數(shù)學解題思維的系統(tǒng)模型

數(shù)學解題思維的系統(tǒng)模型

舉例，在驗證中發(fā)現(xiàn)以下問題。點p(x,y)在區(qū)域M內,則點P到區(qū)域M邊界三條直線距離之和的最小值為______.在高三復習中,對一些難題,如何思考才是高效復習呢?“數(shù)學是思維的體操”,要提高解題能力,顯然要尋找合理的數(shù)學解題思維。何不以合理、高效的波利亞的《怎樣解題》中體現(xiàn)的數(shù)學解題思維,來處理平時碰到的一些數(shù)學問題。并以此數(shù)學解題思維,來系統(tǒng)復習知識體系,從而學會高效復習。該解題思維過程為:理解題目—擬訂方案—回顧發(fā)散。一、區(qū)域面積和距離的確定解題信息的獲取,主要步驟是弄清題意。思考:這是一個合理的題目嗎?條件有可能滿足嗎?條件是否足以確定未知量?由此確定:題中可行域固定,故存在最小值。繼續(xù)思考:在可行域固定的情況下,能處理哪些問題?可得出:變式1:區(qū)域M的面積為_________;變式2:區(qū)域M內任意兩點A,B的最大距離為________;變式3:圓x2+y2=1在區(qū)域M內的弧長為__________;變式4:若區(qū)域M被直線y=kx分成面積相等的兩部分,則k=________.二、鞏固知識與方法體系解答一個題目的主要成就在于構思一個解題方案的思路,好的思路常常來源于過去的經驗和以前獲得的知識。于是思考:以前見過這題嗎?知道一道與它有關的題目嗎?在不斷回顧解題經驗的嘗試下,可得出線性規(guī)劃的基本知識體系與方法體系,變式如下:變式5:點p(x,y)在區(qū)域M內,求z=2x+y的最大值;變式6:點p(x,y)在區(qū)域M內,求的范圍;變式7:點p(x,y)在區(qū)域M內,求z=(x+1)2+y2的范圍;變式8:點p(x,y)在區(qū)域M內,求z=|4x+2y-3|的最大值。結合了函數(shù)思想、分類討論思想,繼續(xù)鞏固知識與方法體系:變式9:點p(x,y)在區(qū)域M內,求z=32x+y的最大值;變式10:點p(x,y)在區(qū)域M內,求的取值范圍;變式11:點p(x,y)在區(qū)域M內,求z=4x+2|y|-3的取值范圍;變式12:點p(x,y)在區(qū)域M內,求z=x-y+|4x+2y-3|的取值范圍。在回顧了過去的經驗后,再回顧以前已獲得的知識。思考:你知道一條可能有用的定理、公式、知識點嗎?如果實在找不到合適的,那便回到定義。通過目標函數(shù)為“距離型函數(shù)”的處理辦法,結合了“點在可行域內的本質含義為:點的坐標滿足不等式組”的定義,找到了如下處理:解:設點P到區(qū)域M邊界三條直線距離之和為d,則轉化為變式5類型,得到最小值為。三、散思考的后果即便是相當優(yōu)秀的學生,在得到了題目的解答,并將整個過程寫下來以后,就會合上書,去找別的事做。這樣的做法,遺漏了解題中一個重要而有益的階段(解題能力能否提高的關鍵階段)。必須深刻認識到:沒有任何一個題目是真正完成了的。通過回顧完整的答案,重新審查結果以及導致結果的途徑,學生能夠鞏固知識,能夠將任何解題方法加以改進,能夠提高解題能力,至少能深化我們對答案的理解。在緊張的高三高考復習中,解題后的回顧發(fā)散思考顯得尤為重要,它是復習能否高效的關鍵一環(huán)。本題在回顧解題過程中的易錯點、解題通法后,可探究能否一題多解問題,得到了一些思路:思路1:在題中可行域為等腰直角三角形的情況下,由幾何意義(直角三角形中兩直角邊之和大于第三邊)直接可得:直角頂點到斜邊的距離即為最小值。思路2:若題中可行域為一般三角形、其他多邊形時,則本題中的方法可作為通法。若變換條件,可得到:變式14:點Q(a+b,a-b)在區(qū)域M內,則2a+b的最大值為______;若變換結論或考慮在知識點交匯處命題,可得到:_______________。變式17:點p(x,y)在M內,使z=x+ay取最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個,則a等于______;變式18:點p(x,y)在M內,若目標函數(shù)z=ax+by(b﹥a﹥0)的最大值為1,則的最小值為_____;變式19:點p(x,y)在M內,若ax+by≤1恒成立,則b-2a的最小值為______;變式20:點p(x,y)在M內,Q(2,-2),則的最大值為________;變式21:若N是隨t變化的區(qū)域,由t≤x≤t+所確定,且-1≤t≤,則區(qū)域M和N的公共面積為f(t)=_______.我們絕不能有下列印象:數(shù)學題相互之間幾乎沒有什么聯(lián)系。當我們回顧一個題目的解答時,我們自然有機會來考察這個題目與其他事物之間的聯(lián)系。這樣做,我們將會發(fā)現(xiàn):回顧解題過程實在很有意思。四、數(shù)學分布思維與高考總成圖像這樣思考下來,對線性規(guī)劃知識點的理解得到了深化。過程中一系列的變式,讓更多的時間放在了對數(shù)學本質的理解上。更重要的是,高考每個專題復習中,按照這種數(shù)學解題思維,類似的可以由一個題散發(fā)復習整個知識體系與方法體系,且完全可以自主進行操作高效復習