2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，即可得復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而確定所在象限.【詳解】由題意得，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(3,1)，位于第一象限.故選：A2.若為平面，有下列命題，其中真命題的是（）A.若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則B.若直線在平面外，則平面C.若直線，直線平面，則平面D.若直線平面，則平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線【正確答案】D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系可直接判斷.【詳解】A項(xiàng)還可能，故A錯誤；B項(xiàng)還可能與平交，故B錯誤；C項(xiàng)還可能，故C錯誤；由直線與平面平行的性質(zhì)以及平行的傳遞性可知D正確.故選：D.3.已知圓錐的體積為，其中為圓錐的底面積，為圓錐的高.現(xiàn)有一個空杯子，盛水部分為圓錐（底面半徑為，高為），現(xiàn)向杯中以的速度勻速注入水，則注水后，杯中水的高度為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件及圓錐的體積公式即可求解.【詳解】假設(shè)注水后，杯中水的水面半徑為，則杯中水的高度，所以，解得，故杯中水高度.故選：D.4.如圖，在正四棱錐中，側(cè)棱長均為，且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為，，分別是線段，上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將正四棱柱的側(cè)面展開，可知的最小值為，然后在中求解即可【詳解】如圖，將正四棱柱的側(cè)面展開，則的最小值為．在中，，，則．故選：D5.如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（）A.是鈍角三角形 B.的面積是的面積的2倍C.B點(diǎn)的坐標(biāo)為 D.的周長是【正確答案】D【分析】將還原成原圖依次分析選項(xiàng)可得答案.【詳解】根據(jù)題意，將還原成原圖，如圖，對于A，中，有，，所以，，故是等腰直角三角形，A錯誤；對于B，面積是，的高為，所以的面積為，的面積是的倍，B錯誤；對于C，因?yàn)?，B的坐標(biāo)為，C錯誤；對于D，的周長為，D正確故選：D.6.已知，則（）A. B.2 C.1 D.【正確答案】A【分析】設(shè)，，根據(jù)已知可得，，，代入計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)，，所以，，因?yàn)?，所以，即，所?故選：A.7.如圖所示，在空間四邊形中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且＝＝，則下列說法正確的是（）A.與平行B.與異面C.與的交點(diǎn)可能在直線上，也可能不在直線上D.與的交點(diǎn)一定在直線上【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，連接EH，F(xiàn)G，由線面的平行關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖所示：連接EH，F(xiàn)G.因?yàn)镕，G分別是邊BC，CD上點(diǎn)，且＝＝，所以，且.因?yàn)辄c(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以EF與GH相交，設(shè)其交點(diǎn)為M，則平面ABC，同理平面ACD.又平面平面，所以M在直線AC上．故選:D8.已知銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用余弦定理結(jié)合正弦定理化簡可得出，根據(jù)為銳角三角形可求得角的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡得出，求出的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)榇嬖谧畲笾?，則，解得.故選：C.方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值；③利用和的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；④形如或轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積、用坐標(biāo)求向量的模、共線向量的坐標(biāo)表示逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】對于A，，，與不垂直，A不正確；對于B，，有，B正確；對于C，，有，C不正確；對于D，，由選項(xiàng)C知，，D正確.故選：BD10.如圖，在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】對A，C，利用線面平行的判定定理即可判斷；對C，將平面擴(kuò)展，即可得出AB與平面DEF相交；對D，由與其所在的對角線平行,而與對角線相交，可知AB與平面DEF相交.【詳解】解：對于A，平面DEF，平面DEF，直線AB與平面DEF平行，故A正確；對于B，如圖，取正方體所在棱的中點(diǎn)G，連接FG并延長，交AB延長線于H，則AB與平面DEF相交于點(diǎn)H，故B錯誤；對于C，，平面DEF，平面DEF，直線AB與平面DEF平行，故C正確；對于D，AB與DF所在平面的正方形對角線有交點(diǎn)B，DF與該對角線平行，直線AB與平面DEF相交，故D錯誤.故選：AC.11.在中，角所對的邊分別為，下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則為等腰直角三角形C. D.若，則為鈍角三角形【正確答案】ACD【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和三角形的面積公式，比例的等比性質(zhì)的應(yīng)用判斷結(jié)論.【詳解】對于A，若，所以，利用正弦定理可得，所以，故A正確；對于B，由于，利用正弦定理可得，整理得，即，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，由正弦定理，所以，故C正確；對于D，由于，所以，因?yàn)?，所以中必有一個鈍角，故為鈍角三角形，故D正確.故選：ACD.12.在中，P，Q分別為邊AC，BC上一點(diǎn)，BP，AQ交于點(diǎn)D，且滿足，，，，則下列結(jié)論正確的為（）A.若且時(shí)，則，B.若且時(shí)，則，C.若時(shí)，則D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，得到，，代入相應(yīng)的變量的值，求出其他變量，從而判斷AB選項(xiàng)，對上式變形得到，假設(shè)成立，推導(dǎo)出，得到矛盾，故C錯誤，根據(jù)向量共線定理的推論得到，，變形得到.【詳解】由題意得：，，，，即即，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，當(dāng)且時(shí)，，解得：，，，，所以，即，即，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，當(dāng)且時(shí)，，解得：，故A正確；若且時(shí)，，，解得：，B錯誤；，變形為：，①若時(shí)，則，代入①式得：假設(shè)成立，則，解得：，此時(shí)，顯然無解，故假設(shè)不成立，故C錯誤；同理可得：，，所以，，所以D正確.故選：AD利用向量共線定理的推論得到關(guān)系式，然后解決向量的倍數(shù)關(guān)系，本題中要能在多個等式中進(jìn)行適當(dāng)變形，然后找到等量關(guān)系三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為_________【正確答案】##【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量為，由求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋?，即，因?yàn)?，所以，?4.棱長為1的正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒上，分別將四點(diǎn)兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為__________．【正確答案】【分析】在原正方體紙盒上，分別將四點(diǎn)兩兩相連，即可得出為正四面體，求出表面積即可．【詳解】在原正方體紙盒上，分別將四點(diǎn)兩兩相連，如圖所示，因?yàn)闉檎襟w的面對角線，所以，所以為正四面體，所以表面積為：，故．15.在中，是邊上一點(diǎn)，且，若是的中點(diǎn)，則__________；若，則的周長的最大值為__________.【正確答案】①.##②.##【分析】第一空，先在中利用余弦定理得到，再在中利用余弦定理得到，從而得解；第二空，先求得，從而在中，利用余弦定理與基本不等式求得，從而得解.【詳解】因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則，，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，若，，，由上述知，所以，則，故，則，在中，由余弦定理得，即，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，即的周長的最大值為.故；.易錯點(diǎn)睛：本題容易犯錯的點(diǎn)是第一空的條件用于第二空，或者在第二空的解析過程中被第一空的條件是的中點(diǎn)誤導(dǎo)，導(dǎo)致走了彎路.16.已知中，，，則面積的最大值是_________.【正確答案】3【分析】利用條件結(jié)合余弦定理，求出，，再求出，代入面積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)即可求解.【詳解】由題知，如圖所示：因?yàn)?，所以，由余弦定理得：，?lián)立解得：，，所以，所以，.故3.考查了解三角形中余弦定理，面積公式等相關(guān)知識點(diǎn)，對于范圍問題可嘗試轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或基本不等式來分析求解.四?解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AF=AB．（1）求證：EF∥平面BDC1；（2）在棱AC上是否存在一個點(diǎn)G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15，若存在，指出點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由．【正確答案】（1）證明見解析（2）點(diǎn)G不存在，理由見解析【分析】（1）取AB的中點(diǎn)M，根據(jù)AF=AB，得到F為AM的中點(diǎn)，又E為AA1的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得EF∥A1M，從而在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1DBM為平行四邊形，進(jìn)一步得出EF∥BD．最后根據(jù)線面平行的判定即可證出EF∥平面BC1D．（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)在棱AC上存在一個點(diǎn)G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15，再利用棱柱、棱錐的體積公式，求出AG與AC的比值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．【小問1詳解】證明：取AB的中點(diǎn)M，∵AF=AB，∴F為AM的中點(diǎn)，又∵E為AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1M在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，∴A1D∥BM，A1D=BM，∴A1DBM為平行四邊形，∴AM∥BD∴EF∥BD．∵BD?平面BC1D，EF?平面BC1D，∴EF∥平面BC1D．【小問2詳解】設(shè)AC上存在一點(diǎn)G，使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1：15，則，∵∴，∴，∴AG=AC>AC．所以符合要求的點(diǎn)G不存在．18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）證明：．（2）若D為BC的中點(diǎn)，從①，②，③這三個條件中選取兩個作為條件證明另外一個成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分．【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化簡已知等式，可證；（2）三種情況，在中，利用余弦定理證明即可.【小問1詳解】已知，由余弦定理可得，即，又由正弦定理，得，角A，B為△ABC中內(nèi)角，所以.【小問2詳解】△ABC中,，D為BC的中點(diǎn)，如圖所示，①②③已知，，求證.證明：，中，，解得.①③②已知，，求證.證明：，所以中，.②③①已知，，求證.證明：，在中，由余弦定理，，所以19.在中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，已知在，，，且.（1）求角A大小；（2）若面積為，，求的長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量垂直充要條件及兩角和的正弦公式即可求得的值，進(jìn)而求得角A大??；（2）先利用題給條件求得的值，再利用向量的數(shù)量積求得，進(jìn)而得到的長【小問1詳解】，且，則，則，∴，則又，∴，又∵，∴.【小問2詳解】由，可得又由，可得聯(lián)立，解之得或又，則因?yàn)椋运运?，?0.在中，分別為三個內(nèi)角的對邊，已知.（1）求角大??；（2）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得，結(jié)合題設(shè)化簡即可求解；（2）由正弦定理可得，由余弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合三角恒等變換化簡可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，，且，則，即，在中，有，所以.【小問2詳解】由（1）知，，可得，，由，則根據(jù)正弦定理有，得，根據(jù)余弦定理有，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?21.某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示，為地面，，為路燈燈桿，，，在處安裝路燈，且路燈的照明張角，已知m，m．（1）當(dāng)，重合時(shí)，求路燈在路面的照明寬度；（2）求此路燈在路面上的照明寬度的最小值．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由余弦定理求出ME，再求出，進(jìn)而求出，最后根據(jù)正弦定理求出答案；（2）先用等面積法求出間的關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用余弦定理結(jié)合基本不等式建立之間的不等式，兩者結(jié)合即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)，重合時(shí)，由余弦定理知，所以，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，∴在中，由正弦定理可知，，解得m.（2）易知到地面的距離，所以，所以又由余弦定理可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.所以，解得m．答：（1）路燈在路面的照明寬度為；（2）照明寬度的最小值為．22.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，（1）求；（2）若，求的取值范圍；（3）若為的外接圓，若分別切于點(diǎn)，求的最小值.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由題目條件可證得,可得為直角三角形，可求出.（2）由數(shù)量積的定義可求得，設(shè)，則，令，則，判斷出的單調(diào)性，即可得出答案.（3）用分別表示出，結(jié)合均值不等式即可求出答案.【小問1詳解】因?yàn)?，則，所以，則，所以為直角三角形，所以.【小問2詳解】，所以，而，所以設(shè)，所以，令，又因?yàn)樗?，所以，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以.所以的取值范圍為【小問3詳解】的外接圓的半徑為，，設(shè)，則，其中，所以，而，，當(dāng)且僅當(dāng)取等.所以的最小值為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量相關(guān)的取值范圍問題，考查面較廣，涉及了基本不等式、函數(shù)值域、正弦定理、三角函數(shù)等，需要對知識掌握熟練且靈活運(yùn)用.考查學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于難題.2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題第Ⅰ卷選擇題部分一?單選題（每小題只有一個選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）1.已知角的終邊落在直線上，則的值為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正切值，再利用二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算.【詳解】設(shè)為角終邊上一點(diǎn)，則，，，，故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C【分析】化簡復(fù)數(shù)，求出共軛復(fù)數(shù)，即可得出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由題意，在復(fù)數(shù)中，，∴，∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C.3.如圖，是正方形的對角線，的圓心是A，半徑為．正方形以為軸旋轉(zhuǎn)一周，則圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是（）A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶1∶2 D.2∶2∶1【正確答案】A【分析】確定旋轉(zhuǎn)體的形狀：Ⅰ形成圓錐，Ⅰ和Ⅱ形成半球，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合起來形成圓柱，然后由圓錐、球、圓柱的體積公式計(jì)算后得出三部分的體積，再求比值．【詳解】設(shè)正方形的邊長為1，圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次記為，，，Ⅰ形成圓錐，Ⅰ和Ⅱ形成半球，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合起來形成圓柱，，，，故圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是1∶1∶1，故選：A．4.設(shè)非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)向量模的性質(zhì)由已知可求得，則按照在方向上的投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.5.給出下列說法：①有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱④一個圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊其中正確說法的個數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺和平面的的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于①中，根據(jù)棱臺的定義，延長棱臺的所有側(cè)棱交于一點(diǎn)，所以有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體不一定是棱臺，所以①不正確；對于②中，根據(jù)棱錐的定義，有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐，所以②不正確；對于③中，根據(jù)棱柱的定義，有兩個面平行，且該多面體的頂點(diǎn)都在這兩個平面上，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱，所以③不正確；對于④中，一個圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成8塊，所以④不正確.故選：A.6.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用圖明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理圖假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動的角速度為，如圖所示，盛水桶視為質(zhì)點(diǎn)的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先求出初始位置時(shí)對應(yīng)的角，再根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，將代入，即可求解.【詳解】設(shè)初始位置時(shí)對應(yīng)的角為，則，則，因?yàn)橥曹囖D(zhuǎn)到的角速度為，所以水桶到水面的距離，當(dāng)時(shí)，可得.故選：A.7.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系以及輔助角公式，可化簡原式得到，再利用輔助角公式可得，由余弦的二倍角公式可得解【詳解】，則故選：D8.在銳角中，角所對的邊分別為，若，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，得到，求得，結(jié)合三角形面積公式得到的面積為，由為銳角三角形，求得，進(jìn)而求得面積的范圍.【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為，可得，因，由正弦定理得，所以的面積為，又因?yàn)闉殇J角三角形，可得，解得，則，所以，所以，所以的面積的取值范圍為.故選：C.二?多選題（在每小題有多項(xiàng)符合題目要求，漏選得2分，錯選得0分.每小題5分，共20分）9.如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（）A.是鈍角三角形B.的面積是的面積的倍C.是等腰直角三角形D.的周長是【正確答案】CD【分析】求出的邊長，計(jì)算出三角形的形狀和周長，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在斜二測視圖中，，∴，的面積是的面積相同，B錯誤.∴在中，，∴是的中線，，，∴,∵，∴是等腰直角三角形，A錯誤，C正確，，D正確，故選：CD.10.已知i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)，則下列敘述正確的是（）A.B.若，則不可能是純虛數(shù)C.若，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合確定的圖形面積為D.是關(guān)于x的方程的一個根【正確答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、求模公式，可判斷A的正誤；根據(jù)純虛數(shù)的概念，可判斷B的正誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可判斷C的正誤；將代入方程，計(jì)算檢驗(yàn)，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：設(shè)，則，所以，，所以，故A正確；對于B：若為純虛數(shù)，則，上式無解，所以不可能是純虛數(shù)，故B正確；對于C：若，則，整理得，所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合確定的圖形是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，所以面積為，故C錯誤；對于D：，所以是關(guān)于x的方程的一個根，故D正確.故選：ABD11.在給出的下列命題中，正確的是（）A.設(shè)是同一平面上的四個點(diǎn)，若，則點(diǎn)必共線B.若向量是平面上的兩個向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的C.已知平面向量滿足則為等腰三角形D.已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形【正確答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)共線定理判斷A、B、C三點(diǎn)共線即可；對于B，根據(jù)平面向量的基本定理，判斷命題錯誤；對于C，根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)可得OA為BC的垂線且OA在的角平分線上，從而可判斷C；對于D，根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算得出命題正確；【詳解】對于A，，∴，∴，且有公共點(diǎn)C，∴則點(diǎn)A、B、C共線，命題A正確；對于B，根據(jù)平面向量的基本定理缺少條件不共線，故B錯誤；對于C，由于，即，，得，即OA為BC的垂線，又由于，可得OA在的角平分線上，綜合得為等腰三角形，故C正確；對于D，平面向量、、滿足，且，∴，∴，即，∴，∴、的夾角為，同理、的夾角也為，∴是等邊三角形，故D正確；故選ACD.本題主要考查利用命題真假的判斷考查了平面向量的綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題.12.已知，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列條件一定能夠使為等腰三角形的是（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】利用余弦定理和題給條件即可得到為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)A；利用余弦定理兩角差的正弦公式和題給條件即可得到為等腰三角形或直角三角形，進(jìn)而否定選項(xiàng)B；利用兩角和與差的余弦公式及題給條件即可得到為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)C；利用正弦定理均值定理和題給條件即可得到為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：由，可得整理得，則，則為等腰三角形.判斷正確；選項(xiàng)B：由可得則整理得，即或則為等腰三角形或直角三角形.判斷錯誤；選項(xiàng)C：由，可得則，則又，則，則為等腰三角形.判斷正確；選項(xiàng)D：由，可得，由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），可得則，又，則，則.判斷正確.故選：ACD三?填空題（每小題5分，共20分）13.內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則_________【正確答案】【分析】由余弦定理可得，根據(jù)條件結(jié)合三角形的面積公式可得從而可得答案.【詳解】由余弦定理可得，所以的面積為所以即，由所以故14.已知，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【正確答案】【分析】由題意得出且與不共線，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于與的夾角為鈍角，則且與不共線，，，，解得且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.本題考查利用向量的夾角求參數(shù)，解題時(shí)要找到其轉(zhuǎn)化條件，設(shè)兩個非零向量與的夾角為，為銳角，為鈍角.15.由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個正四棱錐，其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長的比值為，則以該四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為______.【正確答案】【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，分別用表示出以該四棱錐的高為邊長的正方形面積和該四棱錐側(cè)面積，即可得出答案.【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，為的中點(diǎn)，則由題意得：，所以，則設(shè)以該四棱錐的高為邊長的正方形面積為，，設(shè)該四棱錐側(cè)面積為，所以.故16.在中，已知，，，P為線段AB上的一點(diǎn)，且，則的最小值為______．【正確答案】【分析】設(shè)，，，由結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求，再由，，可求得，，，考慮建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得，設(shè)出單位向量，，，推出，則，而利用，利用基本不等式求解最小值．【詳解】解：中設(shè)，，∵∴即∴∵∴，∵，∴，∴，根據(jù)直角三角形可得，，∴，，以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得，，.P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得設(shè)，則，，由，，∴，，則．（也可以直接利用P為線段AB上的一點(diǎn)，三點(diǎn)共線，可得：，）故所求的最小值為．故．本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解把已知所給的向量關(guān)系，建立x，y與λ的關(guān)系，解決本題的第二個關(guān)鍵點(diǎn)在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值．四?解答題：（共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，也是在勾股定理的基礎(chǔ)上，增加了角度要素而成.而對三角形的邊賦予方向，這些邊就成了向量，向量與三角形的知識有著高度的結(jié)合.已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊：（1）請用向量方法證明余弦定理；（2）若，其中為邊上的中線，求的長度.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）如圖，設(shè)，由三角形法則有，利用數(shù)量積的性質(zhì)展開可得，即可得出結(jié)論.（2）如圖，由（1）求出的值，兩次在不同三角形中利用即可求得結(jié)果.【小問1詳解】如圖，設(shè)，則有，可得，，.【小問2詳解】由（1）知，，如圖，則，，，在中，，解得.18.鱉臑是我國古代對四個面均為直角三角形的三棱錐的稱呼．如圖，三棱錐是一鱉臑，其中，，，，且高，．（1）求三棱錐的體積和表面積；（2）求三棱錐外接球體積和內(nèi)