2022年廣東省深圳市寶安高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年廣東省深圳市寶安高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖設(shè)全集U為整數(shù)集，集合A={x∈N|1≤x≤8}，B={0，1，2}則圖中陰影部分表示的集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）A．3B．4C．7D．8參考答案：A略2.定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，有仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=；②f（x）=；③；④f（x）=ln|x|，則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號(hào)為（

）(A)①②

(B)③④

(C)①③

(D)②④參考答案：C3.如果復(fù)數(shù)z＝，則（

）A．|z|＝2

B．z的實(shí)部為1

C．z的虛部為－1

D．z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i參考答案：Cz＝，所以，z的實(shí)部為-1，z的虛部為－1，z的共軛復(fù)數(shù)為-1＋i，因此選C。4.已知球O是棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O所得的截面面積為

A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.從4名男生和3名女生中選出3人參加學(xué)生座談會(huì)，若這3人中既有男生又有女生，則不同的選法共有(

)

A.60種

B．32種

C.31種

D．30種參考答案：D略6.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣|x|）}，則A∩（?RB）=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（﹣1，1） D．（1，2]參考答案：B【考點(diǎn)】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】求出集合A中不等式的解集，確定出集合A，求出集合B中函數(shù)的定義域，確定出集合B，找出R中不屬于B的部分，求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的公共部分即可．【解答】解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函數(shù)y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴CRB=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），則A∩（CRB）=[1，2）．故選B7.已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a+c>b+d”的

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A8.已知向量，，，那么的值為

A.

B.

C.

D.0參考答案：B9.在等差數(shù)列{an}中，若，，，則的值為（

）

A．15

B．14

C．17

D．16

參考答案：A略10.在等腰梯形中，分別是底邊的中點(diǎn)，把四邊形沿直線折起，所在的平面為，且平面，，設(shè)與所成的角分別為均不為0．若，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．直線

B．圓

C．橢圓

D．拋物線參考答案：B如圖，連接易知，由，可得，故定值，且此定值不為1，故點(diǎn)的軌跡為圓。（到兩定點(diǎn)的比為不為1定值的點(diǎn)的軌跡為圓――――阿波羅尼斯圓）二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一名工人維護(hù)甲、乙兩臺(tái)獨(dú)立的機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)，甲、乙需要維護(hù)的概率分別為0.9、0.8，則一小時(shí)內(nèi)有機(jī)床需要維護(hù)的概率為_____參考答案：0.9812.函數(shù)是冪函數(shù)，且在x∈（0，+∞）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m=

．參考答案：2【考點(diǎn)】冪函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，令冪的系數(shù)為1，列出方程求出m的值，將m的值代入f（x），判斷出f（x）的單調(diào)性，選出符和題意的m的值．【解答】解：是冪函數(shù)∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=x﹣3在x∈（0，+∞）上是減函數(shù)，滿足題意．當(dāng)m=﹣1時(shí)，f（x）=x0在x∈（0，+∞）上不是減函數(shù)，不滿足題意．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】解決冪函數(shù)有關(guān)的問題，常利用冪函數(shù)的定義：形如y=xα（α為常數(shù)）的為冪函數(shù)；冪函數(shù)的單調(diào)性與指數(shù)符號(hào)的關(guān)系．是基礎(chǔ)題．13.設(shè)，且為正實(shí)數(shù)，則的值為

.參考答案：14.設(shè)數(shù)列滿足，，則

參考答案：1315.程序框圖如圖，若輸入S=1，k=1，則輸出的S為．參考答案：26【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】輸入S，k的值，進(jìn)入循環(huán)體，求出滿足條件的S的值即可．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：輸入S=1，k=1，則k=2＜5，S=4，執(zhí)行循環(huán)體，k=3＜5，S=11，執(zhí)行循環(huán)體，k=4＜5，S=26，執(zhí)行循環(huán)體，k=5≥5，退出循環(huán)體，輸出S=26，故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答，屬于基礎(chǔ)題．16.已知關(guān)于x的函數(shù)

是關(guān)于x的一元二次方程，根的判別式為△，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①為單調(diào)函數(shù)的充要條件；

②若x1、x2分別為的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則；

③當(dāng)a>0，△=0時(shí)，在上單調(diào)遞增；

④當(dāng)c=3，b=0，時(shí)，在[—1，1]上單調(diào)遞減。其中正確結(jié)論的序號(hào)是

。（填寫你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)）參考答案：③④略17.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)F關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的方程為

．參考答案：+=1【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，設(shè)點(diǎn)F（1，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．【解答】解：設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，即a2﹣b2=1，設(shè)點(diǎn)F（1，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），可得=﹣2，且n=?，解得m=，n=，即對(duì)稱點(diǎn)為（，）．代入橢圓方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得橢圓的方程為+=1．故答案為：+=1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的焦點(diǎn)，以及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由點(diǎn)滿足橢圓方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(Ⅰ)給定數(shù)列，如果存在實(shí)常數(shù)，使得對(duì)于任意都成立，我們稱數(shù)列是“族數(shù)列”．證明：若數(shù)列的前項(xiàng)和為是，證明數(shù)列是“族數(shù)列”，并指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù).(Ⅱ)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列前項(xiàng)的和．參考答案：略19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐S-ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O為BC的中點(diǎn)（1）求證：SO⊥平面ABC;（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為？若存在，求的值，若不存在，試說明理由參考答案：（1）∵，O為BC的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，，，∴，∴，又∵，∴平面ABC．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A所在射線為x軸正半軸，以O(shè)B所在射線為y軸正半軸，以O(shè)S所在射線為z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．則有，，，，．假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，設(shè)，則，則．設(shè)平面SCE的法向量為，由，得，故可取．易得平面SBC的一個(gè)法向量為．所以，，解得或（舍）．所以，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為．20.已知橢圓C：=1（a＞b＞0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點(diǎn)，|F1F2|=2，M是橢圓上一點(diǎn)，∠F1MF2的最大值為π．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，（i）求證：為定值；（ii）求△OPQ面積的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由題意即可求得a=2，b=1，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）（i）分類討論，當(dāng)OP和OQ的斜率存在時(shí)，設(shè)OP和OQ方程，代入橢圓方程，求得P和Q點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，當(dāng)OP，OQ斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，則；（ii）分類討論，由（i）可知由求得丨OP丨及丨OQ丨，根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得△OPQ面積的最小值．當(dāng)OP，OQ斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，S△OPQ=1，即可求得△OPQ面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，2c=|F1F2|=2，c=，當(dāng)M位于上下端點(diǎn)時(shí)，∠F1MF2的最大，則，∠F1MO=，則a=2，b=1，∴橢圓方程為：…（Ⅱ）i）當(dāng)OP，OQ斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)lOP：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y得，同理得，，故，當(dāng)OP，OQ斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，得，綜上得，得證（未討論斜率這扣1分）

…ii）當(dāng)OP，OQ斜率都存在且不為0時(shí)：由上面所求可知：，，，…當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=4+k2，則k2=1，k=±1時(shí)取等號(hào)

…當(dāng)OP，OQ斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，S△OPQ=1綜上S△OPQ的最小值為（未討論斜率這扣）

…另解：由當(dāng)且僅當(dāng)|OP|=|OQ|時(shí)取等號(hào)

綜上S△OPQ的最小值為…21.（13分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的長；（Ⅱ）求證：∠ABC+∠ADC=π參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根據(jù)正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根據(jù)已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，結(jié)合范圍∠C∈（0，π）可求∠C，可得∠A+∠C=π，即可得證．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因?yàn)閏os∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根據(jù)正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在△BCD中，根據(jù)余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以∠A+∠C=π，而在四邊形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π，所以∠ABC+∠ADC=π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題．22.