中考專題復習-銳角三角函數(shù)的應用

20題銳角三角函數(shù)的實際應用微專題2020題位復習銳角三角函數(shù)直角三角形的邊角關系銳角三角函數(shù)的實際應用銳角三角函數(shù)的定義特殊角（30°、45°、60°、）的三角函數(shù)值三邊關系三角關系邊角關系1.仰角、俯角2.坡度、坡角3.方向角正弦余弦正切sinαcosαtanα解直角三角形及其實際應用2.仰角、俯角：如圖5，在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角圖5圖6圖4銳角三角函數(shù)的實際應用1.方向角:如圖4，A點位于O點的北偏東30°方向，B點位于O點的南偏東60°方向，C點位于O點的北偏西45°方向（或西北方向）3.坡度（坡比）、坡角:如圖6，i=tanα=

.【類型解讀】與銳角三角函數(shù)有關的幾何測量應用題近10年在第20題考查3次，分值為7分．命題特點：題干給出兩個角度，至少含一個非特殊角，設問均為測量距離，且都要通過作輔助線構造直角三角形來解決．另外2019題型示例給出含兩個特殊角題目，應引起重視．模型一解一個直角三角形基本圖形及所作輔助線

總結作BE⊥AC，構造Rt△ABE和矩形BDCE，根據(jù)已知條件求解針對訓練第1題圖1.(2019吉林)墻壁及淋浴花灑截面如圖所示．已知花灑底座A與地面的距離AB為170cm，花灑AC的長為30cm，與墻壁的夾角∠CAD為43°.求花灑頂端C到地面的距離CE(結果精確到1cm)．(參考數(shù)據(jù)：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93)解：如解圖，過C作CF⊥AD于F，則∠AFC＝90°，∵在Rt△ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°，∴AF＝AC·cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，∴CE＝BF＝AB＋AF＝170＋21.9＝191.9≈192，答：花灑頂端C到地面的距離CE約為192cm.F模型二背靠背型基本圖形

輔助線

總結作AD⊥BC，構造Rt△ABD和Rt△ACD，根據(jù)已知條件求解作AE⊥BC，構造Rt△ABE和Rt△ACE、矩形ADCE，根據(jù)已知條件求解作AE⊥BC、DF⊥BC，構造Rt△ABE和Rt△CDF、矩形AEFD，根據(jù)已知條件求解2.(2019賀州)如圖，在A處的正東方向有一港口B.某巡邏艇從A處沿著北偏東60°方向巡邏，到達C處時接到命令，立刻在C處沿東南方向以20海里/小時的速度行駛3小時到達港口B.求A，B間的距離(≈1.73，≈1.41，結果保留一位小數(shù))．在Rt△BCD中CDBDRt△ADC中ADD解：如解圖，過點C作CD⊥AB于點D，∵某巡邏艇從A處沿著北偏東60°方向巡邏，∴∠CAB＝90°－60°＝30°.∵在C處沿東南方向駛往港口B，∴∠BCD＝45°，∴△CDB是等腰直角三角形，且DC＝BD.∵在C處沿東南方向以20海里/小時的速度行駛3小時到達港口B，∴BC＝20×3＝60海里，∴DC＝BD＝

BC＝30海里．第2題解圖在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∴tan∠CAD＝

，∵DC＝30海里，∠CAB＝30°，∴tan30°＝

，∴AD＝30海里，∴AB＝AD＋DB＝30＋30≈30×1.73×1.41＋30×1.41≈115.5(海里)．答：A、B間的距離約為115.5海里．3.(2019內江)如圖，兩座建筑物DA與CB，其中CB的高為120米，從DA的頂點A測得CB頂部B的仰角為30°，測得其底部C的俯角為45°，求這兩座建筑物的地面距離DC為多少米？(結果保留根號)第3題圖12030°45°列方程Rt△ABERt△ACECD第3題解圖解：如解圖，作AE⊥BC，垂足為點E，則AE＝CD，設AE＝x，在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，∠AEB＝90°，∴BE＝AE·tan30°＝

x，在Rt△ACE中，∠EAC＝45°，∠AEC＝90°，∴CE＝AE＝x，又∵BE＋CE＝BC＝120，∴

x＋x＝120，解得x＝180－60，∴CD＝AE＝180－60.答：這兩座建筑物的地面距離DC為(180－60)米．模型三母子型基本圖形

輔助線

總結作CD⊥AB，構造Rt△ACD和Rt△BCD，根據(jù)已知條件求解作CD⊥AD，構造Rt△ACD和Rt△BCD，根據(jù)已知條件求解作CE⊥AB，構造Rt△ACE和Rt△ADB、矩形BDCE，根據(jù)已知條件求解基本圖形變形

輔助線——

總結已知Rt△ABC和Rt△CDE，根據(jù)已知條件求解作BE⊥AD，BF⊥CD，構造Rt△ABE和Rt△BCF和矩形BEDF，根據(jù)已知條件求解作BF⊥AE，CG⊥DE，構造Rt△ABF和Rt△CDG和矩形BFEG，根據(jù)已知條件求解4.(2019湘潭)我國于2019年6月5日首次完成運載火箭海上發(fā)射，這標志著我國火箭發(fā)射技術達到了一個嶄新的高度．如圖，運載火箭從海面發(fā)射站點M處垂直海面發(fā)射，當火箭到達點A處時，海岸邊N處的雷達站測得點N到點A的距離為8千米，仰角為30°.火箭繼續(xù)直線上升到達點B處，此時海岸邊N處的雷達測得B處的仰角增加15°，求此時火箭所在點B處與發(fā)射站點M處的距離．(結果精確到0.1千米)(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，

≈1.73)第4題圖在Rt△AMN中MNRt△BMN中MB解：在Rt△AMN中，cos∠ANM＝

，∵∠ANM＝30°，AN＝8，∴MN＝AN·cos∠ANM＝8cos30°＝8×

＝4.在Rt△BMN中，∵∠BNM＝45°，∴MB＝MN＝4≈4×1.73≈6.9.答：此時火箭所在點B處與發(fā)射站點M處的距離約為6.9千米．5.(2019西安高新一中模擬)小明學校附近有座山，山上有一電線桿PQ，他很想知道電線桿PQ的高度．于是，有一天，小明和他的同學小亮帶著測傾器和皮尺來到山腳下進行測量．測量方案如下：如圖，首先，小明站在地面上的點A處，測得電線桿頂端點P的仰角是45°；然后小明向前走6米到達點B處，測得電線桿頂端點P和電線桿底端點Q的仰角分別是60°和30°，設小明的眼睛到地面的距離AC＝BD＝1.6米，請根據(jù)以上測量的數(shù)據(jù)，計算電線桿PQ的高度．(結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4)解：如解圖，延長PQ交AB于點N，延長CD交PN于點H，在Rt△PHC中，∠PCH＝45°，∴PH＝CH.在Rt△PDH中，∠PDH＝60°，tan60°＝

，解得PH＝9＋3，∴DH＝3＋3.在Rt△QDH中，∠QDH＝30°，∴QH＝DH·tan30°＝3＋，∴PQ＝PH－QH＝9＋3－(3＋)＝6＋2≈9.∴電線桿PQ的高度約為9米．第5題解圖6.(2019張家界)天門山索道是世界最長的高山客運索道，位于張家界天門山景區(qū)．在一次檢修維護中，檢修人員從索道A處開始，沿A－B－C路線對索道進行檢修維護．如圖：已知AB＝500米，BC＝800米，AB與水平線AA1的夾角是30°，BC與水平線BB1的夾角是60°.求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度CA1是多少米？(結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：

≈1.732)第6題解圖解：如解圖所示，過點B作BD⊥AA1于點D，易得四邊形BDA1B1是矩形．∴BD＝A1B1.在Rt△ABD中，AB＝500米，∠BAD＝30°.∴BD＝AB·sin∠BAD＝500×sin30°＝500×

＝250(米)．∴A1B1＝BD＝250米．在Rt△BCB1中，BC＝800米，∠CBB1＝60°，∴CB1＝BC·sin∠CBB1＝800×sin60°＝800×

＝400(米)．∴CA1＝CB1＋A1B1＝400＋250≈400×1.732＋250≈943(米)．答：檢修人員上升的垂直高度CA1約為943米．模型四擁抱型基本圖形

輔助線————

總結在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC＝BC，分別解兩個直角三角形，其中公共邊BC是解題的關鍵在Rt△ABC和Rt△DEF中，根據(jù)已知條件分別解兩個直角三角形作AG⊥DE于點G，構造Rt△ADG和矩形ABEG，再結合Rt△ABC和Rt△DEF，根據(jù)已知條件分別解三個直角三角形

7.如圖，某數(shù)學興趣小組為測量乙樓的高度，現(xiàn)從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30°，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45°，已知甲樓的高AB是120m，求乙樓的高CD.解：由題意可得∠BDA＝45°，∴AB＝AD＝120m，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝

，∴CD＝40m.∴乙樓的高CD為40m.8.為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標桿CD，并在地面上水平放置一個平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖所示．該小組在標桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂端A(此時∠AEB＝∠FED)，在F處測得旗桿頂端A的仰角為39.3°，平面鏡E的俯角為45°，F(xiàn)D＝1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米？(結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)解：如解圖，作FG⊥AB于點G，AG＝AB－GB＝AB