多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八次課

六、多元函數(shù)的連續(xù)性如果

設(shè)二元函數(shù)的定義域為定義4如果函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D內(nèi)每一點連續(xù)，則稱函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)連續(xù).或稱f(x,y)是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).注：二元函數(shù)的間斷點可以是孤立的點，也可以形成一條或幾條曲線.●多元函數(shù)的連續(xù)性及運算法則與一元函數(shù)有類似的結(jié)果.●多元初等函數(shù)：由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與復(fù)合且用一個式子表示的函數(shù).●一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.(定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域)●初等函數(shù)在其定義區(qū)域上求極限，其極限值就等于函數(shù)值.有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上1最大值和最小值定理至少取得它的最大值和最小值各一次．

2有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值第八次課2012-3-7全微分及其應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)二、函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系●一元函數(shù)時可導(dǎo)必連續(xù).●多元時，偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).解討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．同理

三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何解釋圖示如下：四、高階偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)解解設(shè)階導(dǎo)數(shù)注：高于二階的混合偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論完全類似.解小結(jié)§9.3全微分及其應(yīng)用一、全微分的概念點的函數(shù)值之差：記為為函數(shù)在點P對應(yīng)于自變量增量,,的全增量.),(),(yxfyyxxfz-D+D+=D可以表示為)(royBxAz+D+D=D，其中BA,不依賴于yxDD,而僅與yx,有關(guān)，22)()(yxD+D=r，則稱函數(shù)),(yxfz=在點),(yx可微，全微分，記為dz，即

dz=yBxAD+D.如果函數(shù)),(yxfz=在點),(yx的全增量定義的稱為函數(shù)),(yxfz=在點),(yxD則稱這函數(shù)在內(nèi)可微●●

若函數(shù)f(x,y)在某區(qū)域D內(nèi)各點處處可微，●

二、可微的性質(zhì)證同理可得（作為練習(xí)自己證明）定理2：如果函數(shù)),(yxfz在點

可微,

(x0,y0)=三、可微的充分條件證（由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）同理全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)解所求全微分解解所求全微分同理不存在.證可微：§5.3全微分及其應(yīng)用一、全微分的概念點的函數(shù)值之差：記為為函數(shù)在點P對應(yīng)于自變量增量,,的全增量.),(),(yxfyyxxfz-D+D+=D可以表示為)(royBxAz+D+D=D，其中BA,不依賴于yxDD,而僅與yx,有關(guān)，22)()(yxD+D=r，則稱函數(shù)),(yxfz=在點),(yx可微，全微分，記為dz，即

dz=yBxAD+D.如果函數(shù)),(yxfz=在點),(yx的全增量定義的稱為函數(shù)),(yxfz=在點),(yxD則稱這函數(shù)在內(nèi)可微●●

若函數(shù)f(x,y)在某區(qū)域D內(nèi)各點處處可微，●

二、可微的性質(zhì)證同理可得（作為練習(xí)自己證明）定理2：如果函數(shù)),(yxfz在點

可微,

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