線性代數(shù)-拉普拉斯變換

第九章拉普拉斯變換

上一章介紹的傅立葉變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮了重要的作用，特別是在信號(hào)處理領(lǐng)域，直到今天它仍然是最基本的分析和處理工具，甚至可以說信號(hào)分析本質(zhì)上即是傅氏分析（譜分析）．但是任何東西都有它的局限性，傅氏變換也是如此．因而人們針對傅氏變換一些不足進(jìn)行了各種各樣的改進(jìn)．這些改進(jìn)大體分為兩個(gè)方面，其一是提高它對問題的刻畫能力；其二是擴(kuò)大它本身的適用范圍．本章介紹的是后面這種情況．

2023/11/71第七章拉普拉斯變換

7.1

拉普拉斯變換的概念

7.2拉氏變換的性質(zhì)7.3拉普拉斯逆變換7.4拉氏變換的應(yīng)用及綜合舉例2023/11/72第一節(jié)拉普拉斯變換的概念

1．拉普拉斯變換的定義

2023/11/73例1．解：1/s的拉氏逆變換為哪個(gè)？？？2023/11/74例2．解：由上式可得：2023/11/75第二節(jié)拉氏變換的性質(zhì)1．線性性質(zhì)一、線性與相似性質(zhì)

2023/11/76例1．解：

w偶函數(shù)

w奇函數(shù)2023/11/77例2．解：2．相似性質(zhì)2023/11/78二、微分性質(zhì)

1．導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)推廣：此性質(zhì)使我們有可能將函數(shù)的微分方程轉(zhuǎn)化為的代數(shù)方程，因此它對分析線性系統(tǒng)有重要的作用．2023/11/79例3．解：利用線性性質(zhì)及微分性質(zhì)，有:代入初值:有前面結(jié)果，可以得到：對方程兩邊取拉氏變換，有:利用線性性質(zhì)，有:解得:2023/11/7102．象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地有例4．解：同理例5．2023/11/711三、積分性質(zhì)

1．積分的象函數(shù)推廣：２．象函數(shù)的積分推廣：2023/11/712例5．解：2023/11/713四、延遲與位移性質(zhì)

1．位移性質(zhì)若則有證明：這個(gè)性質(zhì)表明：象原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)其象函數(shù)做位移的拉氏變換等于2023/11/714例6．設(shè)求解：令則據(jù)積分性質(zhì)得：所以2023/11/7152．延遲性質(zhì)若或證明：由定義2023/11/716例7．求函數(shù)的拉氏變換．解：已知由延遲性知例8．求函數(shù)的拉氏變換．解：因?yàn)樗?023/11/717五、周期函數(shù)的拉氏變換

設(shè)逐段光滑，則證明：由定義有2023/11/718幾個(gè)常用函數(shù)的拉氏變換2023/11/719六、卷積與卷積定理

1．卷積的概念前面討論兩函數(shù)傅氏卷積為則記作：2023/11/720例1．解：2．卷積的性質(zhì)2023/11/7213．卷積定理或證明：2023/11/722推論：則這性質(zhì)說明：函數(shù)卷積的拉氏變換等于其象函數(shù)的乘積．例2．求下列卷積的拉氏變換解：2023/11/723第三節(jié)拉普拉斯逆變換一、反演積分公式

構(gòu)成一對互逆的積分變換公式，拉氏變換對．2023/11/724二、利用留數(shù)計(jì)算反演積分

定理2：

即：計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分通常比較困難，可以利用留數(shù)方法拉計(jì)算這個(gè)反演積分．2023/11/725例1．解：法一利用部分分式求解解：法二利用卷積求解2023/11/726根據(jù)卷積定理有：解：法二利用留數(shù)求解及留數(shù)計(jì)算法則有：2023/11/727第四節(jié)拉普拉斯變換的應(yīng)用及綜合題

對于一個(gè)系統(tǒng)，無論是機(jī)械的，電的，要想真正了解、分析與研究，就應(yīng)該對該系統(tǒng)建立描述系統(tǒng)數(shù)量特性的數(shù)學(xué)模型或把面放窄一點(diǎn)來考慮就要建立該系統(tǒng)的微分方程，尤其在一些線性電路上，因?yàn)檫@一類線性電路是滿足疊加定原理的系統(tǒng)，它們在自動(dòng)控制中占有很重要的地位，本節(jié)著重是對建立的微分方程，通過用拉氏變換的一套方法來解微分方程．

2023/11/728例1．解：方程兩邊取拉氏變換，得：由拉氏變換的性質(zhì)及初始條件得：取逆變換，得：20