安徽省亳州市2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

安徽省亳州市2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．已知正方形的邊長(zhǎng)為6，在邊上且，為的中點(diǎn)，則A．-6 B．12 C．6 D．-12【答案】A【分析】以向量為基底，將用基底表示，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】由在邊上且，為的中點(diǎn)，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量基本定理以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，為平面向量，且，，則，夾角的余弦值等于（

）A． B．－ C． D．－【答案】C【分析】先根據(jù)向量減法得，再根據(jù)向量夾角余弦值的坐標(biāo)公式計(jì)算即可得答案.【詳解】∵，∴．又，∴，∴．又，，∴．故選：C.3．在中，，，，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】利用余弦定理即可求出的值．【詳解】解：因?yàn)?，，，，故．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：【解析】正弦定理解三角形5．設(shè)，則A． B． C． D．【答案】D【解析】先求得,再代入即可【詳解】由題,,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的加減法的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題6．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是()A．AB B．AD C．BC D．AC【答案】D【詳解】因?yàn)锳′B′與y′軸重合，B′C′與x′軸重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC為斜邊，故AB<AD<AC，BC<AC.故選D.7．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于()A．π B．πC．16π D．32π【答案】B【分析】作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，外接球的截面是圓為球的大圓是的外接圓，由圖可得球的半徑與圓錐的關(guān)系．【詳解】如圖，作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，的外接圓是球的大圓，設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定圓錐的外接球與圓錐之間的關(guān)系，即球半徑與圓錐的高和底面半徑之間的聯(lián)系，而這個(gè)聯(lián)系在其軸截面中正好體現(xiàn)．8．(2015新課標(biāo)全國(guó)I理科)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.【解析】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式二、多選題9．已知向量，設(shè)的夾角為，則（

）A． B．C．∥ D．【答案】BD【分析】由已知條件求出的坐標(biāo)，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?duì)于A，因?yàn)椋?，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以與不共線，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：BD10．若為鈍角三角形，且，，則邊C的長(zhǎng)度可以為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】AD【分析】由條件，又，所以在中為鈍角的可能為角或角,所以，或，解得答案.【詳解】由三角形的邊長(zhǎng)能構(gòu)成三角形，則有，又，所以在中為鈍角的可能為角或角.則或所以或，解得：或所以選項(xiàng)A、D滿足.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，做題時(shí)要注意鈍角這個(gè)條件，鈍角可能的情況，屬于中檔題.11．（多選）圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為2a，a的矩形，則圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】按圓的高分類討論，求出底面半徑后由體積公式計(jì)算．【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為，若高是，則，，，若高是，則，，．故選：AB．12．一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為 B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等 D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3：1：2【答案】CD【解析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)：圓柱的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；圓錐的側(cè)面積為，B錯(cuò)誤；圓柱的側(cè)面積為，C正確；計(jì)算體積之比為3：1：2，D正確，得到答案.【詳解】依題意得球的半徑為R，則圓柱的側(cè)面積為，∴A錯(cuò)誤；圓錐的側(cè)面積為，∴B錯(cuò)誤；球面面積為，∵圓柱的側(cè)面積為，∴C正確；，，，∴D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱，圓錐，球的表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、填空題13．已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，，，若，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____．【答案】##1.25【分析】由，結(jié)合數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化，即可求解值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，是夾角為的兩個(gè)單位向量，所以，所以.故答案為：14．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)________________.【答案】【解析】由一定為實(shí)數(shù),由題可知的虛部為,設(shè),進(jìn)而求解即可【詳解】因?yàn)?所以的虛部為,設(shè),則,解得,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查相等復(fù)數(shù),考查復(fù)數(shù)的模的應(yīng)用15．在中，，，D為BC中點(diǎn)，則AD最長(zhǎng)為_(kāi)________.【答案】3【分析】在和中，分別利用余弦定理，求得，再在中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，，則，在中，由余弦定理，可得，即，①在中，由余弦定理，可得，即，②由①+②，可得，在中，由余弦定理，可得，即，解得，所以，即的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，以及利用基本不等式求解最值問(wèn)題，其中解答中熟練應(yīng)用余弦定理得到，結(jié)合基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.16．在中，，，，則的面積為_(kāi)_____.【答案】【分析】由已知利用正弦定理可求的值，根據(jù)大邊對(duì)大角，特殊角的三角函數(shù)值，三角形的內(nèi)角和定理可求，，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】，，由正弦定理可得：，解得：

，可得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(Ⅰ)若，求實(shí)數(shù)的值(Ⅱ)若三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【詳解】試題分析：(Ⅰ)由，得，用坐標(biāo)表示計(jì)算即可；(Ⅱ)若三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則三點(diǎn)不共線與不平行，用坐標(biāo)表示即可.試題解析：(Ⅰ)由題意有，由，得故解得(Ⅱ)若三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則三點(diǎn)不共線.則與不平行，故解得.18．已知復(fù)數(shù).(1)當(dāng)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)？(2)當(dāng)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)？【答案】(1)；(2)1.【解析】先求得,當(dāng)其為實(shí)數(shù)時(shí),虛部為0；當(dāng)其為純虛數(shù)時(shí),實(shí)部為0,虛部不為0,進(jìn)而求解即可【詳解】(1)由題意,,若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù),則,即.(2)由（1）,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則,即【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類,考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)問(wèn)題19．在中,a?b?c分別是角A?B?C的對(duì)邊,且.(1)求角B的大小;(2)若,,求的周長(zhǎng).【答案】(1);(2).【解析】(1)利用余弦定理及變形化簡(jiǎn)，可得角B的大小（2）利用余弦定理求解的值，即可求解的周長(zhǎng).【詳解】(1)由余弦定理,得,,將上式代入,整理得,,角B為的內(nèi)角,..(2)將,,,代入,即,,,的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形的周長(zhǎng)，屬于中檔題.20．如圖，D為直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn)，，（1）若，求角的大?。唬?）若，且，求的長(zhǎng)；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理、外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理即可得出；（2）設(shè)，則，，，于是，，，再利用余弦定理即可解出.【詳解】（1）在中，根據(jù)正弦定理得：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所?（2）設(shè)，則，，，所以，，，在中，由余弦定理得：，即，解得：，即【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.21．已知在復(fù)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，且，，.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求以為鄰邊的平行四邊形的面積.【答案】(1)3；(2).【解析】（1）,代入中,由相等復(fù)數(shù)求解即可；（2）由（1）可知,利用數(shù)量積求得的夾角,進(jìn)而求解即可【詳解】(1)∵,∴，解得(2)由(1)知,∴,∴,設(shè)向量的夾角為,∴,∴,∴【點(diǎn)睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的應(yīng)用,考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力22．由于2020年1月份國(guó)內(nèi)疫情爆發(fā)，餐飲業(yè)受到重大影響，目前各地的復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作在逐步推進(jìn)，居民生活也逐步恢復(fù)正常．李克強(qiáng)總理在考察山東煙臺(tái)一處老舊小區(qū)時(shí)提到，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來(lái)源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，也是中國(guó)的商機(jī)．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者王某準(zhǔn)備在商場(chǎng)門(mén)前“擺地?cái)偂?，?jīng)營(yíng)“冷飲與小吃”生意．已知該商場(chǎng)門(mén)前是一塊扇形區(qū)域，擬對(duì)這塊扇形空地進(jìn)行改造．如圖所示，平行四邊形區(qū)域?yàn)轭櫩偷男菹^(qū)域，陰影區(qū)域?yàn)椤皵[地?cái)偂眳^(qū)域，點(diǎn)P在弧上，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線段和線段上，且米，．記．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)請(qǐng)寫(xiě)出顧客的休息區(qū)域的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值．【答案】(1)；(2)，；當(dāng)時(shí)，取得最大值.【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由數(shù)量積的定義求得結(jié)果；（2）在△中由正弦定理用表示，結(jié)合三角形的面積公式，即可求得結(jié)果，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的.【詳解】（1）根據(jù)題意，在△中，，又，故由正弦定理可得：解得，，故.即.（2）由題可知，在△中，，則由正弦定理，可得，故可得，故.即.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取得最大值.安徽省亳州市2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，且為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模和純虛數(shù)的概念，由求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)?，且為純虛?shù)，所以，解得，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念和模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，，，用，表示，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合平面圖形的幾何性質(zhì)以及平面向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，所以，故選：D.3．如圖所示，隔河可以看到對(duì)岸兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距4km的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩目標(biāo)A，B間的距離為km.A． B． C． D．2【答案】B【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，進(jìn)而由余弦定理可求的值．【詳解】由已知，中，，，由正弦定理，，所以，在中，，由正弦定理，，所以，在中，由余弦定理，，解得：．所以與的距離.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（

）A． B．8 C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得出原圖形四邊形的性質(zhì)，然后可計(jì)算周長(zhǎng)．【詳解】由題意，所以原平面圖形四邊形中，，，，所以，所以四邊形的周長(zhǎng)為：．故選：B．5．如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是A．該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體B．該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)C．該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形D．該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形【答案】D【分析】根據(jù)幾何體的直觀圖，得出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，由此判斷選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【詳解】根據(jù)幾何體的直觀圖，得該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12條；頂點(diǎn)是M、A、B、C、D和N共6個(gè)；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共個(gè)，且每個(gè)面都是三角形．所以選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間幾何體的直觀圖判斷幾何體結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．6．已知,且,則A． B． C． D．【答案】C【解析】求出的坐標(biāo)，利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解.【詳解】由題意知，，且，故，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示，垂直的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題.7．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)是，則該正四棱錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，求出側(cè)面面積與底面面積，然后求出表面積即可.【詳解】如圖所示，在正四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，則為直角三角形，所以，所以表面積.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了正棱錐的表面積，屬于基礎(chǔ)題.8．現(xiàn)有一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為3，內(nèi)裝水若干（如圖甲，底面處于水平狀態(tài)），將容器放倒（如圖乙，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時(shí)水面所在的平面與各棱的交點(diǎn)分別為其所在棱的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先利用圖乙求出水的體積，再利用等體積法求出圖甲中水面的高度.【詳解】設(shè)正三棱柱的底面積為，∵，，，分別為其所在棱的中點(diǎn)，∴，即，∴，∴，因?yàn)?，，所以圖甲中水面的高度為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用等體積法求高，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．復(fù)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的實(shí)部為 B．的虛部為2 C． D．【答案】AD【分析】由已知可求出，進(jìn)而可求出實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模，進(jìn)而可選出正確答案.【詳解】解：由知，，即，所以的實(shí)部為，A正確；的虛部為-2，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D正確；故選:AD.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的概念，考查了共軛復(fù)數(shù)的求解，考查了復(fù)數(shù)模的求解，屬于基礎(chǔ)題.10．正三棱錐的外接球半徑為2，底面邊長(zhǎng)為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】首先設(shè)三棱錐的外接球的球心為，三角形的中心為，得到，再分類討論求解三棱錐體積即可。【詳解】設(shè)三棱錐的外接球的球心為，三角形的中心為，由題知：，解得.當(dāng)外接球球心在線段上時(shí)，如圖所示：，，所以.當(dāng)外接球球心在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示：，，所以.故選：AB11．（多選）已知向量，不共線，若，，且A，B，C三點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)，的值可以是（

）A．2， B．?3，C．2， D．?3，【答案】AB【分析】利用平面向量共線基本定理即可求解.【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，即，所以，又因?yàn)橄蛄?，不共線，所以，解得，所以實(shí)數(shù)，的值互為倒數(shù)即可求解.故選：AB12．某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列說(shuō)法正確的有（

）A．該圓臺(tái)軸截面ABCD面積為B．該圓臺(tái)的體積為C．該圓臺(tái)的母線AD與下底面所成的角為30°D．沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm【答案】ABD【分析】求出圓臺(tái)的高，根據(jù)梯形面積公式可求圓臺(tái)軸截面的面積，從而可判斷A；根據(jù)圓臺(tái)的體積公式可判斷B；圓臺(tái)的母線與下底面所成的角為，從而可判斷C；由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為4cm，底面半徑為2cm，設(shè)的中點(diǎn)為P，連接，求出，即為沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到中點(diǎn)的最短距離，從而可判斷D.【詳解】由，且CD＝2AB，可得，高,則圓臺(tái)軸截面的面積為,故A正確；圓臺(tái)的體積為，故B正確；圓臺(tái)的母線與下底面所成的角為，其正弦值為,所以，故C錯(cuò)誤；由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為4cm，底面半徑為2cm，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角.設(shè)的中點(diǎn)為P，連接，可得,則.所以沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)C到中點(diǎn)的最短距離為5cm，故D正確.故選:ABD.三、填空題13．已知是虛數(shù)單位，若，則的值為_(kāi)_____.【答案】0【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的定義即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕?故答案為:14．已知，，則與的夾角為.【答案】【詳解】根據(jù)已知條件，去括號(hào)得：，15．如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正六棱錐P－ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．【答案】6【詳解】顯然正六棱錐P－ABCDEF的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓，由已知，可得大圓的半徑為2.易得其內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為2.又正六棱錐P－ABCDEF的高為2，則斜高為＝，所以該正六棱錐的側(cè)面積為6××2×＝6.16．如圖，△ABC為等腰三角形，，，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC與點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P是劣弧上的一點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】以為原點(diǎn)，以的垂線平行線為軸，建立直角坐標(biāo)系，由，，可得，可設(shè)，，，,故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積以及向量的坐標(biāo)表示、利用三角函數(shù)的有界性求范圍，屬于難題.求范圍問(wèn)題往往先將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù):①配方法（適合二次函數(shù)）；②換元法（代數(shù)換元與三角換元）；③不等式法（注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”）；④三角函數(shù)法（注意恒等變形）；⑤圖像法（根據(jù)圖象的最高和最低點(diǎn)求解）；⑥函數(shù)單調(diào)性法求解（根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的取值范圍即可），本題主要應(yīng)用方法④解答的.四、解答題17．如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn).設(shè)，.（1）試用向量、表示；（2）在線段上取一點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)，設(shè)，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)，由、、三點(diǎn)共線以及、、三點(diǎn)共線可得出關(guān)于與的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)，即可得出關(guān)于、的表達(dá)式；（2）設(shè)，利用向量的減法運(yùn)算可得出，結(jié)合可建立等式，通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算可得出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）不妨設(shè).由于、、三點(diǎn)共線，則存在使得，即，于是.又，所以，則，即.①由于、、三點(diǎn)共線，則存在使得，即，于是.又，所以，所以，即.②由①②可得，，所以；（2）由于、、三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，即，于是.又，，所以，所以，則，可得，兩式相加得.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)乘，向量的線性運(yùn)算及向量表示三點(diǎn)共線，屬中檔題．18．設(shè)復(fù)數(shù)（，，是虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上.⑴求復(fù)數(shù)；(2)若為純虛數(shù)(其中）,求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）設(shè)，由得：，又復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則即.聯(lián)立求解即可（2）由,可得,為純虛數(shù)，∴，然后解方程即可試題解析：⑴設(shè)，由得：.①又復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則即.②.由①②聯(lián)立方程組,解得,或，，，∴，.∴.⑵由,可得,為純虛數(shù)，∴，解得.19．一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，兩底面面積分別為和．（1）求圓臺(tái)的高；（2）求截得