專題6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用(學(xué)生版)

專題6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用1.數(shù)列與函數(shù)的綜合數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的圖象是一些孤立的點，此類問題大部分要歸于對函數(shù)性質(zhì)的研究，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運用函數(shù)的思想求解.判斷數(shù)列中的不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者借助數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大??；數(shù)列中的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題解決；數(shù)列中的不等式證明問題，可構(gòu)造函數(shù)進行證明，或者采用放縮法進行證明.3.數(shù)列在實際應(yīng)用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差.(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的非零常數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比.(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，則應(yīng)考慮考查的是第n項an與第n+1項an+1的遞推關(guān)系還是前n項和Sn與前n+11.【人教A版選擇性必修二4練習5P24】記不超過x的最大整數(shù)為[x]，如[-0.5]=-1，[π]=3.已知數(shù)列{an}的通項公式an=[log28n]，設(shè)數(shù)列{anA.5 B.6 C.15 D.162.【人教A版選擇性必修二例4P31】習近平總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．”新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向．工業(yè)部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一．江蘇某新能源公司年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺16200元，第一年每臺設(shè)備的維修保養(yǎng)費用為1100元，以后每年增加400元，每臺充電樁每年可給公司收益8100元．(1)每臺充電樁第幾年開始獲利？(2)每臺充電樁在第幾年時，年平均利潤最大．考點一考點一數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯【方法儲備】數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項或前n項和，再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進行不等式的證明．1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題：①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形.2.數(shù)列與不等式的綜合問題：1.函數(shù)法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實數(shù)的不等式賦特殊值得出數(shù)列中的不等式.2.比較法：作差或者作商進行比較.3.放縮法：一是在求和中將通項“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”.4.數(shù)列中不等式恒成立問題：數(shù)列中有關(guān)項或前n項和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項或前n項和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解.【典例精講】例1.(2023·重慶市期末)已知數(shù)列an滿足an+1=12an-12，aA.116,+∞ B.18,+∞例2.(2022·湖北省荊州市模擬)已知數(shù)列{an}滿足：(an+1-1)A.若an>1，則數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列

B.若0<an<1例3.(2023·江蘇省南京市期末)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn=32an-3n+1，則a【拓展提升】練11(2023·浙江省杭州市月考)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=1n(n+2)，前n項和為Sn，若實數(shù)λ滿足(-1)nA.-103<λ≤94 B.-10練12(2022·湖南省長沙市月考)已知函數(shù)f(x)=1+(1)求函數(shù)y=f(x)的最大值；(2)證明：ln2考點二考點二數(shù)列的實際應(yīng)用【方法儲備】解答數(shù)列實際應(yīng)用問題的步驟:1.確定模型類型：理解題意，判斷符合哪類數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡單遞推數(shù)列模型．基本特征如下：=1\*GB2⑴等差數(shù)列模型：均勻增加或者減少；=2\*GB2⑵等比數(shù)列模型：指數(shù)增長或減少，常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題；=3\*GB2⑶簡單遞推數(shù)列模型：指數(shù)增長的同時又均勻減少．如年收入增長率為20%，每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開銷，即數(shù)列an滿足an+1=1.2a2.準確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識，求數(shù)列的通項、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時要注意運算準確．3.給出問題的回答：實際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對實際問題的答案，在解題中不要忽視了這點．【典例精講】

例4.(2023·湖北省孝感市模擬)為響應(yīng)國家號召，某地出臺了相關(guān)的優(yōu)惠政策鼓勵“個體經(jīng)濟”.個體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進貨，因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應(yīng)求.據(jù)測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預(yù)計到2023年5月底他的年所得收入(扣除當月生活費且還完貸款)為

元(參考數(shù)據(jù):1.211≈7.5，1.A.35200 B.43200 C.30000 D.32000例5.(2023·湖南省株洲市月考)已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an=3n+1，bn=2n，設(shè)數(shù)列{an}和{bn}中的所有項分別構(gòu)成集合A，B，定義集合A-B={x|x∈A且A.1630 B.1632 C.1908 D.1910【拓展提升】練21(2023·浙江省杭州市聯(lián)考)某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為10%，且每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3?，Sn為{cn}的前n項和，則S6=

.(結(jié)果保留成整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：1．15練22(2022·江蘇省泰州市月考)某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久．甲上臺階時，可以一步走一個臺階，也可以一步走兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為13，每步上兩個臺階的概率為23.為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登上第n個臺階的概率為Pn，其中n∈N*(1)若甲走3步時所得分數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)證明：數(shù)列{P(3)求甲在登山過程中，恰好登上第99級臺階的概率．考點三考點三數(shù)列的新定義問題【方法儲備】解數(shù)列中的新定義問題的解題步驟：=1\*GB3①讀懂定義,理解新定義數(shù)列的含義；=2\*GB3②利用新定義，求解數(shù)列模型：通過特例列舉(一般是前面一些項)尋找新定義數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì),以及新定義數(shù)列與已知數(shù)列(如等差與等比數(shù)列)的關(guān)系,求解數(shù)列的通項，求和.【典例精講】例6.(2023·浙江省溫州市聯(lián)考)（多選）定義Hn=a1+2a2+???+2n-1ann為數(shù)列an的“優(yōu)值”.已知某數(shù)列A.數(shù)列an為等差數(shù)列 B.數(shù)列an為遞減數(shù)列

C.S20202020=20232 例7.(2023·湖北省十堰市模擬)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，bn=Snn，則稱數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列{(1)求數(shù)列{a(2)求實數(shù)m的取值范圍．【拓展提升】練31(2022·安徽省合肥市聯(lián)考)（多選）設(shè)正整數(shù)n=a0?20+a1?2+?+ak-1A.ω2n=ωn B.ω2n+3練32(2023·江蘇省泰州市模擬)已知數(shù)列2an是公比為4的等比數(shù)列，且滿足a2，a4，(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并求數(shù)列a(2)若bn=2n-1，定義a*b=a?,?a≤bb?,?a>b，且記1.(2023·北京市市轄區(qū)模擬)已知數(shù)軸上兩點O,P的坐標為O(0),P(70)，現(xiàn)O,P兩點在數(shù)軸上同時相向運動．點O的運動規(guī)律為第一秒運動2個單位長度，以后每秒比前一秒多運動1個單位長度；點P的運動規(guī)律為每秒運動5個單位長度．則點O,P相遇時在數(shù)軸上的坐標為(

)A.(40) B.(35) C.(30) D.(20)2.(2023·江蘇省南通市聯(lián)考)德國數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)始人，以其名字命名的“康托爾塵?！弊鞣ㄈ缦拢旱谝淮尾僮?，將邊長為1的正方形分成9個邊長為13的小正方形后，保留靠角的4個，刪去其余5個；第二次操作，將第一次剩余的每個小正方形繼續(xù)9等分，并保留每個小正方形靠角的4個，其余正方形刪去；以此方法繼續(xù)下去…….經(jīng)過n次操作后，共刪去

個小正方形；若要使保留下來的所有小正方形面積之和不超過11000，則至少需要操作

次．(lg2=0.3010,lg3=0.4771)

3.(2023·廣東省佛山市月考)（多選）數(shù)列{an}的通項公式滿足ann=A.當k=23時，數(shù)列{an}一定有最大值

B.當k=12時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列

C.當k∈(0,1【答案解析】1.【人教A版必修二4練習5P24】解：∵an=[log28n]，

∴n=1時，a1=3；n=2時，a2=2；

n=3，4時，an=1；

n=5，6，7，8時，an=0；∴S8=7．

n=9，10，11，12，13，14，15時，an=-1．

n=16時，an=-1．

2.【人教A版必修二例4P31】解：(1)每年的維修保養(yǎng)費用是以1100為首項，400為公差的等差數(shù)列，

設(shè)第n年時累計利潤為f(n)，則fn=8100n-1100n+400nn-12-16200

=-200n2+7200n-16200

=-200n2-36n+81，

開始獲利即f(n)>0，∴-200(n2-36n+81)>0，

即n2-36n+81<0，解得例1.解：由an+1=12an-12，an+1+1=12(an+1)，

∴{an+1}是以12為首項，12為公比的等比數(shù)列，

即an+1=12n,??an=12n-1，

若對任意的正整數(shù)n，例2.解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足：(an+1-1)2an+1=(an+1)2an(n∈N*)，

變形可得：an+1+1an+1-2=an+1an+2，即an+1+1an+1=an+1an+4，

故數(shù)列{a則an+1+1an+1=52+4n>2+4n，C正確；

對于D則an+1+1an+1=例3.解：當n=1時，a1=S1=32a1-32，得a1=18．

當n≥2時，Sn-1=32an-1-3n，Sn=32an-3n+1，

兩式相減得an=32an-32an-1-2×3n，得an=3a練11.解：an=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，

前n項和為Sn=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n練12.解：(1)解：∵函數(shù)f(x)=lnx+1x，∴x>0，則f'(x)=-lnxx2x(0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值1單調(diào)遞減因此增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1,+∞)，極大值為f(1)=1，無極小值，

函數(shù)的極大值為最大值，

所以函數(shù)的最大值為1．

(2)證明：由(1)可得f(x)=lnx+1x≤f(x)max=f(1)=1，

∴l(xiāng)nxx≤1-1x，當且僅當x=1時取等號．

令x=

例4.解：設(shè)2022年6月底小王手中有現(xiàn)款為a1=(1+20%)×8000-800=8800元，

設(shè)2022年6月底為第一個月，以此類推，

設(shè)第n個月底小王手中有現(xiàn)款為an，第n+1個月月底小王手中有現(xiàn)款為an+1，

則an+1=1．2an-800，即an+1-4000=1.2(an-4000)，

所以數(shù)列{an+1-4000}例5.解：∵a30=91，

b6=64<91<b7=128，

所以S30中要去掉數(shù)列bn的項最多6項，

數(shù)列bn的前6項分別為2,4,8,16,32,64，

其中4,16,64三項是數(shù)列an和數(shù)列bn的公共項，

所以cn前30項由a練21.解：由題：c1=1200，cn+1=1．1cn-100．

所以cn+1-1000=1.1(cn-1000)．

所以cn-1000=1．練22.解：(1)由題可得X的所有可能取值為3，4，5，6，

且P(X=3)=(13)3=127，

P(X=4)=C3X

3

4

5

6

P

1272949827所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5．

(2)由題可得Pn+2=13Pn+1+23Pn，

所以Pn例6.解：依題意可得Hn=a1+2a2+…+2n-1ann=2n，

∴a1+2a2+…+2n-1an=n?2n．

a1+2a2+…+2n-1an+2nan+1=(n+1)?2n+1，

∴例7.解：(1)由題意，bn=n，得Snn=n，則Sn=n2，

當n=1時，a1=S1=1，

當n≥2，n∈N*時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，

又a1=S1=1滿足上式，練31.解：對于A選項，n=a0?20+a1?2+?+a對于B選項，取n=2，2n+3=7=1?20+1?而2=0?20+1?21，則ω對于C選項，8n+5=a所以，ω8n+54n+3=a所以，ω4n+3=2+a0+對于D選項，2n-1=20+故選ACD．練32.解：(1)因為數(shù)列2an是公比為4的等比數(shù)列，

所以2an+12an=4，所以2an+1-an=22，

所以an+1-an=2(常數(shù))，所以an為等差數(shù)列，且公差為2．

又a2，a4，a7成