4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第三節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念三、小結(jié)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念設(shè)隨機(jī)變量X與Y的函數(shù)[X-E(X)][Y-E(Y)]的數(shù)學(xué)期望存在，稱(chēng)定義1：為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差，記為或（1）若是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為則的協(xié)方差為（2）若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則的協(xié)方差為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差本質(zhì)上是隨機(jī)變量X與Y函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.設(shè)均存在，則定理1：（1）若是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為則設(shè)均存在，則定理1：（2）若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下：例1：解：方法一：先求各自的分布及數(shù)學(xué)期望，再求出協(xié)方差．易知關(guān)于X,Y,XY的邊緣分布分別為-10100.10.10.210.20.30.1求01

0.40.6例1：解：方法一：-101

0.30.40.3-101

0.20.70.1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下：例1：解：方法二：先利用公式求出X,Y,XY的數(shù)學(xué)期望，再求出協(xié)方差．-10100.10.10.210.20.30.1求設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量在區(qū)域D上服從均勻分布，求其中例2：解：

的概率密度為于是根據(jù)相關(guān)公式，有例2：解：于是設(shè)隨機(jī)變量X,Y的數(shù)學(xué)期望和方差均存在且方差不為0，稱(chēng)其標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的協(xié)方差定義2：協(xié)方差的結(jié)果中含有兩個(gè)隨機(jī)變量的量綱，且是絕對(duì)的數(shù)值，有時(shí)無(wú)法表現(xiàn)出兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相對(duì)關(guān)聯(lián)程度．為了避免量綱對(duì)于描述兩個(gè)變量間關(guān)聯(lián)程度的影響，可以采用無(wú)量綱的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量．為隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為相關(guān)系數(shù)的計(jì)算基本同于協(xié)方差.（1）若是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為則設(shè)均存在，則（2）若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)由協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義，易得如下性質(zhì)．（1）（2）（3）（4）（5）若，則稱(chēng)不相關(guān).二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（6）（7）若獨(dú)立，則不相關(guān)；反之不然.（8）定義3：不相關(guān)反映的是變量之間沒(méi)有線(xiàn)性變化趨勢(shì)，但并不代表沒(méi)