第七章假設(shè)檢驗

第七章假設(shè)檢驗§7.1假設(shè)檢驗的基本思想（小概率事件在一次實驗中不會發(fā)生）前一章中我們討論了如何根據(jù)樣本去得到總體的分布所含參數(shù)的優(yōu)良估計.以這樣得到的估計值作為參數(shù)的已知值得到的一個總體必須跟真實的總體作比較,考察它們之間是否在統(tǒng)計的意義上相合。顯然,這種比較只能在樣本的基礎(chǔ)上進(jìn)行。怎么比較才能得到一個有較大把握的結(jié)論呢?這就是我們這章所要講的統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題。一、假設(shè)檢驗的一個實際問題問題7.1.1一種零件采用自動生產(chǎn)線生產(chǎn)，零件的壽命（單位：小時）服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在工廠改良了生產(chǎn)技術(shù)，假設(shè)零件的壽命仍服從正態(tài)分布且方差不變。為檢驗零件的壽命是否有提高，質(zhì)檢人員在某天生產(chǎn)的零件中隨機抽取40個進(jìn)行檢驗，測得平均壽命為2020小時。試問在新技術(shù)下生產(chǎn)的零件壽命是否得到了提高?現(xiàn)在的問題就是要判斷新技術(shù)下零件的平均壽命?還是與以前一樣依然是2000小時?如果是前者，我們說新產(chǎn)品壽命有顯著提高；若是后者，就是說沒有。我們把任意一個有關(guān)未知分布的假設(shè)稱為統(tǒng)計假設(shè)或簡稱假設(shè)。上面的問題中我們把兩種情況用假設(shè)來表示。假設(shè)表示新技術(shù)下零件壽命沒有顯著增加；假設(shè)表示新技術(shù)下零件壽命有顯著提高。我們把第一個假設(shè)作為原假設(shè)，用符號表示；第二個假設(shè)作為備擇假設(shè)，用符號表示。至于為什么要把第一個作為原假設(shè)，第二個作為備擇假設(shè)呢？通常是把要拒絕的作為原假設(shè)，要準(zhǔn)備接受的作為備擇假設(shè)。在上面的問題中，我們當(dāng)然希望零件壽命有提高，所以把沒有提高作為原假設(shè)，有提高作為備擇假設(shè)。在許多問題中，總體分布的類型是已知的，僅是一個或幾個參數(shù)未知，只要對這一個或幾個未知參數(shù)的值作出假設(shè)，就可以確定總體分布。這種僅涉及到總體分布的未知參數(shù)的統(tǒng)計假設(shè)稱為參數(shù)假設(shè)。如上面的問題就是參數(shù)假設(shè)檢驗問題。另一種要對總體分布類型進(jìn)行假設(shè)的叫做非參數(shù)假設(shè)。如，在問題7.1.1中，確定了總體分布，是一個簡單假設(shè)，而是一個復(fù)合假設(shè)。二、假設(shè)檢驗的目的和基本方法假設(shè)檢驗的目的就是要根據(jù)數(shù)據(jù)來確定是否拒絕原假設(shè)。為此，我們必須先從樣本出發(fā)，構(gòu)造一個合適的檢驗統(tǒng)計量與拒絕域，然后根據(jù)樣本觀測值作判斷：當(dāng)時拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)；否則不拒絕原假設(shè)。我們知道，樣本均值是總體均值的“好”的估計，可以選取作為檢驗統(tǒng)計量；根據(jù)備擇假設(shè)，拒絕域應(yīng)該形如，其中臨界值的確定與下面兩類錯誤有關(guān)。三、假設(shè)檢驗的兩類錯誤由于樣本的隨機性，進(jìn)行判斷時，可能犯兩類錯誤。一類錯誤是：當(dāng)為真時，樣本卻落入了，使得我們拒絕，這種錯誤稱為第一類錯誤。其發(fā)生的概率稱為犯第一類錯誤的概率。通常記為，即P（拒絕|為真）=拒真概率上面例子中可寫為另一類錯誤為：當(dāng)為真時，樣本沒有落入，這時我們不拒絕，這種錯誤稱為第二類錯誤，其發(fā)生的概率稱為犯第二類錯誤的概率，通常記為，即P（不拒絕|為真）=受偽概率上面例子中可寫為我們把兩類錯誤歸納為下表：表7.1.1假設(shè)檢驗的兩類錯誤總體樣本犯第一類錯誤（接受）（接受）犯第二類錯誤犯兩類錯誤的概率當(dāng)然是越小越好，但是當(dāng)樣本容量n固定時,,不能同時都小，即變小時,就變大；而變小時，就變大。只有當(dāng)樣本容量n增大時，才有可能使兩者同時變小。在實際應(yīng)用中,人們常遵循Neyman-Pearson原則：在控制犯第一類錯誤的概率的條件下，尋找拒絕域（或檢驗法則），使得犯第二類錯誤的概率達(dá)到最小。不過，基于Neyman-Pearson原則的最優(yōu)檢驗不一定存在。四、顯著性假設(shè)檢驗問題如果只控制犯第一類錯誤的概率，而不考慮犯第二類錯誤的概率，那么尋找拒絕域只涉及原假設(shè)，而與備擇假設(shè)無關(guān)，這種統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題稱為顯著性假設(shè)檢驗問題，此時又稱為檢驗的顯著性水平。對于問題7.1.1，如果只考慮顯著性假設(shè)檢驗問題，則臨界值由確定：由§5.3定理5.3.2（1，因此，故。取顯著性水平，拒絕域為?，F(xiàn)在抽樣檢查的結(jié)果是，即樣本觀測值落入拒絕域，因此，我們有充分理由拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即可認(rèn)為新技術(shù)下零件壽命有顯著提高。注：（1）假設(shè)檢驗是根據(jù)小概率事件的實際不可能性原理來進(jìn)行推斷的。在原假設(shè)成立時，是小概率事件。若小概率事件竟然發(fā)生，我們就有理由懷疑前提假設(shè)，從而作出拒絕原假設(shè)的判斷。（2）假設(shè)檢驗的結(jié)論與選取的顯著性水平有關(guān)。上例中，若改取顯著性水平，則拒絕域變?yōu)椋藭r沒有充分理由拒絕原假設(shè)，即尚不能認(rèn)為新技術(shù)下零件壽命有顯著提高。五、顯著性假設(shè)檢驗的一般步驟(1)

根據(jù)實際問題提出原假設(shè)與備擇假設(shè)，即說明要檢驗的假設(shè)的內(nèi)容；(2)

選取合適的檢驗統(tǒng)計量，并在原假設(shè)成立的條件下確定的分布；(3)

根據(jù)問題的需要適當(dāng)選取檢驗的顯著性水平(一般較小)，確定拒絕域；(4)根據(jù)樣本觀測值計算檢驗統(tǒng)計量的值，從而對是否拒絕原假設(shè)作出判斷。六、利用P值（P-value）進(jìn)行決策顯著性水平是在檢驗之前確定的，這也就是說事先確定了拒絕域。這樣，不論檢驗統(tǒng)計量的值是大還是小，只要它的值落入拒絕域就拒絕原假設(shè)，否則就不拒絕原假設(shè)。這種固定的顯著性水平對檢驗結(jié)果的可靠性起一種度量作用。但不足的是，是犯第一類錯誤的上限控制值，它只是提供檢驗結(jié)論可靠性的一個大致范圍，而對于一個特定的假設(shè)檢驗問題，卻無法給出觀測數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間不一致程度的精確度量。即是說，僅從顯著水平來比較，如果選擇的值相同，則所有檢驗結(jié)論的可靠性都一樣。P值就是當(dāng)原假設(shè)為真時得到樣本觀測結(jié)果或更極端情況發(fā)生的概率，也稱為觀察到的顯著性水平。如果原假設(shè)是正確的話，很小的P值告訴我們得到這樣的數(shù)據(jù)是多么的不可能。不可能得到的數(shù)據(jù)，就是原假設(shè)不成立的合理證據(jù)。我們永遠(yuǎn)不會知道原假設(shè)是否正確，就象我們永遠(yuǎn)也不知道天有多高一樣。如果P值為5%，我們只能說：在原假設(shè)成立的條件下，這樣的數(shù)據(jù)只有5%的可能性會發(fā)生。P值是反映實際觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間不一致的程度的一個概率值。P越小，說明實際觀測到的數(shù)據(jù)與之間不一致的程度就越大，檢驗的結(jié)果也就越顯著。P值也是用于確定是否拒絕原假設(shè)的另一個重要工具，它有效地補充了提供的關(guān)于檢驗可靠性的有限信息。在現(xiàn)代統(tǒng)計檢驗中，不再需要給出或之類傳統(tǒng)的顯著性水平。P值提供了更多的信息，它讓人們可以選擇任意水平來評估結(jié)果是否具有統(tǒng)計上的顯著性。只要你認(rèn)為這么大的P值算是顯著了，你就可以在這樣的P值水平上拒絕原假設(shè)。當(dāng)然，傳統(tǒng)的顯著性水平，如、、等，已被人們普遍接受為“拒絕原假設(shè)足夠證據(jù)”的標(biāo)準(zhǔn)。大概可以說：代表有“一些證據(jù)”不利于原假設(shè)；代表有“適度證據(jù)”不利于原假設(shè)；代表有“很強證據(jù)”不利于原假設(shè)。下面給出P值的計算公式，其中表示檢驗統(tǒng)計量的樣本觀測值：（1）左側(cè)檢驗：P值等于（2）右側(cè)檢驗：P值等于（3）雙側(cè)檢驗：P值等于。常用統(tǒng)計軟件（如SAS，SPSS）都會給出統(tǒng)計檢驗方法的P值，本書將使用Excel進(jìn)行計算，具體內(nèi)容和操作過程將在后面詳細(xì)介紹。對于不同檢驗的P值，可以用下面的圖來表示。置信水平P值的P值的臨界值臨界值雙側(cè)檢驗P值左側(cè)檢驗P值右側(cè)檢驗圖7.1.1利用P值進(jìn)行決策的規(guī)則十分簡單。不論是單側(cè)還是雙側(cè)檢驗，決策的準(zhǔn)則都是：如果P值，拒絕；否則，不拒絕?；氐絾栴}7.1.1，這是右側(cè)檢驗問題，檢驗的P值為因為，所以在顯著性水平下有充分理由拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即可認(rèn)為新技術(shù)下零件壽命有顯著增加。下面將顯著性假設(shè)檢驗問題利用P值進(jìn)行決策的的具體步驟總結(jié)如下：第一步：根據(jù)實際問題提出原假設(shè)