2016年上海中環(huán)杯決賽四年級試題詳解

第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽2016年3月5日930~110090分鐘滿分：100分A（本大題共8小題，每題68分）1題】計(jì)算：0.2631.91261969 。【分析與解】計(jì)算，提取公因數(shù)。0.2631.912619690.2631.963219690.2631.926319690.2633.86319690.23.8631969463196946374794637479463746317463846320162題】一個質(zhì)數(shù)a比一個完全平方數(shù)b小10，則a的最小值為 （說明：完全平方數(shù)是指能表示為一個整數(shù)的平方的數(shù)，比如422，932，所以4、9都是完全平方數(shù)）【分析與解】數(shù)論，質(zhì)數(shù)，完全平方數(shù)。a2，則b21012不是完全平方數(shù)；a是奇數(shù)，則ba10b為奇數(shù)的平方數(shù)；比10大的奇完全平方數(shù)從小到大依次為52257249、9281，……；25101535是合數(shù)，491039313是合數(shù)，811071是質(zhì)數(shù)；a最小是71。33題】第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽如圖，C、E、B三點(diǎn)共線，CBAB，AE//DC，AB8，CE5，則△AED的面積為 。C6EDA 8 B【分析與解】幾何，等積變形。C C6 6E ED DA 8 B A 8 BAC；DC；；因?yàn)镃BAB；SAECCEAB258220；SAED20。4題】三支蠟燭分別能燃燒3040、50分鐘（但是不是同時(shí)點(diǎn)燃的。已知這三支蠟燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有10分鐘，只有一支蠟燭處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有20分鐘。那么正好有兩支蠟燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有 分鐘?！痉治雠c解】30400032025分鐘。55題】第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽顏色，然后將其切割成12個111的小立方體。這12個小立方體中，有 個小立方體上既紅色面又有藍(lán)色面?！痉治雠c解】H GFDFDCB故不妨設(shè)上、下、前染紅色，左、右、后染藍(lán)色；ABCDEFGHEFGHABCDABFEADHEBCGF、DCGH染藍(lán)色；則紅面與藍(lán)面公共的棱上的小立方體上既有紅色面又有藍(lán)色面；即CD、GHAEBFADBCFGEH這8條棱上的小立方體上既有紅色面又有藍(lán)色面；注意到每個頂點(diǎn)的小正方體都被計(jì)算了2次，即多計(jì)算了1次；故有88856個小立方體上既有紅色面又有藍(lán)色面。6題】為k為自然數(shù)）的最大因數(shù)為 。【分析與解】數(shù)論，分解質(zhì)因數(shù)，同余。將11!分解質(zhì)因數(shù)：設(shè)112a3b5c7d11e；5221，221，a5218；11332，331，b314；11521，c2；，d1；11111，e1；故1128345271111；因?yàn)?k1既不是2的倍數(shù)又不是3的倍數(shù)；故所求的數(shù)既不含質(zhì)因數(shù)2又不含質(zhì)因數(shù)3；5271111的所有因數(shù)中，可以表示為6k1（k為自然數(shù)）的最大因數(shù)為幾？”而52711115mod6；于是我們考慮571157113851mod6；故在11!的所有因數(shù)中，可以表示為6k1（k為自然數(shù)）的最大因數(shù)為385。PAGEPAGE7題】第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽在某次數(shù)學(xué)比賽中，一共有6道題目，每道題目的分值均為7分（最后每題的得分都是整數(shù)，最低為0分，最高為7分66道題目得分之和，從而評定名次高低。如果還相同，就算兩人并列。在這次比賽中，一共有86262144位參賽者，這些參賽者中沒有出現(xiàn)并列。排名為76117649的參賽者的得分為 分?！菊f明】⑴此題為錯題。若兩個人6道題每題得分完全相同；則66道題目得分的和也相同；則這兩個人的排名相同，即這兩個人并列。由題意，這86262144位參賽者中沒有出現(xiàn)并列；則這86262144位參賽者每題得分均不完全相同。而每題的得分為0~7的整數(shù)，由乘法原理一共有86種得分情況；若甲第1~6題得分為0、0、0、0、0、0、1，乙第1~6題得分為0、0、0、0、0、1、0，甲、乙兩人6道題目得分的乘積為06道題目得分的和為1；則甲、乙兩人排名相同，即這兩個人并列；故此題為錯題。⑵若將原題中“這些參賽者中沒有出現(xiàn)并列”改為“這些參賽者中，任意兩人這6題的各題得分不完全相761749的參賽者的得分為1分。理由如下：若6題中，至少有一題得分為0，則6道題目得分的乘積為0；若6題中，沒有一題得分為0，則6道題目得分的乘積不為0，這種情況下，每題的得分為1~7的整數(shù)，由乘法原理一共有76種得分情況；故排名為76117649的參賽者的得分為乘積最小的正整數(shù)；而第1~6題得分為1、1、1、1、1、1的參賽者，得分為1；故排名為76117649的參賽者的得分為1分。如圖所示，兩條直線與兩個圓交于9個點(diǎn)。從這9個點(diǎn)中選出4個點(diǎn)，要求這4個點(diǎn)中的任意3個點(diǎn)既不在一條直線上，也不在一個圓圈上。不同的選法有 種?！痉治雠c解】計(jì)數(shù)，乘法原理和加法原理。HHDEAO C GBF因?yàn)檫@4個點(diǎn)中的任意3個點(diǎn)不在一條直線上；所以這4個點(diǎn)都不是中心O點(diǎn)；故這個4個點(diǎn)均在這兩個圓上；又因?yàn)檫@4個點(diǎn)中的任意3個點(diǎn)不在一個圓圈上；所以在這4個點(diǎn)中，有2個點(diǎn)在小圓上，另外2個點(diǎn)在大圓上。⑴如果小圓上的2個點(diǎn)在一條直線上，有2A、CBD；此時(shí)，每種情況下對應(yīng)大圓上的2個點(diǎn)有1種可能；例如：當(dāng)小圓上的2A、C時(shí)，大圓上的2BD。⑵如果小圓上的2個點(diǎn)不在一條直線上，有4ABB、C或CDDA；此時(shí)，每種情況下對應(yīng)大圓上的2個點(diǎn)有224種可能；例如：當(dāng)小圓上的2AB時(shí)，大圓上的2EFEH或GF或GH。綜上所述，不同的選法有214418種。BB（本大題共4小題，每題8分，共2分）第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽9題】AB、CD四人參加一個會議，他們都獲得一個相同的正整數(shù)，接下來每人對這個正整數(shù)進(jìn)行描述。每人都說了三句話，其中至少有一句是真話，至少有一句是假話。他們說的話如下：A（1）這個數(shù)小于2；（A2）7不能整除這個數(shù)；（A3）5乘以這個數(shù)的結(jié)果小于70。B（1）2乘以這個數(shù)的結(jié)果大于100；（B2）10能整除這個數(shù)；（B3）這個數(shù)大于100。C（1）4能整除這個數(shù)；（C2）11乘以這個數(shù)的結(jié)果小于1000；（C3）9能整除這個數(shù)。D（1）這個數(shù)小于0；（D2）這個數(shù)是一個質(zhì)數(shù)；（D3）7能整除這個數(shù)。這個數(shù)是 ?！痉治雠c解】我們把條件整理一下：A（1）n12（2）n（3）n70n14。B（B）12n00n31（B）10|n（B）n10。1 3 2 3C（C）4|n（C）1n100n010（C）9|n。1 2 11 3D（1）n0（2）n（3）7|n。⑴若（⑴若（3）（2）是假話；即7|n；第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽（A1）與（A3）中至少有一個是真話，但不可能為（1）（3）則（A3）n14；故（D1）是真話；故（D2）是假話；n14且7|nn7，而7（2）n是一個質(zhì)數(shù)”是假話矛盾。⑵故若（3）（2）是真話；即n；（A1）與（A3）中至少有一個是假話，但不可能為（1）（3）則（A1）n≥12；再對（D1）進(jìn)行討論：??若（D1）是真話，即12≤n20；故（B1）與（B3）都是假話；則（B2）是真話；則10|n。但不存在既滿足12n20，又滿足10|nn。②故（D1）n20；則（D2）n是一個質(zhì)數(shù)；則（C2）是真話，即20≤n≤90；故（B3）是假話；則（B1）是真話，即84n90；注意到，符合84n90nn89，即這個數(shù)是89。題】第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽如圖，△ABC是一個等邊三角形。在BC邊上取點(diǎn)D、E，使得BC3DE。作等邊△DEF，聯(lián)結(jié)AF。作DG平行AF交邊AB于點(diǎn)G，作EH平行AF交邊AC于點(diǎn)H，作GIAF、HJAF。若△BDF的面積為45，△DEF的面積為30，則GIHJ 。AGGIJHFD E C【分析與解】幾何，等積變形，燕尾模型。GIJGIJHFGIJHFB D KE C B

D E CAFBCKADAE。BDDES△BDFS△DEF453032；BC3DE；BDDEBC326；BDDECE321。因?yàn)锳BCFDE60；AB；DKBKDFAB13；DKBD12；因?yàn)橐驗(yàn)镕EDACB60；第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽AC；EKCKEFAC13；EKCE12；BDDECE321；

313: : :122

6312。AGGIJHFB D KE CSADFSAEFDKEK31；SADFAFGI2SAEFAFHJ2；故GIHJSADFSAEF31；即GIHJ3。PAGEPAGE12題】第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽個。小正方形的邊如果位于黑色部分，就稱為黑邊，反之就是白邊。在55的方格內(nèi)，相鄰（有公共邊）55方格的四條長邊（b所示）上最少有 條黑邊。圖a 圖b【分析與解】角上的小方格，每個有2條邊在外面，故其中至少有1條是黑邊；這樣55方格的四條長邊上，黑邊不少于144條。每個小方格有35525個小方格一共有32575條黑邊；而在55的方格內(nèi)，相鄰（有公共邊）小方格的公共邊必須是同色的；故內(nèi)部的黑邊的條數(shù)為偶數(shù)；則四條長邊上的黑邊的條數(shù)為奇數(shù)；所以55方格的四條長邊上，黑邊不少于5條。如圖所示為55方格的四條長邊上有5條黑邊的例子。55方格的四條長邊上最少有5條黑邊。如圖，在88的正方形網(wǎng)格中，A、B兩點(diǎn)處各有一只臭蟲（A點(diǎn)處的臭蟲我們稱其為a臭蟲，B點(diǎn)處的為b走1若b臭蟲走兩格，a臭蟲走三格，最后b臭蟲與A點(diǎn)的距離小于等于a臭蟲與A點(diǎn)距離的走法有 種。AB【分析與解】計(jì)數(shù)，乘法原理，加法原理，排列，組合。b臭蟲走2格：→→，最后bA點(diǎn)3格；←←，最后bA點(diǎn)1格；5↑↑或↓↓，最后b臭蟲距離A點(diǎn) 格（21長方形的對角線；55→↑或→↓以及其排列，最后bA點(diǎn)5→←以及其排列，最后bA點(diǎn)1格；

格（21長方形的對角線；←↑或←↓以及其排列，最后bA點(diǎn)1格；↑↓以及其排列，最后bA點(diǎn)1格；2最后bA點(diǎn)1格，有14P29種走法；25最后bA點(diǎn)5

格（21長方形的對角線，有22P26種走法；2最后bA點(diǎn)3格，有1種走法。2a臭蟲走3格：aA點(diǎn)3格；aA點(diǎn)1格；→→↑或→→↓或←←↑或←←↓或↑↑→或↑↑←或↓↓→或↓↓←以及其排列，5最后a臭蟲距離A點(diǎn) 格（21長方形的對角線；553 2 aA1格；aA點(diǎn)1格，有4C1C24P33653 2 aA點(diǎn)

格（21長方形的對角線，有8C1C224種走法；3 aA點(diǎn)3格，有43 第十六屆“第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動四年級決賽⑶最后bAaA點(diǎn)距離:??當(dāng)最后bA點(diǎn)1格，5aA點(diǎn)1格或5

格（21長方形的對角線）或3格，有936244964576種；5②當(dāng)最后b臭蟲距離A點(diǎn) 格（21長方形的對角線，55aA點(diǎn)5有6244168種；

格（21長方形的對角線）或3格，③當(dāng)最后bA點(diǎn)3格，aA點(diǎn)3格，有144種；綜上所述，最后bAaA點(diǎn)距離的走法有5761684748種。本大題共2小題，每題100題】A、BA0/50千米/A、B兩地相距900BA地，速度變?yōu)?0千米/時(shí)。當(dāng)乙B40千米/AB地，速度恢復(fù)為/BA/A、B兩40千米/時(shí)與50千米/2016次相遇時(shí)，甲車一共行駛了多少千米？【分析與解】行程問題，多次相遇。甲以40AB，再以50BA；乙以50BA，再以40AB；故甲、乙各走了一個來回用時(shí)相等。在甲、乙各走了一個來回的過程中，甲、乙相遇了2次。201621008，若甲、乙各走了1008個來回的過程中，甲、乙相遇了2016次。從第2016AB兩地這個過程中，甲的速度為50千米/時(shí)，乙的速度為40千米/時(shí)；則甲、乙的速度比為504054；甲、乙的路程比也為54；其中甲行駛了900

5

500米。故當(dāng)兩車第2016次相遇時(shí)，甲車行駛的路程相當(dāng)于1008個來回再去掉這500米，即為900100825001813900米。題】Dx、y（y≥x≥1xyAxyB。A、B（A、By≥x≥1：xy的值。xy的值了。xy的值。邏輯推理。Bxy的值”可得xy既不是1xy為合數(shù)。xy20Bxy的值”可得xy的乘積拆成兩個和不大于20的正整數(shù)的乘積方法惟一確定；2137，22211，2555，26213，2739，33311，34217，3557，39313，44411，4977，50510，51317，52413，5469，55511，6379，65513，66611，75515，77711，80810，8199，88811，90910917139681299911，1001010。BxyAxy的值”可得在⑵所列的情況下，分別計(jì)算對應(yīng)兩個因數(shù)的和，這個和是惟一的。21372