微專題2抽象函數(shù)(教師版)

微專題2抽象函數(shù)1.求抽象函數(shù)的定義域①已知fx的定義域，求f若fx的定義域?yàn)閍,b，則fgx中a≤gx≤b，解得②已知fgx的定義域，求若fgx的定義域?yàn)閍,b，則由a≤x≤b確定gx的范圍，即為③已知fgx的定義域，求f可先由fgx定義域求得fx的定義域，再由fx④運(yùn)算型的抽象函數(shù)求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集.注意：求抽象函數(shù)的定義域，要明確定義域指的是x的取值范圍，同一個(gè)f下括號(hào)內(nèi)的范圍是一樣的.2.求抽象函數(shù)的函數(shù)值或值域以抽象函數(shù)為載體的求值問(wèn)題的常見(jiàn)形式，，可通過(guò)不斷賦值,或借助函數(shù)奇偶性與周期性逐級(jí)遞推,最終求出函數(shù)值.3.求抽象函數(shù)的解析式=1\*GB3①換元法：用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式,從而求出f(x)；=2\*GB3②湊合法：在已知f(g(x))=h(x)的條件下,把h(x)并湊成以g(x)表示的代數(shù)式,再利用代換即可求fx；=3\*GB3③待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件,求出出關(guān)系式中的未知系數(shù)；=4\*GB3④利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式；=5\*GB3⑤賦值法：給自變量取特殊值,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律,求出f(x)的表達(dá)式；=6\*GB3⑥方程組法：一般等號(hào)左邊有兩個(gè)抽象函數(shù)(如f(x),f(-x))，將左邊的兩個(gè)抽象函數(shù)看成兩個(gè)變量，變換變量構(gòu)造一個(gè)方程,與原方程組成一個(gè)方程組,利用消元法求f(x)的解析式.

=1\*GB3①定義法判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性：=1\*romani.單調(diào)性：結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件,對(duì)任意x1,x2在所給區(qū)間內(nèi)比較fx1-fx2與0的大小,或fx1f=2\*romanii.奇偶性：抽象函數(shù)奇偶性判定的根本依據(jù)是函數(shù)奇偶性的定義,判斷f(x)和f(-x)的關(guān)系.=2\*GB3②借助函數(shù)模型：根據(jù)已知條件建立函數(shù)模型，通過(guò)分析模型函數(shù)的圖象或性質(zhì)判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性.5.抽象函數(shù)的對(duì)稱性=1\*GB3①軸對(duì)稱：=1\*romani.函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱?f(x+a)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x)；

=2\*romanii.函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a+b2=2\*GB3②中心對(duì)稱：

=1\*romani.函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱?f(x)=-f(2a-x)?f(x+a)=-f(a-x)；

=2\*romanii.函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱?f(x+a)+f(a-x)=2b?f(-x)+f(2a+x)=2b.=3\*GB3③函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系：

=1\*romani.若f(x+a)為奇函數(shù),則f(x)關(guān)于(a,0)對(duì)稱;

=2\*romanii.若f(x+a)為偶函數(shù),則f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱;

=3\*romaniii.若fωx+φ為奇函數(shù),則f(x)關(guān)于φ,0對(duì)稱;

=4\*romaniv.若fωx+φ為偶函數(shù),則f(x)關(guān)于x=φ對(duì)稱.周期性

=1\*GB3①周期性的常用結(jié)論=1\*romani.如果f(x+a)=f(x+b),則f(x)的周期T=b-a；

=2\*romanii.如果f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期T=2a；

=3\*romaniii.如果f(x+a)=1fx,則f(x)的周期T=2a；=4\*romaniv.如果fx+a=-1fx,則f(x)的周期=5\*romanv.如果f(x+a)=1+fx1-fx,則f(x)的周期T=4a；

=6\*romanvi.如果f(x+a)=1-fx1+fx,則f(x)的周期=2\*GB3②拓展結(jié)論=1\*romani.若fx+m=kf(x),(m>0,k>0),則只需將函數(shù)在一個(gè)“周期”內(nèi)的圖象向右平移m個(gè)單位的同時(shí),函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的k倍；向左平移m個(gè)單位的同時(shí)函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的1k倍.

=2\*romanii.若f(x+m)=f(x)+k,(m>0,k>0),則只需將函數(shù)在一個(gè)“周期”內(nèi)的圖象向右平移m個(gè)單位的同時(shí),向上平移k個(gè)單位；向左平移m個(gè)單位的同時(shí),向上平移k個(gè)單位.=3\*romaniii.若f(mx)=f(x),(m>0),則只需將函數(shù)在一個(gè)“周期”內(nèi)的圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的m倍時(shí),函數(shù)值不變.=4\*romaniv.若f(mx)=kf(x),(m>0,k>0),則只需將函數(shù)在一個(gè)“周期”內(nèi)的圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的m倍時(shí),函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的k,橫坐標(biāo)縮短為為原來(lái)的1m時(shí),函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的k倍.7.函數(shù)對(duì)稱性和周期性的關(guān)系

=1\*GB3①如果函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a,x=b對(duì)稱,則f(x)為周期函數(shù),周期T=2|b-a|；

=2\*GB3②如果函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱,則f(x)為周期函數(shù),周期T=2|b-a|；

=3\*GB3③如果函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則f(x)為周期函數(shù),周期T=4|b-a|.8.函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)對(duì)稱性和周期性的關(guān)系

=1\*GB3①若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；

=2\*GB3②若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；

=3\*GB3③若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則其導(dǎo)函數(shù)關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱；

=4\*GB3④若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱,則其導(dǎo)函數(shù)關(guān)于直線x=a對(duì)稱;

=5\*GB3⑤若函數(shù)f(x)是以T為周期的函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)也是以T為周期的函數(shù).抽象函數(shù)模型函數(shù)f線性函數(shù)模型：y=kxf指數(shù)函數(shù)模型：y=f對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y=f冪函數(shù)模型：y=f三角函數(shù)模型：y=cosx構(gòu)造模型,推測(cè)驗(yàn)證：根據(jù)已知條件,尋找函數(shù)模型(一次函數(shù)、指、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)模型等),通過(guò)分析其函數(shù)圖象或性質(zhì)去推測(cè)驗(yàn)證抽象函數(shù)的性質(zhì),從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.考點(diǎn)一考點(diǎn)一賦值法研究抽象函數(shù)【方法儲(chǔ)備】：將所給函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為條件等式,在條件等式中對(duì)變量賦予一些具體的值,構(gòu)造出所需要的條件,其中賦予的具體值常常起到橋梁作用；2.通過(guò)賦值(數(shù)值、代數(shù)式),求函數(shù)在特定點(diǎn)的函數(shù)值、最值以及解析式,或判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇

偶性以及周期性.【典例精講】例1.(2023·安徽省模擬)（多選）已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意a，b∈R都滿足f(ab)=af(b)+bf(a)，則下述正確的是(

)A.f(0)=0 B.f(1)=1

C.f(x)是奇函數(shù) D.若f(2)=2，則f(-解：對(duì)a，b取特殊值代入已知表達(dá)式即可求解

令a=b=0，則f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正確;

令a=b=1，則f(1)=1f(1)+1f(1)=2f(1)，則f(1)=0，故B錯(cuò)誤;

令a=b=-1，則f(1)=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1)，所以f(-1)=0，

又令a=-1，b=x，則f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)+0=-f(x)，

所以f(x)是奇函數(shù)，故C正確;

令a=2，b=-12，則f(-1)=f[2×(-12)]=2f(-12)-12f(2)=2f(-例2.(2023·廣東省中山市月考)設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足f0=1，且對(duì)任意的x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=

．解：∵f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，

令x=y=0，得f(1)=1-1-0+2，∴f(1)=2．

令y=0，f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2，

∴f(x)=x+1，

故答案為：x+1．例3.(2023·山東省濱州市模擬)（多選）定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)，且當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，f(x)<0，則有(

)A.f(x)為奇函數(shù)

B.存在非零實(shí)數(shù)a，b，使得f(a)+f(b)=f(12)

C.f(x)解：令x=0,y=0，得f(0)-f(0)=f(0)，所以f(0)=0；令x=0,y=x，得f(0)-f(x)=f(-x)，故-f(x)=f(-x)，則f(x)為奇函數(shù)，故A正確;任取-1<x1<x2<1，則1+x1>0因?yàn)閤1-x則f(x1)-f(x2)=f(x則f(12)+f(若f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)=f(a+b1+ab)=f(則2a+2b=1+ab，a=1-2b2-b=2+3b-2，

當(dāng)b∈(-1,1)時(shí)，-3<b-2<-1，-3<3b-2<-1，

-1<2+3b-2故選ABC．【拓展提升】練11(2023·廣東省揭陽(yáng)市月考)已知函數(shù)f(x)定義在R上，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(x+4)=-f(x)+22，若函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，f(-1)=2，則f(2013)=(

)A.-2+22 B.2+22解：∵y=f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，向左平移1個(gè)單位，得y=f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

即f(-x)=f(x)，

又f(x+4)=-f(x)+22，

∴f(x+4)+f(x)=22，

∵f(-1)=2，f(-x)=f(x)，

∴f(1)=2，

∴f(3)=22-f(-1)=22-2，

同理可得：f(5)=22-2，f(7)=2，

f(9)=2，f(11)=22-2，

f(13)=22-2，

…

即練12(2023·江西省上饒市期末)（多選）已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞)，且f(xy)=f(x)+f(y)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，f(2)=-1，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.f(1)=0

B.函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)

C.f(12022)+f(12021解：對(duì)于A，令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)，所以f(1)=0，故A正確；

對(duì)于B，令y=1x>0，得f(1)=f(x)+f(1x)=0，所以f(1x)=-f(x)，

任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，則f(x2)-f(x1故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)閒(2)=-1，且f(1x)=-f(x)，所以f(12)=-f(2)=1，

所以f(14)=f(12)+f(12)=2，所以f(1x)-f(x-3)≥2等價(jià)于f(1練13(2023·浙江省杭州市期末)已知函數(shù)f(x)，?x，y∈R，有f(x+y)=f(x)?f(a-y)+f(y)?f(a-x)，其中a≠0，f(a)≠0，則下列說(shuō)法一定正確的是(

)A.f(x)是奇函數(shù) B.4a是f(x)的一個(gè)周期

C.f(x)是偶函數(shù) D.f(a)=1解：取f(x)=12，a=1，則f(a)=12，f(x+y)=12，

故f(x)?f(a-y)+f(y)?f(a-x)=12×12+12×12=取f(x)=sinx，a=π2，則f(a)=1≠0，f(x+y)=sin(x+y)，

f(x)?f(a-y)+f(y)?f(a-x)=sinxcosy+cosxsiny=sin(x+y)，

因此f(x+y)=f(x)?f(a-y)+f(y)?f(a-x)令x=y=0，則f(0)=2f(a)?f(0)，f(a)≠0，得f(0)=0或f(a)=1當(dāng)f(0)=0時(shí)，令x=y=a，則f(2a)=f(a)?f(0)+f(a)?f(0)=0，令x=2a，則f(2a+y)=f(2a)?f(a-y)+f(y)·f(a-2a)=f(y)?f(-a)，再令y=-a，則f(a)=f(-a)f(-a)=1，即f(-a)=1或f(-a)=-1，f(4a+y)=f(2a+y)·f(-a)=f(y)·[f(-a)]故f(x)的周期為4a，當(dāng)f(a)=12時(shí)，

f(x)=f(x+0)=f(x)?f(a)+f(0)?f(a-x)=f(x)?12+f(0)?f(a-x)，

所以f(x)=2f(0)?f(a-x)，

所以f(a2)=2f(0)?f(a2)，

由f(a)=2f(a2)·f(a2)=12，可知f(a2)≠0，

所以f(0)=12故4a為f(x)的一個(gè)周期．故選B．考點(diǎn)二考點(diǎn)二數(shù)形結(jié)合研究抽象函數(shù)【方法儲(chǔ)備】數(shù)形結(jié)合,通過(guò)畫(huà)圖使抽象函數(shù)形象化是在做數(shù)學(xué)題中最常用的一種解題思路.根據(jù)奇偶性、周期等性質(zhì)畫(huà)出圖象,摘取有效信息,結(jié)合圖象解題.【典例精講】

例4.(2022·湖南省郴州市月考)（多選）已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，f(-3)=0，則(

)A.f(3)=0 B.f(x)在R上單調(diào)遞減

C.f(0)=0 D.f(x)≥0的解集為(-∞,-3]∪[0,3]解：因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(3)=-f(-3)=0，f(0)=0，A，C項(xiàng)正確；f(x)的圖像大致如下圖所示，

由圖得，B項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確．

故選ACD．例5.(2022·江蘇省南通市月考)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，f(1+x)=f(1-x)，當(dāng)x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2時(shí)，f(x1)-f(A.[-1,0)∪(0,1] B.[-3,-2)∪(0,1] C.(-2,-1)∪(0,1] D.(-2,0)∪(0,1]解：因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，f(1+x)=f(1-x)，

所以函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且關(guān)于x=1對(duì)稱，

當(dāng)x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2時(shí)，f(x1)-f(x2)x1-x2>0，即函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞增，f(2)=f(0)=f(-2)=0，

其大致圖象如圖所示，

則當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，不等式xf(x)>0【拓展提升】練21(2023·河北省邢臺(tái)市聯(lián)考)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足在[0,+∞)上單調(diào)遞增，f(3)=0，則關(guān)于x的不等式f(x+2)+f(-x-2)x>0的解集為(

)A.(-5,-2)∪(0,+∞) B.(-∞,-5)∪(0,1)

C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-5,0)∪(1,+∞)解：定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以f(x)滿足在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，

又f(3)=0，所以f(-3)=f(3)=0．

作出函數(shù)f(x)的草圖如下：

由f(x+2)+f(-x-2)x>0，得f(x+2)+f[-(x+2)]x>0，得2f(x+2)x>0，

等價(jià)于f(x+2)>0x>0或f(x+2)<0x<0，

即x+2<-3或x+2>3x>0或-3<x+2<3x<0，

解得練22(2023·浙江省杭州市期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)，其中f(x)滿足f(-x)=f(x)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)滿足g(1-x)=g(1+x)且在(1,+∞)上單調(diào)遞減，設(shè)函數(shù)F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]，則對(duì)任意x∈A.F(1-x)≥F(1+x) B.F(1-x)≤F(1+x)

C.F(1-x2解：由題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x)，則f(x)為R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，在(-∞,0)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)g(x)滿足g(1-x)=g(1+x)，則函數(shù)g(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且在(1,+∞)上單調(diào)遞減，在(-∞,1)上單調(diào)遞增，

又F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]=fx,fx≥gxgx,fx<gx,

練23(2023·江蘇省南京市期中)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：f(2+x)-f(2-x)=(x+2)f(2)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.當(dāng)n∈Z時(shí)，f(2n+1)≠0

B.若f(x)=0，則x=2n(n∈Z)

C.若x1,x2∈-1,1，且x1+x2解：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，則f(-x)+f(x)=0，f(0)=0，令x=-2，則f(0)-f(4)=0，所以f(4)=0，

令x=2，則f(4)-f(0)=4f(2)，

所以f(2)=0，則f(2+x)-f(2-x)=0，所以f(2+x)=-f(x-2)

即f(4+x)=-f(x)，所以f(8+x)=-f(4+x)=f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，

作出函數(shù)大致圖像：

對(duì)于A，顯然n∈Z時(shí)，f(2n+1)≠0，故A正確；

對(duì)于B，若f(x)=0，因?yàn)闆](méi)有給出具體的解析式，所以不能判定x=2n(n∈Z)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若x1,x2∈-1,1，且x1+x2>0，不妨設(shè)x1>x2，則x1>x2，

又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則fx1>fx2，所以f(x1)+f(x2)>0，故C正確;

對(duì)于D，若2x-9>0，則f(x-4)>0考點(diǎn)三構(gòu)造考點(diǎn)三構(gòu)造可導(dǎo)抽象函數(shù)構(gòu)造可導(dǎo)抽象函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究抽象函數(shù)的單調(diào)性,解決比較大小、解不等式的問(wèn)題，常見(jiàn)的類型有：（1）對(duì)于f'x（2）對(duì)于f'x（3）對(duì)于f'x（4）對(duì)于f'x（5）對(duì)于f'x（6）對(duì)于f'x（7）對(duì)于f'x（8）對(duì)于f'x（9）對(duì)于f'x（10）對(duì)于xf'（11）對(duì)于xf'（12）對(duì)于xf'（13）對(duì)于xf'（14）對(duì)于f'x（15）對(duì)于f'x（16）對(duì)于f'x①若fx>0，則構(gòu)造hx=lnfx（17）對(duì)于f'x>fx（18）對(duì)于f'x（19）對(duì)于f'x（20）對(duì)于f'x【典例精講】例6.(2022·山東省青島市月考)（多選）記fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若fx<xf'x<2fxA.f1<2f12 B.f解：因?yàn)閒x<xf'x，所以f'xx-fx>0，

則F'x=fxx'=f'xx-fxx2>0，

所以Fx=fxx在x∈0,+∞單調(diào)遞增，

所以F1>F12，即f11>f1212，所以f1>2f12，故A錯(cuò)誤；

同理F2>F1，即f例7.(2022·遼寧省撫順市模擬)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x+4)=f(x)-f(2)，若y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，且對(duì)任意的，x1,x2∈[0,2]，當(dāng)x1≠A.1f(-3)<1f(4)<1解：因?yàn)閒(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，

則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱，所以函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，

又對(duì)任意x∈R都有f(x+4)=f(x)-f(2)，

令x=-2，則f(2)=f(-2)-f(2)=f(2)-f(2)=0，

所以對(duì)任意x∈R都有f(x+4)=f(x)，

即得函數(shù)y=f(x)是以4為周期的偶函數(shù)，

所以f(-3)=f(-3+4)=f(1)，f(4)=f(0)，f(112)=f(112-4)=f(32)，

因?yàn)閷?duì)任意的x1，x2∈[0,2]，當(dāng)x1≠x2時(shí)，f(x1)-f(x2【拓展提升】練31(2022·湖北省黃岡市模擬)己知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R都有fx+f-x=2cosx，f'x+sinx<0，若角α滿足不等式f(π+α)+f(α)≥0A.-∞,-π2 B.-∞,解：令gx=fx-cosx，

∵對(duì)任意的x∈R都有fx+f-x=2cosx，

∴g-x+gx=f-x-cos-x+f∴g∴gπ+α≥-gα=g-α，∴π+α≤-α，得α≤-π2，練32(2022·江蘇省南京市模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)?lnx+f(x)x>0，則不等式(xA.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(1,+∞)解：設(shè)g(x)=f(x)lnx，則g'(x)=f'(x)lnx+f(x)x>0，所以g(x)在(0,+∞)上遞增，

又g(1)=0，所以x>1時(shí)，g(x)=f(x)lnx>g(1)=0，此時(shí)lnx>0，所以f(x)>0，

0<?x?<1時(shí)，g(x)=f(x)lnx<g(1)=0，此時(shí)lnx<0，所以f(x)>0，

所以x∈(0,1)U(1,+∞)時(shí)，f(x)>0，

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以x∈(-∞,-1)∪(-1,0)時(shí)，f(x)<0

考點(diǎn)四考點(diǎn)四利用函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系推理論證例8.(2023·遼寧省名校聯(lián)考)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的定義域均為R，且都不恒為零，則

(

)A.若y=f(g(x))為周期函數(shù)，則y=g(x)為周期函數(shù)

B.若y=f(g(x))為偶函數(shù)，則y=g(x)為偶函數(shù)

C.若y=f(x)，y=g(x)均為單調(diào)遞增函數(shù)，則y=f(x)·g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)

D.若y=f(x)，y=g(x)均為奇函數(shù)，則y=f(g(x))為奇函數(shù)解：令f(x)=sinx，g(x)=2x，函數(shù)y=sin2x是周期函數(shù)，但y=g(x)不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

令f(x)=x2+1，g(x)=2x，則f(g(x))=4x2+1為偶函數(shù)，但y=g(x)不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

令f(x)=x，g(x)=x但y=f(x)?g(x)=x4在R上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；

由y=f(x)，y=g(x)均為奇函數(shù)，則且兩函數(shù)定義域均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)y=f(g(x))為奇函數(shù)，故D正確．

故選：D．例9.(2023·江西省期末)（多選）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-f(x+32)，f(-1)=1，f(0)=-2，且f(x-3A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為偶函數(shù)

C.f(x)是周期為3的周期函數(shù) D.f(0)+f(1)+?+f(2021)=0解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(0)=-2，則f(x)不會(huì)是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=-f(x+32)，可得f(x)=-f(x-32)，

而f(x-34)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x-32)，

則有f(-x)=f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，B正確；

對(duì)于C，若函數(shù)f(x)滿足f(x)=-f(x+32)，則有f(x+3)=-f(x+32)=f(x)，

即函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù)，C正確；

對(duì)于D，f(x)是偶函數(shù)且其周期為3例10.(2022·浙江省溫州市模擬)（多選）已知函數(shù)fx,gx的定義域?yàn)镽,g'x為gx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+g'x-5=0A.f4=5 B.g2=0

解：因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，則g'(x)為奇函數(shù)，

又函數(shù)定義域?yàn)镽，所以g'(0)=0，

又f(x)+g'(x)-5=0，f(x)-g'(4-x)-5=0，

兩式相減得g'(x)+g'(4-x)=0，

即g'(4-x)=-g'(x)=g'(-x)，

故g'(4)=g'(0)=0，

又f(x)+g'(x)-5=0，所以f(4)=5，A正確；

由題目中條件無(wú)法求出g(2)，B錯(cuò)誤;

在式子f(x)-g'(4-x)-5=0中，令=-1，得f(-1)-g'(5)-5=0，

而g'(5)=g'(1)=-g'(-1)，

則f(-1)+g'(-1)-5=0，無(wú)法求得f(-1)，

同理令x=-3得，f(-3)+g'(-3)-5=0，

g'(-3)=g'(1)=-g'(-1)，

因此f(-3)-g'(-1)-5=0，

相加得f(-1)+f(-3)=10，只有在g'(-1)=0時(shí)，有f(-1)=f(-3)，

但g'(-1)不一定為0，因此C錯(cuò)誤;

由f(x)+g'(x)-5=0，f(x)-g'(4-x)-5=0，

得f(1)+g'(1)-5=0，f(3)-g'(1)-5=0，

兩式相加得f(1)+f(3)=10，D正確．

故選AD．【拓展提升】練41(2022·新高考=2\*ROMANII卷)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，則k=122f(k)=(

)A.-3 B.-2 C.0 D.1解：令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x)?f(1)=f(x)?f(x+