變截面壓桿的平面內(nèi)穩(wěn)定問題

變截面壓桿的平面內(nèi)穩(wěn)定問題

在設(shè)計(jì)中，壓桿通常由幾個(gè)截面或由截面形狀組成的。目前尚研究很少。在文獻(xiàn)中，對(duì)三段等截面零件的壓桿平面穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。在這項(xiàng)工作中，我們發(fā)現(xiàn)在某些情況下，該方法存在很大的誤差。在這項(xiàng)工作中，我們發(fā)現(xiàn)在某些情況下，這種方法存在很大的誤差。我們從勢(shì)能釋放原理出發(fā)，解決了當(dāng)總勢(shì)能保持不變時(shí)，條件變量的變分問題，用金元程序計(jì)算工程中常用組件的彎曲負(fù)荷，并提供了高精度的計(jì)算公式。與文獻(xiàn)相比，本文提出的公式具有很高的精度。最后，對(duì)兩端進(jìn)行了研究和分析，并對(duì)文本中的兩個(gè)相鄰部分進(jìn)行了分析。該公式有望于項(xiàng)目中的實(shí)際應(yīng)用。1兩端的彎曲壓力桿的表面穩(wěn)定1.13.13.按文獻(xiàn),如圖(1a)所示下端固定、上端自由的變截面軸心受壓構(gòu)件的屈曲荷載,構(gòu)件上下兩端的慣性矩分別是I1和I2,假定構(gòu)件的繞曲線為y=v(1-cosπx2l)?(1)總勢(shì)能∏=U+V=∫l20M22EI2dx+∫ll2M22EI1dx-P2∫l0(y′)2dx.(2)由勢(shì)能駐值原理d∏dv=0,因P≠0,v≠0得到:Ρcr=π2EΙ24l2×1l2l+(1-l2l)Ι2Ι1-1π(Ι2Ι1-1)sinπl(wèi)2l.(3)上式用通式表示為Ρcr=π2EΙ2(μl)2?(4)μ=2√l2l+(1-l2l)Ι2Ι1-1π(Ι2Ι1-1)sinπl(wèi)2l.對(duì)于如圖(1b)所示兩端鉸接,三段等截面構(gòu)件組成的軸心受壓構(gòu)件,其屈曲荷載和計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)可以直接用式(4)確定,只要在式(4)中用l/2代替l,用l2/2代替l2即可,也就是把式(4)中的μ值減變即可Ρcr=π2EΙ24l2×1l2l+(1-l2l)Ι2Ι1-1π(Ι2Ι1-1)sinπl(wèi)2l=π2EΙ2(μl)2?(5)μ=√l2l+(1-l2l)Ι2Ι1-1π(Ι2Ι1-1)sinπl(wèi)2l.對(duì)于等截面構(gòu)件,其屈曲時(shí)的繞曲線為三角函數(shù)形式,但對(duì)于變截面構(gòu)件也用三角函數(shù)形式的繞曲線,存在一定的誤差,作者通過有限元方法和ANSYS中beam189的變截面單元對(duì)該問題進(jìn)行分析,得到結(jié)果如表1所示.l1為上下段構(gòu)件長(zhǎng)度,中段為H200-200×200×8/10桿長(zhǎng)4m,Ppro為程序解,Pans為按照ANSYS計(jì)算的屈曲荷載,單位均為kN.可見對(duì)于兩端大,中間比較小的變截面軸心壓桿,用式(5)計(jì)算屈曲荷載的結(jié)果和有限元及ANSYS程序解的結(jié)果都很接近,該近似解具有足夠的精度.但對(duì)于兩端小中間大的構(gòu)件,式(5)誤差較大.研究還發(fā)現(xiàn)式(5)解的誤差和中段長(zhǎng)度比有關(guān),中段長(zhǎng)度比越大,式(5)誤差越大.1.2計(jì)算屈曲荷載的公式下面我們分析兩端為變截面構(gòu)件的情況,如圖(2)為工程中常用的變截面柱,中間端較小,兩端較大.我們按照式(5)的表達(dá)式,把I2變成Im,在對(duì)I1進(jìn)行修正,此處I1為楔形構(gòu)件的小端.通過數(shù)據(jù)擬合可得修正公式為Im=I1(1+0.464λ),(6)其中γ為楔形構(gòu)件的楔率.則屈曲荷載的計(jì)算公式為:μ=√l2l+(1-l2l)ΙmΙt-1π(ΙmΙt-1)sinπl(wèi)2l.2兩端固定壓桿的表面穩(wěn)定2.1e2e2e2e2e2e2如圖3(a)所示下端固定、上端定向支座的變截面軸心受壓構(gòu)件的屈曲荷載,構(gòu)件上下兩端的慣性矩分別是I1和I2,用里茲法求解屈曲荷載,假定構(gòu)件的繞曲線為同理,由勢(shì)能駐值原理得到屈曲荷載為:Ρcr=π2EΙ2l2(Ι1Ι2+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-Ι1Ι2)).(9)上式用通式表示為Ρcr=π2EΙ2(μl)2?(10)μ=√1Ι1Ι2+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-Ι1Ι2).對(duì)于如圖3(b)所示兩端鉸接的在中部有變截面的軸心受壓構(gòu)件,其屈曲荷載和計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)可以直接用式(10)確定,只要在式(10)中用l/2代替l,用l2/2代替l2即可,也就是把式(10)中的μ值減變,這樣對(duì)于圖(3b)所示構(gòu)件的屈曲荷載可以表示為Ρcr=Ρcr=π2EΙ2(0.5l)2?(Ι1Ι2+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-Ι1Ι2))=π2EΙ2(μl)2,(11)μ=12√1Ι1Ι2+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-Ι1Ι2).研究發(fā)現(xiàn),式(11)的精度較差.我們通過數(shù)據(jù)擬合,對(duì)如圖3(b)中兩端大,中間小的情況進(jìn)行分析,擬合出的屈曲荷載計(jì)算公式為Ρcr=π2EΙ2(0.5μl)2,μ=(l2l)ξ,ξ=1.87×0.03Ι2Ι1×(l2l)0.636.(12)表3為式(11)、(12)與程序解和ANSYS解的比較,其中,中段為150-150×200×8/10桿長(zhǎng)4m.可知,式(12)精度較高,而式(11)精度較低.2.2屈曲荷載計(jì)算方法對(duì)圖3(c)上下兩段為變截面且中間段比較小的情況也進(jìn)行分析.研究發(fā)現(xiàn),只要將式(11)中對(duì)I1進(jìn)行修正:It=I1(1+1.586λ),(13)在將I2變?yōu)镮m可得屈曲荷載的計(jì)算式:Ρcr=π2EΙm(μl)2,(14)μ=12√1ΙtΙm+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-ΙtΙm).表4為式(13)和有限元程序的比值,其中,中段為200-200×200×8/10桿長(zhǎng)4m可見式(14)具有較高的精度.屈曲荷載單位為kN.3壓桿雙接觸荷載公式本文分析由若干段等截面或者變截面構(gòu)件組成的壓桿平面內(nèi)穩(wěn)定問題.我們先研究由三段等截面構(gòu)件組成的壓桿平面內(nèi)穩(wěn)定問題,然后對(duì)兩端為變截面構(gòu)件,中間為等截面構(gòu)件組成的壓桿平面內(nèi)穩(wěn)定問題進(jìn)行分析,得到和兩端為等截面構(gòu)件情況類似的屈曲荷載計(jì)算公式.最后還對(duì)兩端固接的情況進(jìn)行研究分析.本文推導(dǎo)的