期中模擬測試卷01（考試范圍1.1-3.1）（解析版）

期中模擬測試卷01（考試范圍：空間向量、直線方程、圓的方程與橢圓）滿分：150分考試時間：120分鐘。一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．在正方體中，【】A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，在正方體中，，，所以，.故選：B2．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)，若，，，則等于【】A． B． C． D．【答案】D【解析】故選：D.3．已知直線l1：（a﹣1）x＋2y＋1＝0，l2：x﹣ay＋1＝0，a∈R，若l1⊥l2，則a的值為【】A．0 B．﹣1 C．1 D．0或﹣1【答案】B【解析】因為直線l1：（a﹣1）x＋2y＋1＝0，l2：x﹣ay＋1＝0，且l1⊥l2，所以，解得，故選：B4．過點(diǎn)引直線，使，到它的距離相等，則這條直線的方程是【】A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】設(shè)所求的直線為，則直線平行于或直線過線段的中點(diǎn)，因為，，所以，所以過點(diǎn)且與平行的直線為：即，因為，，所以線段的中點(diǎn)為，所以過點(diǎn)與線段的中點(diǎn)為的直線的方程為：，即，所以這條直線的方程是：或，故選：D.5．已知圓與圓內(nèi)切，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，則滿足到直線的距離等于3的點(diǎn)的個數(shù)為【】A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由題意知兩圓相切，即圓心距為，，即圓的半徑為，到直線的距離為，在直線的兩邊分別有一個和兩個這樣的點(diǎn)，故滿足到直線的距離等于3的點(diǎn)的個數(shù)為個.故選：C.6．直線平分圓的周長，過點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，則【】A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以直線經(jīng)過，所以，故，由已知，，，圓的半徑為3，所以，故選：B.7．已知橢圓，P是橢圓C上的點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是【】A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，在橢圓上，，，兩邊都乘以化簡后得：，，，又因為橢圓離心率，.故選：A.8．如圖，已知正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則下列四個結(jié)論正確的是【】A．存在點(diǎn)，使B．三棱錐的體積隨動點(diǎn)變化而變化C．直線與所成的角不可能等于D．存在點(diǎn)，使平面【答案】D【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為2，則，，，，，，因為為線段上運(yùn)動，設(shè)（），則，，若，則（），則有，顯然無解，故A錯誤；因為∥AC，平面，平面，故∥平面，因為為線段上運(yùn)動，故到平面的距離不變，所以為定值，不隨E的變動而變動，故三棱錐的體積不隨動點(diǎn)變化而變化，B錯誤；，設(shè)直線與所成角為，則，令，解得：，故當(dāng)E為中點(diǎn)時，此時直線與所成的角為60°，故C錯誤；設(shè)平面的法向量為，則，令得：，故，因為當(dāng)時，即，故平面，故D正確.故選：D二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則【】A．點(diǎn)的坐標(biāo)為，5，B．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，8，C．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，5，D．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，5，【答案】ACD【解析】對A，由圖可得，的坐標(biāo)為，5，，故A正確；對B，由圖，，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為則，解得，故，故B錯誤；對C，在長方體中，所以四邊形為正方形，與垂直且平分，即點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，選項C正確；對D，因為平面，故點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，即，選項D正確；故選：ACD.10．下列說法錯誤的是【】A．若直線與直線互相垂直，則B．直線必過定點(diǎn)C．直線在y軸上的截距為D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】AD【解析】解：對A：，解得或，A不正確；對B：直線可變?yōu)?，因此直線必過定點(diǎn)，即B正確；對C：直線在軸上的截距，令，得，所以直線在軸上的截距為，所以C正確．對D：經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，所以D不正確；故選：AD．11．已知橢圓M：的左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，P是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是【】A．周長為B．面積最大值為C．存在點(diǎn)P滿足：D．若面積為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為【答案】BD【解析】由題意，，，短軸一個端點(diǎn)，由題知，故周長為，故A錯誤；利用橢圓的性質(zhì)可知面積最大值為，故B正確；因為，所以，從而，而是橢圓上任一點(diǎn)時，當(dāng)是短軸端點(diǎn)時最大，因此不存在點(diǎn)滿足，故C錯誤；因為，，則，，故D正確．故選：BD．12．已知圓：，圓：（，且，不同時為0）交于不同的兩點(diǎn)，，下列結(jié)論正確的是【】A．B．C．，D．，為圓上的兩動點(diǎn)，且，則的最大值為【答案】ABC【解析】由,得,兩圓的方程相減得到直線的方程為,因為點(diǎn)在直線上,代入直線的方程,得,因此選項正確;又因為也在直線上,所以代入直線的方程,得,聯(lián)立，得,因此選項B正確;因為兩圓半徑相等,所以的中點(diǎn)恰為的中點(diǎn),所以成立,因此選項正確;設(shè)的中點(diǎn)為H,則,當(dāng)且點(diǎn)與點(diǎn)分布在異側(cè)最大,最大為,則最大值為，而不是，因此選項D錯誤.故選:ABC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．若直線l的一個方向向量為，平面a的一個法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是______．【答案】垂直或【解析】因為直線l的一個方向向量為，平面a的一個法向量為，且，所以與共線，，所以直線l與平面的位置關(guān)系為垂直，故答案為：垂直或14．設(shè)，已知直線l1：，過點(diǎn)作直線l2，且l1∥l2，則直線l1與l2之間距離的最大值是__．【答案】【解析】解：由于直線l1：，整理得，由，解得，即直線l1恒過點(diǎn)；則過點(diǎn)作直線l2，且l1∥l2，所以直線l1與l2之間距離的最大值為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離．故答案為：．15．如圖，已知棱長為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)，滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長度為______．【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量則有，令，則則設(shè)，則∵，則又∵PM=PD，則整理得：聯(lián)立方程，則可得，可得當(dāng)時，，當(dāng)時，在空間中，滿足PM=PD的P為過MD的中點(diǎn)且與MD垂直的平面兩個平面的公共部分為直線，即點(diǎn)P的軌跡為平面A′C′D，則故答案為：．16．已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為___________；當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線的方程是_______________【答案】.

.【解析】由題意，設(shè)直線為且，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴的最小值為.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，整理得.故答案為：，.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知向量，，.(1)當(dāng)時，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)x和k的值；(2)當(dāng)時，求證：向量與向量，共面.【答案】(1)；；(2)證明見解析.【解析】（1）因為,所以，解得，因為，向量與垂直，所以，∴，∴；所以實(shí)數(shù)和的值分別為和；（2）當(dāng)時，，設(shè)（），則，，解得，即，所以向量與向量，共面.18．（12分）已知直線過點(diǎn)．(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸正半軸的交點(diǎn)為，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．【答案】(1)或(2)12【解析】(1)當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，直線的斜率為，所以直線的方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)可得，所以所求直線方程為，即．綜上可得，所求直線方程為：或．【解析】(2)依題意，設(shè)點(diǎn)，（，），直線的方程為，又點(diǎn)在直線上，于是有，利用基本不等式，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，，即的面積的最小值為12．19．（12分）已知點(diǎn)P在圓C：＝16上運(yùn)動，點(diǎn)Q（4，3）．(1)若點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)．求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)過原點(diǎn)O且不與y軸重合的直線l與曲線E交于兩點(diǎn)是否為定值？若是定值，求出該值；否則，請說明理由．【答案】(1)；(2)是，【解析】(1)法一：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是．由于點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，3），且M是線段PQ的中點(diǎn)，所以，于是有，．

①因為點(diǎn)P在圓上運(yùn)動，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足圓的方程，即．②把①代入②得．整理，得＝4．這就是點(diǎn)M的軌跡E的方程．法二：圓C的圓心C（－2，－3），半徑為4．設(shè)CQ的中點(diǎn)為N，則N（1，0）．依題意，|MN|＝＝2，所以點(diǎn)M的軌跡是以N為圓心，2為半徑的圓，即M的軌跡E的方程為＝4．(2)∵l過原點(diǎn)O且不與y軸重合，∴可設(shè)直線l的方程為y＝kx．聯(lián)立直線l與E的方程，消去y并整理得＝0，依題意知是上方程的兩根，則＝＝．則＝＝＝故是定值．20．（12分）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面所成角；(3)若線段上總存在一點(diǎn)，使得，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）證明：設(shè)，連接，因為矩形中是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，所以，，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：由題意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，因為平面平面，，所以平面，所以，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，若，則，則，，可知平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則由，可知，不妨令，則，，即，設(shè)平面與平面所成角為，因為為銳角，所以，所以平面與平面所成角的大小為．（3）解：，則，因為點(diǎn)在線段上，設(shè)，其中，則，從而點(diǎn)坐標(biāo)為，于是，而，則由可知，即，所以，解得，故的最大值為21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線：，圓：.（1）求的取值范圍，并求出圓心坐標(biāo)；（2）若圓的半徑為1，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（3）有一動圓的半徑為1，圓心在上，若動圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）的取值范圍為，圓心坐標(biāo)為；（2）或；（3）.【解析】（1）化為，由得，∴的取值范圍為，圓心坐標(biāo)為.（2）由（1）知圓心的坐標(biāo)為，當(dāng)半徑為1時，圓的方程為：，將代入，得，∴在圓外，設(shè)所求圓的切線方程為，即，∴.∴，∴，∴或者，∴所求圓的切線方程為：或者，即或.（3）∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心，又半徑為1，則圓的方程為：，又∵，∴點(diǎn)在的中垂線上，的中點(diǎn)得直線：，∴點(diǎn)應(yīng)該既在圓上又在直線上，即圓和直線有公共點(diǎn).∴，∴.綜上所述，的取值范圍為：.22．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓內(nèi)任意一點(diǎn)（不含橢圓邊界及軸），的周長的范圍是．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓