湘教版（2023）必修第二冊1.1向量 課件+學案（共2份打包）

第第頁湘教版（2023）必修第二冊1.1向量課件+學案（共2份打包）1．1向量

最新課程標準學科核心素養(yǎng)

1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景．2．理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義．3．理解平面向量的幾何表示和基本要素．1.通過對物理量的分析抽象出向量的概念．(數(shù)學抽象)2．理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義．(數(shù)學抽象)3．能利用向量的含義及相關概念解決相應的問題．(邏輯推理、直觀想象)

教材要點

要點一向量的相關概念

向量的概念既有大小又有方向的量稱為向量．

有向線段具有________的線段稱為有向線段．以A為起點、B為終點的有向線段記作________，線段AB的長度也稱為有向線段的長度，記作________．

向量的模向量a的大小，也就是向量a的長度，稱為a的模，記作|a|.

相等向量把方向________、長度相等的向量稱為相等向量．

相反向量把方向________、長度相等的向量稱為相反向量．

零向量如果向量a的大小|a|＝0，就稱a是零向量．記作0.所有的零向量相等．

狀元隨筆(1)理解向量概念應關注三點

①向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．

②判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個因素．

③向量與向量之間不能比較大?。?/p>

(2)相等向量的理解

任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定．

要點二向量的幾何表示

1．向量可以用有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．

2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用粗體a，書寫用.

狀元隨筆向量不等于有向線段，有向線段只是向量的一種直觀表示，用有向線段的起點與終點字母表示向量時，注意起點的位置在前，終點位置在后，箭頭從起點指向終點．用手寫體表示向量時一定不要遺漏上面的箭頭．

基礎自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)兩個向量，長度大的向量較大．()

(2)兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同．()

(3)長度為0的向量叫做零向量．()

(4)零向量與任意向量都不平行．()

2．已知：①三角形的面積；②物體受到的重力；③水流的速度；④溫度．其中是向量的有()

A．①②③④B．②③④

C．③④D．②③

3．如圖，在矩形ABCD中，可以用同一條有向線段表示的向量是()

A．和B．和

C．和D．和

4．如圖，以1cm×3cm方格紙中的格點為始點和終點的所有向量中，則以A為始點，可以寫出________個不同的向量．

題型1向量的概念辨析

例1(多選)下面的命題錯誤的是()

A．用有向線段表示兩個相等的向量，如果有相同的起點，那么它們的終點一定相同

B．兩個向量的模相等，則這兩個向量相等

C．向量與向量相等

D．若a，b滿足|a|＞|b|且a與b同向，則a＞b

方法歸納

(1)向量之間的關系需從大小和方向兩個方面去理解，因而向量不能比較大?。?/p>

(2)零向量是比較特殊的向量，解題時一定要看清是“零向量”還是“非零向量”．

跟蹤訓練1(多選)下列結論正確的是()

A．＝－

B．向量||＝0，則A，B兩點重合

C．||>0

D．||＝

題型2向量的表示及應用

例2在如圖所示的坐標紙(規(guī)定小方格的邊長為1)中，用有向線段表示下列向量：

(1)|a|＝4，a的方向與x軸的正方向夾角為60°，與y軸正方向夾角為30°；

(2)|b|＝3，b的方向與x軸的正方向夾角為30°，與y軸正方向夾角為120°；

(3)|c|＝3，c的方向與x軸的正方向夾角為135°，與y軸正方向夾角為45°.

方法歸納

在畫圖時，向量是用有向線段來表示的，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．應該注意的是有向線段是向量的表示，并不是說向量就是有向線段．

跟蹤訓練2一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點，然后又改變方向，向西偏北50°的方向走了200km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達D點．

(1)作出向量；

(2)求||.

題型3相等向量與相反向量

例3如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心．

(1)分別寫出圖中與相等的向量；

(2)圖中與向量相反的向量有哪幾個？

方法歸納

先找模與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定方向．

跟蹤訓練3如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以長方體的八個頂點中兩點為起點和終點的向量中：

(1)與相等的向量有________；

的相反向量有________．

易錯辨析混淆位移與路程

例4一艘海上巡邏艇從港口向北航行了30nmile，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向40nmile處有一艘漁船拋錨需救助．試求：

(1)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點所航行的路程；

(2)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點的位移．(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8)

解析：(1)畫出如圖所示的示意圖，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，即AB＋BC＝70(nmile)．

(2)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為||＝＝50(nmile)，由于sin∠BAC＝，故方向約為北偏東53°.

易錯警示

易錯原因糾錯心得

誤將位移與路程等同起來，導致(2)中答案錯誤．路程是指物體運行軌跡的長度，只有大小，沒有方向，是一個數(shù)量；而位移只與物體運動的起點和終點有關，既有大小又有方向，是一個向量．

課堂十分鐘

1．下列說法正確的是()

A．a(chǎn)與b是相反向量，b與c是相反向量，則a與c相等

B．任意兩個相等的非零向量的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點

C.向量a與b不相等，則a與b都是非零向量

D．有相同起點的兩個非零向量一定不相等

2．如圖所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分別是AB，BC，AC的中點，則與向量相等的向量是()

A．與B．與

C．與D．與

3．已知△ABC是等腰三角形，則兩腰對應的向量與的關系是________．

4．已知飛機從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達B地，再從B地按南偏東30°方向飛行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛行1000km到達D地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．

1．1向量

新知初探·課前預習

要點一

方向||相同相反

[基礎自測]

1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2．解析：由向量的概念可知②③正確．

答案：D

3．解析：易知＝.

答案：B

4．解析：由圖可知，以A為始點的向量有、、、、、、，共有7個．

答案：7

題型探究·課堂解透

例1解析：因為兩個有相同起點的向量，只有終點相同，才能相等，A項正確；方向不一定相同，B項錯誤；方向相反，只有在都為0時才相等，C項錯誤；因為向量不能比較大小，D項錯誤．

答案：BCD

跟蹤訓練1解析：根據(jù)相反向量的定義可知A正確；由||＝0得＝0，所以A，B兩點重合，故B正確；零向量的模為0，故C錯誤，應為||≥0；由于相反向量的模相等，故D正確．

答案：ABD

例2解析：如圖所示．

跟蹤訓練2解析：(1)向量如圖所示．

(2)由題意，可知與方向相反，故與共線，

∵||＝||，

∴在四邊形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∴＝，

∴||＝||＝200km.

例3解析：(1)與相等的向量有.與相等的向量有.與相等的向量有.

(2)與向量相反的向量有.

跟蹤訓練3解析：(1)由圖可知，AB＝DC＝A1B1＝D1C1，所以與相等的向量有：、、；

(2)由圖可知，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝1，所以的相反向量有：、、、；

答案：、、(2)、、、

[課堂十分鐘]

1．答案：A

2．解析：向量相等即模長相等，方向相同．

依題意，PQ是三角形的中位線，故PQ∥AC，PQ＝AC，即PQ＝AR＝RC，因此與都是和相等的向量．

答案：B

3．答案：＝

4．解析：以A為原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立直角坐標系．

由題意知B點在第一象限，C點在x軸正半軸上，D點在第四象限，

向量如圖所示，

由已知可得，

△ABC為正三角形，所以AC＝2000km.

又∠ACD＝45°，CD＝1000km，

所以△ADC為等腰直角三角形，

所以AD＝1000km，∠CAD＝45°.

故向量的模為1000km，方向為東南方向．(共32張PPT)

1.1向量

新知初探·課前預習

題型探究·課堂解透

最新課程標準學科核心素養(yǎng)

1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景．2．理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義．3．理解平面向量的幾何表示和基本要素．1.通過對物理量的分析抽象出向量的概念．(數(shù)學抽象)

2．理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義．(數(shù)學抽象)

3．能利用向量的含義及相關概念解決相應的問題．(邏輯推理、直觀想象)

新知初探·課前預習

教材要點

要點一向量的相關概念

向量的概念既有大小又有方向的量稱為向量．

有向線段

向量的模向量a的大小，也就是向量a的長度，稱為a的模，記作|a|.

相等向量把方向________、長度相等的向量稱為相等向量．

相反向量把方向________、長度相等的向量稱為相反向量．

零向量如果向量a的大小|a|＝0，就稱a是零向量．記作0.所有的零向量相等．

方向

||

相同

相反

狀元隨筆(1)理解向量概念應關注三點

①向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．

②判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個因素．

③向量與向量之間不能比較大?。?/p>

(2)相等向量的理解

任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定．

要點二向量的幾何表示

1．向量可以用有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．

2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用粗體a，書寫用.

狀元隨筆

向量不等于有向線段，有向線段只是向量的一種直觀表示，用有向線段的起點與終點字母表示向量時，注意起點的位置在前，終點位置在后，箭頭從起點指向終點．用手寫體表示向量時一定不要遺漏上面的箭頭．

基礎自測

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)兩個向量，長度大的向量較大．()

(2)兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同．()

(3)長度為0的向量叫做零向量．()

(4)零向量與任意向量都不平行．()

×

×

√

×

2．已知：①三角形的面積；②物體受到的重力；③水流的速度；④溫度．其中是向量的有()

A．①②③④B．②③④

C．③④D．②③

答案：D

解析：由向量的概念可知②③正確．

3．如圖，在矩形ABCD中，可以用同一條有向線段表示的向量是()

A．和B．和

C．和D．和

答案：B

解析：易知＝.

4．如圖，以1cm×3cm方格紙中的格點為始點和終點的所有向量中，則以A為始點，可以寫出________個不同的向量．

7

解析：由圖可知，以A為始點的向量有、、、、、、，共有7個．

題型探究·課堂解透

題型1向量的概念辨析

例1(多選)下面的命題錯誤的是()

A．用有向線段表示兩個相等的向量，如果有相同的起點，那么它們的終點一定相同

B．兩個向量的模相等，則這兩個向量相等

C．向量與向量相等

D．若a，b滿足|a|＞|b|且a與b同向，則a＞b

答案：BCD

解析：因為兩個有相同起點的向量，只有終點相同，才能相等，A項正確；方向不一定相同，B項錯誤；方向相反，只有在都為0時才相等，C項錯誤；因為向量不能比較大小，D項錯誤．

方法歸納

(1)向量之間的關系需從大小和方向兩個方面去理解，因而向量不能比較大小．

(2)零向量是比較特殊的向量，解題時一定要看清是“零向量”還是“非零向量”．

跟蹤訓練1(多選)下列結論正確的是()

A．＝－

B．向量||＝0，則A，B兩點重合

C．||>0

D．||＝

答案：ABD

解析：根據(jù)相反向量的定義可知A正確；由||＝0得＝0，所以A，B兩點重合，故B正確；零向量的模為0，故C錯誤，應為||≥0；由于相反向量的模相等，故D正確．

題型2向量的表示及應用

例2在如圖所示的坐標紙(規(guī)定小方格的邊長為1)中，用有向線段表示下列向量：

(1)|a|＝4，a的方向與x軸的正方向夾角為60°，與y軸正方向夾角為30°；

(2)|b|＝3，b的方向與x軸的正方向夾角為30°，與y軸正方向夾角為120°；

(3)|c|＝3，c的方向與x軸的正方向夾角為135°，與y軸正方向夾角為45°.

答案：如圖所示．

方法歸納

在畫圖時，向量是用有向線段來表示的，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．應該注意的是有向線段是向量的表示，并不是說向量就是有向線段．

跟蹤訓練2一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點，然后又改變方向，向西偏北50°的方向走了200km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達D點．

(1)作出向量；

(2)求||.

解析：(1)向量如圖所示．

(2)由題意，可知與方向相反，故與共線，

∵||＝||，

∴在四邊形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∴＝，

∴||＝||＝200km.

題型3相等向量與相反向量

例3如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心．

(1)分別寫出圖中與相等的向量；

(2)圖中與向量相反的向量有哪幾個？

解析：(1)與相等的向量有.與相等的向量有.與相等的向量有.

(2)與向量相反的向量有.

方法歸納

先找模與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定方向．

跟蹤訓練3如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以長方體的八個頂點中兩點為起點和終點的向量中：

(1)與相等的向量有______________；

的相反向量有___________________．

、、

、、、

解析：(1)由圖可知，AB＝DC＝A1B1＝D1C1，所以與相等的向量有：、、；

(2)由圖可知，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝1，所以的相反向量有：、、、；

易錯辨析混淆位移與路程

例4一艘海上巡邏艇從港口向北航行了30nmile，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向40nmile處有一艘漁船拋錨需救助．試求：

(1)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點所航行的路程；

(2)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點的位移．(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8)

解析：(1)畫出如圖所示的示意圖，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，即AB＋BC＝70(nmile)．

(2)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為||＝＝50(nmile)，由于sin∠BAC＝，故方向約為北偏東53°.

易錯警示

易