變截面壓桿的平面內穩(wěn)定問題

變截面壓桿的平面內穩(wěn)定問題

在設計中，壓桿通常由幾個截面或由截面形狀組成的。目前尚研究很少。在文獻中，對三段等截面零件的壓桿平面穩(wěn)定性進行了分析。在這項工作中，我們發(fā)現(xiàn)在某些情況下，該方法存在很大的誤差。在這項工作中，我們發(fā)現(xiàn)在某些情況下，這種方法存在很大的誤差。我們從勢能釋放原理出發(fā)，解決了當總勢能保持不變時，條件變量的變分問題，用金元程序計算工程中常用組件的彎曲負荷，并提供了高精度的計算公式。與文獻相比，本文提出的公式具有很高的精度。最后，對兩端進行了研究和分析，并對文本中的兩個相鄰部分進行了分析。該公式有望于項目中的實際應用。1兩端的彎曲壓力桿的表面穩(wěn)定1.13.13.按文獻,如圖(1a)所示下端固定、上端自由的變截面軸心受壓構件的屈曲荷載,構件上下兩端的慣性矩分別是I1和I2,假定構件的繞曲線為y=v(1-cosπx2l)?(1)總勢能∏=U+V=∫l20M22EI2dx+∫ll2M22EI1dx-P2∫l0(y′)2dx.(2)由勢能駐值原理d∏dv=0,因P≠0,v≠0得到:Ρcr=π2EΙ24l2×1l2l+(1-l2l)Ι2Ι1-1π(Ι2Ι1-1)sinπl(wèi)2l.(3)上式用通式表示為Ρcr=π2EΙ2(μl)2?(4)μ=2√l2l+(1-l2l)Ι2Ι1-1π(Ι2Ι1-1)sinπl(wèi)2l.對于如圖(1b)所示兩端鉸接,三段等截面構件組成的軸心受壓構件,其屈曲荷載和計算長度系數(shù)可以直接用式(4)確定,只要在式(4)中用l/2代替l,用l2/2代替l2即可,也就是把式(4)中的μ值減變即可Ρcr=π2EΙ24l2×1l2l+(1-l2l)Ι2Ι1-1π(Ι2Ι1-1)sinπl(wèi)2l=π2EΙ2(μl)2?(5)μ=√l2l+(1-l2l)Ι2Ι1-1π(Ι2Ι1-1)sinπl(wèi)2l.對于等截面構件,其屈曲時的繞曲線為三角函數(shù)形式,但對于變截面構件也用三角函數(shù)形式的繞曲線,存在一定的誤差,作者通過有限元方法和ANSYS中beam189的變截面單元對該問題進行分析,得到結果如表1所示.l1為上下段構件長度,中段為H200-200×200×8/10桿長4m,Ppro為程序解,Pans為按照ANSYS計算的屈曲荷載,單位均為kN.可見對于兩端大,中間比較小的變截面軸心壓桿,用式(5)計算屈曲荷載的結果和有限元及ANSYS程序解的結果都很接近,該近似解具有足夠的精度.但對于兩端小中間大的構件,式(5)誤差較大.研究還發(fā)現(xiàn)式(5)解的誤差和中段長度比有關,中段長度比越大,式(5)誤差越大.1.2計算屈曲荷載的公式下面我們分析兩端為變截面構件的情況,如圖(2)為工程中常用的變截面柱,中間端較小,兩端較大.我們按照式(5)的表達式,把I2變成Im,在對I1進行修正,此處I1為楔形構件的小端.通過數(shù)據(jù)擬合可得修正公式為Im=I1(1+0.464λ),(6)其中γ為楔形構件的楔率.則屈曲荷載的計算公式為:μ=√l2l+(1-l2l)ΙmΙt-1π(ΙmΙt-1)sinπl(wèi)2l.2兩端固定壓桿的表面穩(wěn)定2.1e2e2e2e2e2e2如圖3(a)所示下端固定、上端定向支座的變截面軸心受壓構件的屈曲荷載,構件上下兩端的慣性矩分別是I1和I2,用里茲法求解屈曲荷載,假定構件的繞曲線為同理,由勢能駐值原理得到屈曲荷載為:Ρcr=π2EΙ2l2(Ι1Ι2+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-Ι1Ι2)).(9)上式用通式表示為Ρcr=π2EΙ2(μl)2?(10)μ=√1Ι1Ι2+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-Ι1Ι2).對于如圖3(b)所示兩端鉸接的在中部有變截面的軸心受壓構件,其屈曲荷載和計算長度系數(shù)可以直接用式(10)確定,只要在式(10)中用l/2代替l,用l2/2代替l2即可,也就是把式(10)中的μ值減變,這樣對于圖(3b)所示構件的屈曲荷載可以表示為Ρcr=Ρcr=π2EΙ2(0.5l)2?(Ι1Ι2+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-Ι1Ι2))=π2EΙ2(μl)2,(11)μ=12√1Ι1Ι2+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-Ι1Ι2).研究發(fā)現(xiàn),式(11)的精度較差.我們通過數(shù)據(jù)擬合,對如圖3(b)中兩端大,中間小的情況進行分析,擬合出的屈曲荷載計算公式為Ρcr=π2EΙ2(0.5μl)2,μ=(l2l)ξ,ξ=1.87×0.03Ι2Ι1×(l2l)0.636.(12)表3為式(11)、(12)與程序解和ANSYS解的比較,其中,中段為150-150×200×8/10桿長4m.可知,式(12)精度較高,而式(11)精度較低.2.2屈曲荷載計算方法對圖3(c)上下兩段為變截面且中間段比較小的情況也進行分析.研究發(fā)現(xiàn),只要將式(11)中對I1進行修正:It=I1(1+1.586λ),(13)在將I2變?yōu)镮m可得屈曲荷載的計算式:Ρcr=π2EΙm(μl)2,(14)μ=12√1ΙtΙm+(l2l+12πsin2πl(wèi)2l)(1-ΙtΙm).表4為式(13)和有限元程序的比值,其中,中段為200-200×200×8/10桿長4m可見式(14)具有較高的精度.屈曲荷載單位為kN.3壓桿雙接觸荷載公式本文分析由若干段等截面或者變截面構件組成的壓桿平面內穩(wěn)定問題.我們先研究由三段等截面構件組成的壓桿平面內穩(wěn)定問題,然后對兩端為變截面構件,中間為等截面構件組成的壓桿平面內穩(wěn)定問題進行分析,得到和兩端為等截面構件情況類似的屈曲荷載計算公式.最后還對兩端固接的情況進行研究分析.本文推導的