2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題1.2 與三角形有關(guān)的角（八大題型）（解析版）

專題1.2與三角形有關(guān)的角（八大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1運(yùn)用三角形內(nèi)角和直接求角的度數(shù)】【題型2三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高的綜合運(yùn)算】【題型3三角形內(nèi)角和定理與平分線的性質(zhì)綜合運(yùn)用】【題型4三角形內(nèi)角和定理與折疊問(wèn)題綜合】【題型5三角形內(nèi)角和定理與新定義問(wèn)題綜合】【題型6運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】【題型7判斷直角三角形】【題型8運(yùn)用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)】【題型1運(yùn)用三角形內(nèi)角和直接求角的度數(shù)】1．（2023?石家莊三模）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得x+y的值為（）A．180 B．110 C．100 D．70【答案】B【解答】解：由圖可知，x+y＝180°﹣70°＝110°．故選：B．2．（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，則∠C度數(shù)為（）A．32° B．34° C．36° D．38°【答案】C【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝4∠C，∴5∠C＝180°，解得∠C＝36°．故選：C．3．（2023春?沈北新區(qū)期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，則∠C＝（）A．72° B．92° C．108° D．180°【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，又∵∠A＝45°，∠B＝63°，∴45°+63°+∠C＝180°，∴∠C＝72°，故選：A．4．（2023春?歷下區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．60°【答案】C【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+2x+4x＝180°，∴x＝20°，∴∠B＝2x＝40°．故選：C．【題型2三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高的綜合運(yùn)算】5．（2023?合肥模擬）如圖，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，則∠ABC＝（）?A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：∵△ABC中，∠A＝2∠C，∴設(shè)∠C＝α，那么∠A＝2α，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣3α），∵BD⊥AC，∠DBE＝20°，∴∠ABD＝∠ABE﹣∠DBE＝（180°﹣3α）﹣20°＝70°﹣α，∴∠A+∠ABD＝2α+70°﹣α＝90°，∴α＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3α＝60°．故選：B．6．（2023春?東臺(tái)市月考）如圖，AD是△ABC的角平分線，且AD⊥BC，E為CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過(guò)E作EG⊥BC于G，交AB于點(diǎn)F．（1）試說(shuō)明∠3＝∠E；（2）若∠B＝32°，求∠E的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解答過(guò)程；（2）58°．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠DGE＝∠CDA＝90°，∴AD∥EG，∴∠2＝∠E，∠1＝∠3，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠E；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝32°，∴∠1＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝58°，∵∠1＝∠3，∠3＝∠E，∴∠E＝58°．7．（2023春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE為角平分線，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度數(shù)．【答案】42°．【解答】解：∵CD是AB邊上高，∠BFC＝114°，∴∠BDF＝90°，∴∠ABE＝∠BFC﹣∠BDF＝114°﹣90°＝24°，∵BE為角平分線，∴∠CBF＝∠ABE＝24°，∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠CBF＝180°﹣114°﹣24°＝42°．8．（2023春?建湖縣期中）如圖，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】（1）14°；（2）21°．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∠B＝76°，∠C＝48°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣48°＝56°，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣76°＝14°，∵AE平分∠BAC，∴，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝28°﹣14°＝14°；（2）∵∠B﹣∠C＝42°，∴∠B＝∠C+42°，∵AD是△ABC的高，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣（∠C+42°）﹣∠C＝138°﹣2∠C，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣（∠C+42°）＝48°﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝69°﹣∠C﹣（48°﹣∠C）＝21°．9．（2023春?濟(jì)南期中）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于點(diǎn)D，DF⊥CE于點(diǎn)F，求∠CDF的度數(shù)．【答案】82°．【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣56°＝84°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACB＝×84°＝42°．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣56°＝34°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝42°﹣34°＝8°．∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝90°﹣8°＝82°．【題型3三角形內(nèi)角和定理與平分線的性質(zhì)綜合運(yùn)用】10．（2023?蜀山區(qū)模擬）如圖，一副直角三角尺如圖擺放，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，則∠CED的度數(shù)是（）A．5° B．10° C．15° D．25°【答案】C【解答】解：∵一副直角三角尺如圖擺放，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠F＝45°，∵EF∥BD，∴∠CDE＝∠DEF＝45°．∵∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，∴∠CED＝180°﹣∠ECD﹣∠CDE＝180°﹣120°﹣45°＝15°．故選：C．11．（2023?陜西模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，CE平分∠ACM，DE∥BC．若∠B＝43°，∠E＝52°，則∠A的度數(shù)為（）A．51° B．61° C．65° D．75°【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝43°，∴∠ADE＝∠B＝43°，∵△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)E．∴∠ACM＝∠B+∠A＝43°+∠A，∴∠ACE＝，∵∠A+∠ADE＝∠ACE+∠E，∵，∴∠A＝61°．故選：B．12．（2023?滑縣二模）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)C的射線CE與AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，則∠ACE的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠DAC＝45°，∵AD∥CE，∴∠ACE＝∠DAC＝45°，故選：B．13．（2023春?泗陽(yáng)縣期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度數(shù)（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【解答】解：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C＝55°，又∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴∠B＝180°﹣55°﹣60°＝65°．故選：B．14．（2023?長(zhǎng)沙一模）如圖，過(guò)三角形ABC頂點(diǎn)C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．105° B．85° C．80° D．75°【答案】B【解答】解：∵EF∥AB，∠ACE＝65°，∴∠A＝∠ACE＝65°，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣30°＝85°．故選：B．15．（2023?定遠(yuǎn)縣二模）如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，點(diǎn)C在直線a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，則∠B的度數(shù)為（）A．56° B．34° C．36° D．24°【答案】A【解答】解：如圖，∵a∥b，∠1＝58°，∴∠CDE＝∠1＝58°，∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，∵△ABC為直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，故選：A．16．（2023春?長(zhǎng)沙期中）如圖，△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，過(guò)D作DE∥BC交AB于E點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，連接DF．若∠1＝∠AED．（1）求證：DF∥AB．（2）若∠1＝55°，DF平分∠CDE，求∠C的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）70°．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠B＝∠AED，∵∠1＝∠AED，∴∠1＝∠B，∴DF∥AB．（2）∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠1＝55°，∵DF平分∠CDE，∴∠EDC＝2∠EDF＝110°，∴∠A＝∠EDC﹣∠AED＝∠EDC﹣∠1＝110°﹣55°＝55°，∵DE∥BC，∴∠A＝∠CDF＝55°，∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝70°．17．（2023春?錫山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2．（1）求證：AF∥BC；（2）若AC平分∠BAF，∠B＝36°，求∠1的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）72°．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2，∴AF∥BC；（2）解：∵AF∥BC，∴∠B+∠BAF＝180°，∵∠B＝36°，∴∠BAF＝144°，∵AC平分∠BAF，∴∠2＝∠BAF＝72°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝72°．18．（2023春?南康區(qū)期中）已知△ABC中，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，∠B＝70°，求∠1的度數(shù)．【答案】70°．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠BCD＝∠2，∴DE∥BC，∴∠1＝∠B，∵∠B＝70°，∴∠1＝70°．19．（2023春?鹽城月考）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．（1）問(wèn)：FG∥BC嗎？為什么？（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）50°．【解答】（1）證明：∵DE∥FC，∴∠1＝∠BCF．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCF，∴FG∥BC；（2）解：∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．又由（1）知，F(xiàn)G∥BC，∴∠B＝∠AFG＝50°．20．（2023春?夏邑縣月考）如圖，點(diǎn)D，E分別在三角形ABC的邊AB，AC上，點(diǎn)F在線段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．（1）求證：∠1+∠2＝180°；（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解答過(guò)程；（2）90°．【解答】（1）證明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠3＝∠B，∴∠3＝∠ADE，∴EF∥AB，∴∠2＝∠DFE，∵∠1+∠DFE＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（2）解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠ADC＝2∠B，∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADC＝180°，∴2∠B+2∠B＝180°，解得：∠B＝45°，由（1）得AB∥EF，∴∠1＝∠ADC＝2∠B＝90°．21．（2023春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D、E分別在CA，BA的延長(zhǎng)線上，AF∥CE，∠D＝∠E．（1）求證：BD∥AF；（2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）55°．【解答】（1）證明：∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF，∵AF∥CE，∴∠E＝∠BAF，∴∠E＝∠CAF，又∵∠D＝∠E，∴∠D＝∠CAF，∴BD∥AF；（2）解：由（1）知BD∥AF，∴∠ABD＝∠BAF，∵AF平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAF＝2∠ABD，∵∠ABD＝2∠ABC，∴∠BAC＝4∠ABC，∵∠BAD＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝100°，∴，∴∠ACF＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝55°．【題型4三角形內(nèi)角和定理與折疊問(wèn)題綜合】22．（2022秋?邯山區(qū)校級(jí)期末）如圖，將△ABC一角折疊，若∠1+∠2＝80°，則∠B+∠C＝（）A．40° B．100° C．140° D．160°【答案】C【解答】解：連接AA′．∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，∵∠EAD＝∠EA′D，∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，∴∠EAD＝40°，∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，故選：C．23．（2022秋?靖西市期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E，將△CED沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．（1）求證：∠BAE＝∠C．（2）若∠BAE＝32°，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）詳見(jiàn)解答；（2）84°．【解答】（1）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAD．∵將△CDE沿DE對(duì)折后，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，∴DE垂直平分AC．∴EA＝EC．∴∠EAD＝∠C．∴∠BAE＝∠C．（2）解：由（1）可得，∠EAD＝∠BAE＝∠C，∴∠EAD＝∠BAE＝∠C＝32°．∵∠BAC+∠C+∠B＝180°．∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（∠EAD+∠BAE+∠C）＝180°﹣3×32°＝84°．24．（2022春?交城縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，∠B＝50°，∠BAD＝30°，將△ABD沿AD折疊得到△AED，AE與BC交于點(diǎn)F．（1）求∠AFC的度數(shù)；（2）求∠EDF的度數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ABD沿AD折疊得到△AED，∴∠BAD＝∠DAF，∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∠ADC＝50°+30°＝80°，∵△ABD沿AD折疊得到△AED，∴∠ADE＝∠ADB＝100°，∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC＝100°﹣80°＝20°．25．（2022秋?沂水縣期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【答案】28°．【解答】解：如圖所示：∵∠1是△ADF的外角，∴∠A+∠AFD＝∠1；又∵∠AFD是△EFA'的外角，∴∠2+∠A'＝∠AFD，∴∠A+∠2+∠A'＝∠1，由折疊可知∠A＝∠A'，且∠1＝80°，∠2＝24°，∴∠A+24°+∠A＝80°，即：2∠A＝56°，解得：∠A＝28°．26．（2023春?鎮(zhèn)江期中）已知△ABC，∠ABC＝80°，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)D是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△BDE沿DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處．（1）如圖1，若∠ADB'＝110°，則∠CEB'的度數(shù)是50；（2）利用備用圖畫圖并探究當(dāng)CB'∥AB時(shí)，∠CB'E與∠ADB'滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【答案】（1）50°；（2）∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．【解答】解：（1）如圖，連接BB'，由翻折的性質(zhì)可知，∠DBE＝∠DB'E＝80°，∴∠ADB'＝∠DBB'+∠DB'B＝110°，∴∠EBB'+∠EB'B＝160°﹣110°＝50°，∴∠CEB'＝∠EBB'+∠EB'B＝50°，故答案為：50；（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)D線段AB上時(shí)，結(jié)論：∠CB'E+80°＝∠ADB'，理由：連接CB'，∵CB'∥AB，∴∠ADB'＝∠CB'D，由翻折可知，∠B＝∠DB'E＝80°，∴∠CB'E+80°＝∠CB'D＝∠ADB'；②如圖，當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論：∠CB'E+∠ADB'＝80°，理由：連接CB'，∵CB'∥AD，∴∠ADB'+∠DB'C＝180°，∵∠ABC＝80°，∴∠DBE＝∠DB'E＝100°，∴∠CB'E+100°+∠ADB'＝180°，∴∠CB'E+∠ADB'＝80°；綜上所述，∠CB'E與∠ADB'的數(shù)量關(guān)系為∠CB'E+80°＝∠ADB'或∠CB'E+∠ADB'＝80°．27．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖1，一張三角形ABC紙片，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在CE上的點(diǎn)A'處，則∠BDA'與∠A的數(shù)量關(guān)系是∠BDA′＝2∠A；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是什么，并說(shuō)明理由．【答案】（1）∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．【解答】解：（1）∠BDA′與∠A的數(shù)量關(guān)系是∠BDA′＝2∠A；故答案為：∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°，∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°，∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A＝∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；故答案為：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．理由：DA′交AC于點(diǎn)F，∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A＝∠DA′E，∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．28．（2022春?福山區(qū)期中）折紙是我國(guó)一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，∠A＝80°，請(qǐng)根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①，若沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝260°．（2）如圖②，若沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)A′處，則∠1+∠2＝160°．（3）如圖③，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)．（4）如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）260°；（2）160°；（3）∠B+∠C＝140°；（4）∠A＝28°．【解答】解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠AED＝260°，故答案為：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣80°＝100°，∵翻折，∴∠EDA’＝∠ADE，∠AED＝∠DEA’，∴∠ADA’+∠AEA’＝2（∠ADE+∠AED）＝200°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠ADA′+∠AEA′）＝160°，故答案為：160°；（3）連接AA'．如圖所示：∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，∴∠1+∠2＝∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A＝∠EAD+∠EA′D，∵∠EAD＝∠EA'D，∴∠1+∠2＝2∠EAD＝80°，∴∠EAD＝40°，∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°．（4）如圖，設(shè)AB與DA'交于點(diǎn)F，∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2，由折疊可得，∠A＝∠A'，∴∠1＝∠A+∠A'+∠2＝2∠A+∠2，又∵∠1＝80°，∠2＝24°，∴80°＝2∠A+24°，∴∠A＝28°．【題型5三角形內(nèi)角和定理與新定義問(wèn)題綜合】29．（2023春?青羊區(qū)校級(jí)期中）我們定義：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的7倍，則這樣的三角形稱之為“德馨三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．如圖，點(diǎn)E在△ABC的邊AC上，連結(jié)BE，作∠AEB的平分線交AB于點(diǎn)D，在BE上取點(diǎn)F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，則∠C的度數(shù)為20°或84°．．【答案】20°或84°．【解答】解：∵∠BFD+∠BEC＝180°，∠BEC+∠AEB＝180°，∴∠BFD＝∠AEB，∴AC∥DF，∴∠AED＝∠EDF，∵∠EDF＝∠C，∴∠C＝∠AED，∴DE∥BC，∴∠BED＝∠CBE，∵DE平分∠AEB，∴∠AED＝∠BED，∴∠C＝∠CBE，∵△BCE是“德馨三角形”，∴當(dāng)7∠C＝∠BEC時(shí)，則∠C+∠C+∠BEC＝180°，解得：∠C＝20°；當(dāng)7∠BEC＝∠C時(shí)，∠C+∠C+∠C＝180°，解得：∠C＝84°．故答案為：20°或84°．30．（2022?西城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個(gè)“倍角三角形”的一個(gè)內(nèi)角為90°，那么倍角α的度數(shù)是90°或60°．【答案】90°或60°．【解答】解：若90°的角為倍角，則倍角α＝90°，若另外兩個(gè)內(nèi)角中較大角為倍角，其角度為α，則較小內(nèi)角角度為，三角形內(nèi)角和180°，∴，解得α＝60°．綜上，倍角α的度數(shù)是90°或60°．故答案為：90°或60°．31．（2022春?宛城區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)三角形中的一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們定義此三角形為“特征三角形”．其中α稱為“特征角”，若一個(gè)“特征三角形”恰好是直角三角形，則這個(gè)“特征三角形”的“特征角”的度數(shù)為45°或30°．【答案】90°或60°．【解答】解：①“特征角”的2倍是直角時(shí)，“特征角”＝×90°＝45°；②“特征角”的2倍與“特征角”都不是直角時(shí)，設(shè)“特征角是x”，由題意得，x+2x＝90°，解得x＝30°，所以，“特征角”是30°，綜上所述，這個(gè)“特征角”的度數(shù)為90°或60°．故答案為：90°或60°．32．（2022春?安溪縣期末）新定義：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因?yàn)椤螦最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“2倍角三角形”．（2）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，若△ABD為“6倍角三角形”，請(qǐng)求出∠ABD的度數(shù)．【答案】（1）2；（2）18°或54°．【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，則∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF為“2倍角三角形”，故答案為：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，∴∠DAB＝∠BAC，∠DBA＝∠ABC，∴∠DAB+∠DBA＝×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD為“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，當(dāng)∠ADB＝6∠ABD時(shí)，∠ABD＝18°，當(dāng)∠ADB＝6∠BAD時(shí)，∠BAD＝18°，則∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，綜上所述，∠ABD的度數(shù)為18°或54°．33．（2022秋?福田區(qū)校級(jí)期末）我們定義：【概念理解】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與C、B重合點(diǎn)）（1）∠ABO＝18°，△AOB是（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”；【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取一點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB為“完美三角形”，故答案為：18；是；（2）證明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；應(yīng)用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“完美三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°．34．（2022秋?荔城區(qū)校級(jí)月考）我們定義：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，則這樣的三角形稱之為“和諧三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為130°，40°，10°的三角形是“和諧三角形”．【概念理解】如圖1，∠MON＝60°，點(diǎn)A在邊OM上，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O，B重合）（1）∠ABO的度數(shù)為30°，△AOB不是（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；（2）若∠ACB＝84°，試說(shuō)明：△AOC是“和諧三角形”．【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連結(jié)DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和諧三角形”，請(qǐng)直接寫出∠B的度數(shù)．【答案】（1）30°；不是；（2）△AOC是“和諧三角形；（3）∠B＝80°或∠B＝30°．【解答】解：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，∴∠MON＝2∠ABO，∴△AOB不是“和諧三角形”，故答案為：30°；不是．（2）證明：∵∠MON＝60°，∠ACB＝84°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝84°﹣60°＝24°，∴∠ACO＝96°＝4×24°＝4∠OAC，∴△AOC是“和諧三角形”．【應(yīng)用拓展】∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠B＝∠BCD，∵△BCD是“和諧三角形”，∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝80°或∠B＝30°【題型6運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】35．（2023春?江北區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度數(shù)；（2）當(dāng)P點(diǎn)在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想∠E與∠B，∠ACB的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）∠E＝25°；（2）∴∠E＝（∠ACB﹣∠B）；理由見(jiàn)解答．【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°，∴∠ADC＝65°，∴∠E＝25°；（2）．設(shè)∠B＝n°，∠ACB＝m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2＝∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，∴∠3＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°，∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣m°）＝（m﹣n）°＝（∠ACB﹣∠B）．36．（2023春?儀征市月考）如圖，將△ABC沿射線BA方向平移到△A'B'C'的位置，連接AC'，CC'．（1）AA'與CC'的位置關(guān)系為AA′∥CC′；∠A′+∠CAC′+∠AC′C＝180°；（2）設(shè)∠AC'B'＝x，∠ACB＝y(tǒng)，試探索∠CAC'與x，y之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）AA′∥CC′；180°；（2）∠CAC'＝x+y．【解答】解：（1）由平移的性質(zhì)可得：AA′∥CC′；根據(jù)平移性質(zhì)可知A'C'∥AC，AA'∥CC'，∴∠A'＝∠BAC，∠BAC＝∠ACC'，∴∠A'＝∠ACC'，∵∠ACC'+∠CAC′+∠AC′C＝180°，∴∠A'+∠CAC'+∠AC'C＝180°，故答案為：AA′∥CC′；180°；（2）結(jié)論：∠CAC'＝x+y，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交CC'于點(diǎn)D，根據(jù)平移性質(zhì)可知B'C'∥BC，∴B'C'∥AD∥BC'，∴∠AC'B'＝∠C'AD，∠ACB＝∠DAC，∴∠CAC'＝∠C'AD+∠CAD＝∠AC'B'+∠ACB＝x+y，即∠CAC'＝x+y．37．（2022秋?邢臺(tái)期末）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”．解決問(wèn)題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A，∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：Ⅰ．如圖②，把一塊三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊DE，DF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，若∠A＝40°，則∠ABD+∠ACD＝50°．Ⅱ．如圖③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖①，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）Ⅰ．由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A；又∵∠A＝40°，∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50；Ⅱ．由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°，又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABP+∠ACP）＝45°，∴∠BDC＝45°+40°＝85°．38．（2023春?虹口區(qū)期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是△ABC的高．（1）如圖1，若∠B＝40°，∠C＝60°，請(qǐng)說(shuō)明∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2（∠B＜∠C），試說(shuō)明∠DAE、∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)F，∠CAE和∠BCF的角平分線交于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫出∠G的度數(shù)45°．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C＝∠C﹣∠B，即∠DAE＝∠C﹣∠B；（3）∵∠CAE和∠BCF的角平分線交于點(diǎn)G，∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG，∵∠CAE＝∠FCB﹣∠AEC，∠CAG＝∠FCG﹣∠G，∴2∠FCG﹣∠AEC＝2（∠FCG﹣∠G）＝2∠FCG﹣2∠G，即∠AEC＝2∠G，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠G＝45°．故答案為45°．【題型7判斷直角三角形】39．（2023?漳浦縣模擬）在下列條件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：①因?yàn)椤螦+∠B＝∠C，則2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因?yàn)椤螦：∠B：∠C＝1：5：6，設(shè)∠A＝x，則x+5x+6x＝180，x＝15°，∠C＝15°×6＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因?yàn)椤螦＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，則∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三