《高等數(shù)學 上冊》 課件 王娜 第6章 微分方程

第六章利用元素法解決:定積分在幾何上的應用定積分在物理上的應用定積分的應用一、什么問題可以用定積分解決?二、如何應用定積分解決問題?第六章§6.1

定積分的元素法回顧曲邊梯形求面積的問題一、問題的提出abxyo定積分的換元法目錄上頁下頁返回結(jié)束面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值一、問題的提出定積分的換元法目錄上頁下頁返回結(jié)束abxyo（4）求極限，得A的精確值提示面積元素一、問題的提出定積分的換元法目錄上頁下頁返回結(jié)束一、問題的提出定積分的換元法目錄上頁下頁返回結(jié)束元素法的一般步驟定積分的換元法目錄上頁下頁返回結(jié)束第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達式第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的積分表達式這種分析方法稱為元素法

(或微元分析法

)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值二、旋轉(zhuǎn)體的體積一、平面圖形的面積三、平面曲線的弧長§6.2

定積分在幾何上的應用第四章目錄上頁下頁返回結(jié)束曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1、直角坐標系情形一、平面圖形的面積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解兩曲線的交點面積元素選為積分變量一、平面圖形的面積1、直角坐標系情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解兩曲線的交點選為積分變量一、平面圖形的面積1、直角坐標系情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題于是所求面積說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．問題：積分變量只能選嗎？一、平面圖形的面積1、直角坐標系情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解兩曲線的交點選為積分變量一、平面圖形的面積1、直角坐標系情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積一、平面圖形的面積1、直角坐標系情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．一、平面圖形的面積1、直角坐標系情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題面積元素曲邊扇形的面積2、極坐標系情形一、平面圖形的面積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積2、極坐標系情形一、平面圖形的面積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解利用對稱性知2、極坐標系情形一、平面圖形的面積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解直線方程為二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題補充利用這個公式，可知上例中二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題解體積元素為二、旋轉(zhuǎn)體的體積定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題三、平面曲線的弧長弧長元素弧長1、直角坐標情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題三、平面曲線的弧長解所求弧長為1、直角坐標情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題三、平面曲線的弧長曲線弧為弧長2、參數(shù)方程情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題三、平面曲線的弧長解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長2、參數(shù)方程情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題三、平面曲線的弧長曲線弧為弧長3、極坐標情形定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題三、平面曲線的弧長解3、極坐標情形三、平面曲線的弧長定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標方程直角坐標方程上下限按順時針方向確定2.旋轉(zhuǎn)體的體積繞

x

軸

:繞

y

軸

:(柱殼法)小結(jié)與作業(yè)定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題3.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標方程弧微分:直角坐標方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小小結(jié)與作業(yè)作業(yè)：1;2(2);5(2);7;12;15(1);22定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題練習題定積分在幾何上的應用目錄上頁下頁返回結(jié)束平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長小結(jié)與作業(yè)練習題練習題定積分在幾何上的應用目錄上頁