸，小卡車的載重是4噸。如果每輛大貨車耗油14升，小卡車耗油9升，那么運完這批貨物最少耗油多少升？最值問題。因為大卡車平均運送一噸貨物耗油1472噸，小卡車平均運送一噸貨物耗油942.25噸；所以盡可能多用大卡車；897125；??13輛大卡車：可以運送貨物71391噸，共耗油1413182升；②122輛小卡車：可以運送貨物7124292噸，共耗油141292186升；③11輛大卡車、3輛小卡車：可以運送貨物7114389噸，共耗油141193181升；運完這批貨物最少耗油181升。15題】設(shè)有一個凸多邊形，在除去一個內(nèi)角之后所有其他內(nèi)角之和為2015。試求這個內(nèi)角的度數(shù)。因為這是一個凸多邊形；所以每個內(nèi)角都小于180；因為在除去一個內(nèi)角之后所有其他內(nèi)角之和為2015；所以這個多邊形的內(nèi)角和大于2015且小于20151802195；而多邊形的內(nèi)角和為180的整數(shù)倍；20151801135，21951801235；故這個多邊形的內(nèi)角和為121802160；除去的這個內(nèi)角為21602015145。PAGEPAGE16題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合AB分別是兩個四分之一圓的圓心，兩圓的半徑分別為1428厘米。試求圖中標(biāo)有Ⅰ和Ⅱ（取22）7ⅠⅡⅠⅡ14 14【分析與解】幾何，面積，圓與扇形。ⅠⅢⅠⅢⅣⅡ14 14 ⅠⅡⅠSⅢⅣⅡSⅢⅣS1

S1

S4大圓 4小圓 1282114214281473921472239270平方厘米。4 4 7 請問：在一個66的格子圖中，共有多少個形如

的圖形？【分析與解】計數(shù)，圖形計數(shù)。在66的格子圖中，有5552222的田字格”中，有4個形如

的圖形；故在一個66425100個形如

的圖形。18題】兩個自然數(shù)相除，商是15，余數(shù)是5。已知被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之和是2169。求被除數(shù)?！痉治雠c解】x，則被除數(shù)是15x5；15x5x1552169；x134；被除數(shù)是1513452015。19題】現(xiàn)有兩種腰長為1的等腰三角形，一種是頂角為30的銳角等腰三角形，另一種是頂角為90的直角等腰三角形。依下圖所示，現(xiàn)將這兩種三角形繞著一個點，以順時針方向擺放，規(guī)則如下：第12個是銳角等腰三角形，第3個是直角三角形；第4第5個是銳角三角形，第6n個三角形剛好和第1n的最小值。545463892120152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合【分析與解】（方法一）5131214131214111015973892 119 20212221222318151716n最小是23。（方法二）nk1（k為自然數(shù)，則2k30k90150k是360的整數(shù)倍；k最小是18；n最小是318155。nk2（k為自然數(shù)，則2k0k9005k是60的整數(shù)倍；k最小是7；n最小是37223。n最小是23。PAGEPAGE20題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合ABCDEFABBCDEDFACMN。如ABCD的面積是48cm2EBFNM的面積。MNMNEF C【分析與解】幾何，面積，等積變形。EAB邊上的中點；

S正方形ABCD

148112平方厘米；4 4ABCDAECD；EMDMAECD12；SAEMSADM12；

11214平方厘米；3 3S△CFN4平方厘米；

S正方形ABCD

148124平方厘米；2 2EBFNMSABCSAEMS△CFN244416平方厘米。3分，負(fù)隊得0分，平局兩隊各得1分。已知全部比賽結(jié)束后，四個隊的積分剛好是四個連續(xù)正整數(shù)，求這四個數(shù)的乘積?！痉治雠c解】體育比賽中的數(shù)學(xué)。一共有C2436場；4 21兩隊每場比賽得分和為2分或3分；總得分最少為2612分，最多為3618分。所以四隊的得分依次為2、34、5或34、5、6。若四隊的得分依次為34、5、6，總和是18，不應(yīng)有和局，得分4和5的隊都有和局，舍去這種情況；若四隊的得分依次為2、34、5，總和是14，應(yīng)有18144場比賽是平局，所以得5分的隊有2場平局，得4分的隊有1場平局，得2分的隊有2場平局；所以得3分的隊必有3場平局；所以得4分的隊勝得2分的隊，得4分的隊負(fù)得5分的隊；四支球隊的勝負(fù)關(guān)系如圖所示：5分 4分2分 3分這種情況是存在的；這四支球隊的積分的乘積是2345120。PAGE22PAGE22題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合一個蓄水池有五根水管。要將水池裝滿，前四根水管一起開需要6小時；后四根水管一起開需要8小時。12工程問題。設(shè)整個水池為1份；一號水管二號水管三號水管四號水管161

①66二號水管三號水管四號水管五號水管181

②； 一號水管五號水管

8112

③ 8 12 ①2111218 12 48如果單獨用??號水管，需要1148

48小時將水池裝滿。23題】請問乘積5101520201020150”？【分析與解】數(shù)論，分解質(zhì)因數(shù)，末尾的零。我們知道一些數(shù)相乘末位數(shù)為零，則說明這些數(shù)分解質(zhì)因數(shù)必定有質(zhì)數(shù)2與5。每多出現(xiàn)一對2與5就多出現(xiàn)一個零。510152020102015515253545402540312344024035403；我們考慮1234402403的乘積中，因數(shù)2的個數(shù)、因數(shù)5的個數(shù)；，100250，50225，11；201100502512631398；1234402403的乘積中，因數(shù)2的個數(shù)有398個；故510152020102015的乘積中，因數(shù)2的個數(shù)有398個；而510152020102015的乘積中，因數(shù)5的個數(shù)多于403個；故乘積510152020102015的尾部有3980PAGEPAGE24題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合在圖中，將一些格子染色，使得圖中任意一個33的正方形內(nèi)恰好有4個格子染了色，請問至少需要將多少個格子染色？最值問題。圖1首先我們考慮圖1的4個33的正方形；要使這4個33的正方形，每個至少有4個格子染了色，且染的格子數(shù)量盡可能少；我們先考慮這4個33的正方形的重疊部分；其中第3行第3列被計算4次，第1行第3列、第2行第3列、第4行第3列、第5行第3列、第3行第1列、第3行第2列、第3行第2列、第3行第2列分別被計算2次；44161426；故至少需要167個格子染色；另一方面，如圖2所示，是符合題意的一種染色方式；圖2綜上所述，至少需要將7個格子染色。從標(biāo)有號碼1至49的49只球中，挑選若干個球，排成一個圓圈，使任何相鄰兩球的標(biāo)號數(shù)乘積小于100。問：最多能挑選多少只球？最值問題。91090，1011110；故任意兩只標(biāo)號數(shù)不小于10的球不能相鄰；即相鄰的兩只球至少有一個標(biāo)號數(shù)小于10；故最多能挑選9218只球。例如如下圖所示。101189 211 178 312 167 413 15614526題】A、B兩站同時相向開出，甲車速度與乙車速度的比為32。CA、B兩站之間，甲、乙兩列車到達(dá)C站的時間分別是上午9時和晚上19時。求甲乙兩車相遇的時間?！痉治雠c解】行程問題，相遇問題。若甲車到達(dá)途中C站后停止，乙車要和甲車相遇需要19910個小時；因為甲車速度與乙車速度的比為32；所以甲、乙兩車的速度和與乙車速度的比為52；所以當(dāng)甲車到達(dá)途中C站后，甲、乙兩車相遇需要10254小時；甲乙兩車相遇的時間為1300。PAGEPAGE27題】20152015年第26屆亞太小學(xué)奧林匹克第一回合設(shè)a，b，c為0到9的數(shù)字（允許相同，如果將所有形如0.abc的循環(huán)小數(shù)化成最簡分?jǐn)?shù)，分子有多少數(shù)論。0.abc；abc999abc3 ；abc001~999；3的倍數(shù)有9993333個，37的倍數(shù)有9993727個，既是3的倍數(shù)又是37的倍數(shù)有9993379個，3的倍數(shù)或37的倍數(shù)有333279351個；既不是3的倍數(shù)，又不是37的倍數(shù)有999351648個。abc既不是3的倍數(shù)，又不是37abc為最簡分?jǐn)?shù)；這樣的分子有648個；999⑵如果化成最簡分?jǐn)?shù)后，分子是37abc應(yīng)該是3721369的倍數(shù)，這種情況不存在；⑶如果化成最簡分?jǐn)?shù)后，分子是3abc應(yīng)該是3481的倍數(shù)；999811227，即1~9993481的倍數(shù)有12個；綜上所述，分子有64812660種不同的取值。AKQJ，10AKQJ，10的信封，要求每個信封內(nèi)都有一張牌。請問有多少種放法使得最后每張牌都被放進了錯的信封？【分析與解】（方法一）AK中：KA中，有2種情況：??牌QJJ放進信封10中，牌10放進信封Q中；②牌Q放進信封10中，牌10JJ放進信封Q中；K放進信封Q中，有3種情況：??牌QAJ放進信封10中，牌10J中；②牌QJJ放進信封10中，牌10A中；③牌Q放進信封10中，牌10JJA中；KJ、10中，也各有3種情況；AK23311種情況；A放進信封QJ、10中，也各有11種情況；有11444種放法使得最后每張牌都被放進了錯的信封。（方法二）Euler裝錯信封問題】某人寫了幾封信，并且在幾個信封上寫下了對應(yīng)的地址，把所有的信箋裝錯信封的情況，共有多少種？nn111n1種。!11! 2! 3! n! 有5!11111144種放法使得最后每張牌都被放進了錯的信封。 1! 2! 3! 4! 5! 29題】有多少個五位數(shù)能被3整除而且至少有一個數(shù)字是'3？【分析與解】計數(shù)，排除法，乘法原理。我們先考慮“至少出現(xiàn)一個數(shù)碼3”的反面“不含數(shù)碼3那么萬位有8種選擇（不能選0、3，千位、百位、十位均各有9種選擇（不能選3我們知道如果一個數(shù)是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)的數(shù)