專題2不等式及其應(yīng)用（教師版）

專題2：不等式及其應(yīng)用<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式，在高考中，基本不等式是作為求多變?cè)淖钪档墓ぞ?，利用均值不等式求最值需要把握?zhǔn)確“一正、二定、三相等”的含義，并要掌握相應(yīng)的技巧.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：配湊法題型一：配湊法配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．例1(2021·湖南省株洲市模擬)若a>0，b>0，c>0且a(a+b+c)+bc=16，則2a+b+c>m2+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(-∞,-2)∪(4,+∞) B.(-∞,-4)∪(2,+∞)

C.-2,4 D.-4,2【思路點(diǎn)撥】首先恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，本題實(shí)質(zhì)是求2a+b+c的最小值，表達(dá)式為“和式”結(jié)構(gòu)，因此可將條件a(a+b+c)+bc=16轉(zhuǎn)化為“積式”結(jié)構(gòu)，也即因式分解為a+ba+c=16【規(guī)范解析】因?yàn)閍>0，b>0，c>0，且a(a+b+c)+bc=16

則a2+ab+ac+bc=16

所以16=a2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)≤(a+b+a+c2)2=2a+b+c22

即2a+b+c≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=a+c，即b=c時(shí)，取等號(hào)．

則練1(2023·安徽省合肥市模擬)若a，b∈R+，ab+2a+b=4，則a+b的最小值為(

)A.2 B.6-1 C.26【規(guī)范解析】法一：ab+2a+b+2=6，即a+1從而a+b=a+1+b+2-3≥2當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+2，代入可得a=法二：∵a，b∈R+，ab+2a+b=4，∴ba+1=4-2a，

∵a>0，∴a+b≥2(a+1)?6a+1-3=26-3，

當(dāng)且僅當(dāng)a+1=6練2(2023·江蘇省無(wú)錫市模擬)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足3x2+4xy+y2【規(guī)范解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足3x2+4xy+y2=2，則(3x+y)(x+y)=2，因?yàn)閤+y>0，則3x+y>0，

所以9x+5y=2(3x+y)+3(x+y)≥26(3x+y)·(x+y)=43，

當(dāng)且僅當(dāng)3(x+y)=2(3x+y)且(3x+y)(x+y)=2題型二：題型二：利用常數(shù)代換法求最值常數(shù)代換是指利用某些帶有常數(shù)項(xiàng)的恒等式，把常量化為變量代入到所求證的式子中，并進(jìn)行代數(shù)變形，進(jìn)而利用均值不等式來(lái)求最值.常見(jiàn)的有“1”的代換.例2(2023·湖北省武漢市模擬)若x>0,y>0，且1x+1+1x+2y=1，則2x+yA.2 B.23 C.12【思路點(diǎn)撥】通過(guò)換元x+1=a,x+2y=b將題設(shè)條件簡(jiǎn)化為1a+1b=1，然后將目標(biāo)2x+y轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b的表達(dá)式【規(guī)范解析】設(shè)x+1=a,x+2y=b，則x=a-1,y=b-a+12，且題目轉(zhuǎn)化為已知1a+1b=1而3a+b=(3a+b)(1當(dāng)且僅當(dāng)3ab=b則2a-1+b-a+1練3(2021·浙江省杭州市模擬)已知a>0,b>0，且a+b=1，則3aba+4b的最大值為（A．310B．38C．928【規(guī)范解析】由a>0,b>0，可得3aba+4b又由a+b=1，可得4a當(dāng)且僅當(dāng)4ba=ab時(shí)，即a=23,b=法二：（齊次化）3ab故選：D.題型三：化題型三：化單變量利用條件將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，將多變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量的問(wèn)題，再利用均值不等式求解，也可以通過(guò)齊次化轉(zhuǎn)化，利用比值換元轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題.例3(2021·江蘇省南通市模擬)已知正數(shù)a，b滿足1a+1b=2，則3b+1【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)1a+1b=2得到b=a2a-1【規(guī)范解析】因?yàn)?a+1b=2，所以a+bab=2，即2ab=a+b，所以b=a2a-1，

所以3b+1-a=6a-33a-1-a=2-13a-1-a=2-13(a-13)-(a-13)-13=5練4(2023·江蘇省無(wú)錫市模擬)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0，y>0，不等式x+xy≤ax+y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為(

)A.2-12 B.2-1 C.2【規(guī)范解析】由題知，a≥x+xyx+y，對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0,y>0恒成立，

即a≥1+yx1+yx，對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0,y>0恒成立．令yx=t，則t>0，

∴a≥1+t1+t2，對(duì)任意實(shí)數(shù)t>0恒成立，令1+t=m，則m>1，

∴a≥mm2-2m+2，對(duì)任意實(shí)數(shù)m>1恒成立，∵mm2-2m+2題型四：多次題型四：多次使用基本不等式連續(xù)使用均值不等式的關(guān)鍵在于取等條件是否成立，可以根據(jù)變量的個(gè)數(shù)以及方程的個(gè)數(shù)來(lái)確定可使用均值不等式的次數(shù)，或者需要保證所用均值不等式等號(hào)成立的條件不沖突.例4(2023·天津市模擬)已知正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2A.3 B.3(3+1)2 C.【思路點(diǎn)撥】 本題變量為3個(gè)，方程1個(gè)，因此可以“自由”使用兩次均值不等式，根據(jù)題干條件，可以先將目標(biāo)S=1+z2xyz中的xy利用均值不等式轉(zhuǎn)化為x【規(guī)范解析】由題意可得又x2+y2+∴1-z22xy≥1，∴注意到0<z<1，0<1-z<1，∴z(1-z)≤(z+1-z2)2=14，

當(dāng)且僅當(dāng)z=1-z，即z=12時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=6練5(2023·福建省莆田市模擬)已知x+1>y>0，則x+4x+y+1+1x-y+1A.3102-1 B.103【規(guī)范解析】設(shè)x+1=a，則a>y>0，所以x+=a-1+1=a-1+當(dāng)且僅當(dāng)2(a-y)=a+y且a=322時(shí)取得“=”，此時(shí)x=322-1，y=練6(2022·湖北省襄陽(yáng)市模擬)已知x>0，y>0，z>0，則x+yx+【規(guī)范解析】注意到，zxy+64xyz≥2有yx+16xy≥2因此x+yx+z故x+yx題型五：柯西不等式題型五：柯西不等式柯西不等式的二維形式是：a2+b其向量形式為：m=a,b根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)，即a2+b2c例5(2021·安徽省合肥市模擬)已知m，n均為正實(shí)數(shù)，4m+n=9，則2m+1+n+3【思路點(diǎn)撥】題干條件相當(dāng)于目標(biāo)的平方和的形式，因此可以通過(guò)配湊系數(shù)，利用柯西不等式求解.【規(guī)范解析】由柯西不等式有，2m+1當(dāng)且僅當(dāng)4m+41=n+31，即m=1，n=5時(shí)取等號(hào)．練7(2022·北京市期末)已知a+b=3(a>0,b>0)，則a2b+【規(guī)范解析】由柯西不等式有(a2b即a2b+b2練8(2021·湖北省鄂州市模擬)已知a1-b2+bA．a(chǎn)2+b2C．a(chǎn)2+b2【規(guī)范解析】由柯西不等式可得1=(a當(dāng)且僅當(dāng)b1-a2即a2故a2+b<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2021·湖北省鄂州市模擬)若正數(shù)a，b滿足4a+3b=1，則12a+b+1a+b的最小值為(

A.3+22 B.1+22 C.2+3【解析】由題意，設(shè)m=2a+bn=a+b，解得a=m-n，b=2n-m，其中m>0，n>0，

∵4a+3b-1=0，∴4(m-n)+3(2n-m)-1=0，整理得m+2n=1，

又由12a+b+1a+b=1m+1n=(1m+1n)(m+2n)=3+2.(2021·江蘇省無(wú)錫市模擬)實(shí)數(shù)a,b滿足a>0,b>0,a+b=4,則a2a+1+A．4B．6C．32D．【解析】令a+1=m，b+1=n，則m>1，n>1，且a=m-1，b=m-1，m+n=6，所以a2當(dāng)且僅當(dāng)m=n=3時(shí)取等號(hào).故選：D.3.(2022·四川省綿陽(yáng)市模擬)設(shè)a>b>0，則a2+1A．1B．2C．3D．4【解析】a2≥2a當(dāng)且僅當(dāng)a2-ab=1a2故選：D.4.(2022·湖北省武漢市模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b=1,c+d=1,則1abc+1dA.10 B.9 C.42 D.【解析】∵a+b=1，c+d=1，∴ab≤(a+b2)2=14，∴1ab≥4，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)，取等號(hào)．

則1abc+1d≥4?5.(2021·天津市期末)已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,1a+2b=1,則4aa-1【解析】∵1a+2b=1，∴a-1=2ab當(dāng)且僅當(dāng)2ba=6a故4aa-1+3b6.(2022·安徽省安慶市期末)已知x,y,z均為正實(shí)數(shù),且x2+4y2+8z2=16,【解析】∵x>0，y>0，z>0，x2+4y2即xy≤4-2z2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等