第二節(jié)-三重積分

例.非均勻分布立體的質(zhì)量設(shè)有空間立體

,當(dāng)

的質(zhì)量是均勻分布時(shí),則的質(zhì)量M=的體密度×的體積.若

的質(zhì)量不是均勻分布的,則不能上述方式算質(zhì)量M.設(shè)空間立體.其質(zhì)量非均勻分布,體密度

(x

,y,z)連續(xù),求的質(zhì)量M.第二節(jié)三重積分一、三重積分的概念及性質(zhì)(i)將分成n

個(gè)小立體

1,

2,…,

n,記

Vi表示的

i的體積,i=1,2,…,n.由于

(x

,y,z)連續(xù),從而當(dāng)i很小時(shí),在i上

(x

,y,z)的變化不大.可近似看作不變.(ii)即,(

i,

i,

i)Di,以

(

i,

i,

i

)作為

i的體密度.從而,

i的質(zhì)量mi

(

i,

i,

i)V

i(iii)因此,

的質(zhì)量(iv)

設(shè)R3為有界閉區(qū)域,f(x,y,z)是定義在上的有界函數(shù).將任意分成n個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的小區(qū)域i,(i=1,2,…,n),用Vi表示i的體積.并記如果對(duì)任意的分法和任意的取法,當(dāng)

0時(shí),和式則稱f(x,y,z)在上可積,記為f(x,y,z)R(),定義1并稱此極限值I為f(x,y,z)在上的三重積分,記作其中“

”稱為三重積分號(hào),稱為積分區(qū)域,f(x,y,z)稱為被積函數(shù),dv稱為體積元素,三重積分也記為即三重積分的性質(zhì)與二重積分性質(zhì)完全類似,比如若f(x,y,z)在上連續(xù),則f(x,y,z)在上可積;常數(shù)因子可從積分號(hào)中提出來(lái);和的積分等于積分之和;積分的可加性;積分的保號(hào)性;積分中值定理等.1.直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算.類似于二重積分,三重積分可化為三個(gè)定積分計(jì)算(三次積分).設(shè)是R3中一母線平行于z軸,上,下底分別為z=z2(x,y),z=z1(x,y)的柱體.在xy面上的投影區(qū)域記為Dxy.如圖0yzxz2=z2(x,y)Dxybaz1=z1

(x,y)二、三重積分的計(jì)算為x—型區(qū)域)0yzxz2=z2(x,y)Dxybaz1=z1(x,y)y=y1(x)y=y2(x)即為y—型區(qū)域.則應(yīng)用時(shí)先畫出的草圖,看z是從哪一曲面變到哪一曲面.確定最里層積分上,下限.然后到Dxy上作二重口訣:從里到外,面—面,線—線,點(diǎn)—點(diǎn).積分.注：1.當(dāng)是一柱體,但側(cè)面的母線平行于y軸,它在xz面上的投影區(qū)域?yàn)镈xz,則可選擇先對(duì)y積分,然后到Dxz上作二重積分.2.當(dāng)是一柱體,但側(cè)面的母線平行于x軸,它在yz面上的投影區(qū)域?yàn)镈yz,則可選擇先對(duì)x積分,然后到Dyz上作二重積分.3.當(dāng)?shù)哪妇€退縮成一點(diǎn)時(shí),此時(shí)不是柱體.比如.但作三重積分時(shí),仍可將其當(dāng)作前面情形的特殊情形來(lái)處理,

:x2+y2+z21.則Dxy:x2+y21.例1.

y=0,z=0和x+y+z=1所圍成的四面體.y0zx111Dxyx+y=1x+y+z=1類似,例2.

y0zx1注意,由于先對(duì)x,再對(duì)y,再對(duì)z的積分里面的兩個(gè)定積分(二次積分)本質(zhì)上就是一個(gè)二重積分,因此,在很多情形下可先做一個(gè)二重積分,再做一個(gè)定積分,稱為“先二后一”的積分,相應(yīng)地稱前面的方法為“先一后二”的積分.設(shè)空間有界閉區(qū)域滿足C1

z

C2,并且以平行于xy面的平面z=常數(shù)(z)截所得平面區(qū)域?yàn)镈z,則(特別,若f(x,y,z)=g(z))0yzxC1C2zDz

例3.

yzx0

ccDz

關(guān)于利用對(duì)稱性積分.設(shè)有界閉區(qū)域的形狀關(guān)于xy面對(duì)稱,且f(x,y,z)=f(x,y,z),若f(x,y,z)=f(x,y,z),其中

1是中處于xy面上方部分.類似可得關(guān)于xz面對(duì)稱,而f(x,y,z)關(guān)于y是奇,偶函數(shù)的結(jié)論,以及關(guān)于yz面對(duì)稱,而f(x,y,z)關(guān)于x是奇,偶函數(shù)的結(jié)論.(1)若關(guān)于平面y=x對(duì)稱,則f(x,y,z)滿足什么條件時(shí),有上述兩個(gè)結(jié)論?(2)不積分,其中為單位球x2+y2+z21.2.三重積分換元法.設(shè)變換T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)將

*變到,且函數(shù)x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)C1(*),雅可比行列式定理1例4.設(shè)：x2+y2+z2

1.z

0,1是中在第一卦限中的部分,證明則

1*：y2+z2+x2

1,y

0,z

0,x

0,即

1*＝

1故

1：x2+y2+z2≦1,x≧0,y≧0,z≧0.作變量代換,令x=y,y=z,z=x.

故一般,若在的表達(dá)式中,以y代x,以z代y,以x代z后,的表達(dá)式不變(即具有“輪換性”),則3.利用柱面坐標(biāo)求三重積分.設(shè)點(diǎn)M=(x,

y,z)R3,它在xy面上的投影點(diǎn)為P=(x,y,o)顯然,任給一點(diǎn)M,可唯一確定點(diǎn)P和豎坐標(biāo)z,反之,在xy面上任給點(diǎn)P和數(shù)z,可唯一確定M.因點(diǎn)P可用其極坐標(biāo)確定,故M可由P的極坐標(biāo)r,

以及z唯一確定,稱為柱面坐標(biāo).zxyo

P=(x,y,o)M＝(x,y,z)r所以在柱面坐標(biāo)中r=常數(shù),則在直角坐標(biāo)系中的圖形為圓柱面,點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x,y,z)和它的柱面坐標(biāo)(r,,z)的關(guān)系為：x=rcos

,y=rsin

,z=z,其中0

r<+,0

2(或

)<z<+.易見(jiàn),在柱面坐標(biāo)中,x2+y2=a2化為r=a(a>0)y=kx化為tg

=k即,

=常數(shù).而

=常數(shù),則在直角坐標(biāo)系中的圖形為過(guò)z軸的平面,z=常數(shù)為平行于xy面的平面.設(shè)變換T：x=rcos,y=rsin,z=z將柱面坐標(biāo)系中的區(qū)域*變成直角坐標(biāo)系中的區(qū)域,易算得從而一般,若是一母線平行于z軸的柱面,z1(x,y)

z

z2(x,y),(x,y)

Dxy,在xy面上的投影區(qū)域Dxy適合用極坐標(biāo)處理(如圓,曲邊扇形等),則可考慮用柱面坐標(biāo)求三重積分.并可將其化為先對(duì)z,再對(duì)r,再對(duì)

的三次積分(即先對(duì)z積分,然后在Dxy上用極坐標(biāo)做二重積分).例5.計(jì)算其中：x2+y2+z2

1,且z

0.解：

是上半球體,它在xy面上的投影區(qū)域是單位圓x2+y2

≦1.令x=rcos

,y=rsin

,z=z,則平面z=0和球面即0

z

且0

r

1,0

2,其中由x2+y2=2z及z=2所圍成.例6.求xzyx2+y2=2zx2+y2=4或r=2o2注：常用的二次曲面有,球面,橢球面,柱面.a(x2+y2)=z(旋轉(zhuǎn)拋物面),ax2+by2=z(橢圓拋物面),a2(x2+y2)=z2(圓錐面).為確定OM的方向,記

為OM在xy面上的投影與x軸正向的夾角(與柱面坐標(biāo)中

相同),4.利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分.為OM與z軸正向夾角,而OM又是由其長(zhǎng)度和其方向唯一確定.記||OM||=,R3中的點(diǎn)M=(x,y,z)與向量OM一一對(duì)應(yīng).則當(dāng)OM的方向確定時(shí),

,

唯一確定,反之亦然.故M與數(shù)組(

,

,

)一一對(duì)應(yīng).zxyo

P=(x,y,o)M＝(x,y,z)

r稱(

,

,

)為點(diǎn)M的球面坐標(biāo),規(guī)定0

<

+,0

,0

2

(或

)由圖知,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為x=rcos=sin

cos

,y=rsin

=

sin

sin

,z=

cos.用球面坐標(biāo),可將x2+y2+z2=a2化為

=a(a>0)，將圓錐面a(x2+y2)=z2化為=常數(shù),將y=kx化為=常數(shù).即=常數(shù),=常數(shù)=常數(shù)分別表球面,圓錐面,過(guò)z軸的半平面.zxyo

P=(x,y,o)M＝(x,y,z)

r若變換T:x=rsin

cos

,y=rsin

sin

,z=rcos

將*變到,易算得右端一般化為先對(duì)r,再對(duì)

,再對(duì)

的三次積分.

注：本教材用字母r表示

.即x=rsin

cos

,y=rsin

sin

,z=rcso

.(此處r與柱面坐標(biāo)中的r意義不同).確定r,

,

的變化范圍的方法(與用極坐標(biāo)算二重積分類似)(1)若由兩曲面圍成,其球面坐標(biāo)方程為r=r1(

,

),r=r2(

,

).以原點(diǎn)為起點(diǎn)作向量穿過(guò),先遇到的曲面為r=r1(

,

),后遇到的曲面為r=r2(

,

),則r1(

,

)r

r2(

,

).

,

的變化范圍要由其幾何意義視具體情況確定.(2)若原點(diǎn)在的邊界上,以原點(diǎn)為起點(diǎn)所作的穿過(guò)的向量只遇到一片曲面,其球面坐標(biāo)方程為r=r

(

,

),(3)若包含原點(diǎn),圍成的曲面方程為r=r

(

,

),則0r

r(

,

),0

,0

2

.

,

的變化范圍可根據(jù)它們的幾何意義,視具體情況確定.則0r

r(

,

),例7.求由半徑R的球面x2+y2+z22Rz=0和半頂角為

的圓錐面ctg2

(x2+y2)=z2圍成的立體的體積V,其中位于圓錐面上方,球面下方.0yzx

由前面的(2)及的形狀知0r2Rco