蘇教版八年級上冊數(shù)學線段、角的軸對稱性-知識點整理及重點題型梳理

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN蘇教版八年級上冊數(shù)學[線段、角的軸對稱性--知識點整理及重點題型梳理]PAGE蘇教版八年級上冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習線段、角的軸對稱性—知識講解【學習目標】1．理解線段的垂直平分線的概念，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定，會畫已知線段的垂直平分線，能運用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決簡單的數(shù)學問題及實際問題．2.理解角平分線的畫法，掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì)，熟練運用角的平分線的性質(zhì)解決問題．【要點梳理】要點一、線段的軸對稱性1.線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.2.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；

3.線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點在線段的垂直平分線上．要點詮釋：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.要點二、角的軸對稱性1.角的軸對稱性（1）角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.（2）角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（3）角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.要點詮釋：

（1）用符號語言表示角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

（2）用符號語言表示角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB2.角平分線的畫法角平分線的尺規(guī)作圖（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【典型例題】類型一、線段的軸對稱性1、（2016?天門）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點，EC=4，△ABC的周長為23，則△ABD的周長為（）A．13 B．15 C．17 D．19【思路點撥】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周長為AB+BC，代入求出即可．【答案與解析】解：∵AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點，∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，∵△ABC的周長為23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=23﹣8=15，∴△ABD的周長為AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故選B．【總結(jié)升華】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應用，能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．舉一反三：【變式】（2015?黃島區(qū)校級模擬）某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC，如圖所示，現(xiàn)要在道路AB的邊緣上建一個休息點M，使它到A，C兩個點的距離相等．在圖中確定休息點M的位置．【答案】解：作線段AC的垂直平分線交AB于M點，則點M即為所求．2、如圖所示，如果將軍從馬棚M出發(fā)，先趕到河OA上的某一位置P，再馬上趕到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校場N．請為將軍重新設計一條路線(即選擇點P和Q)，使得總路程MP＋PQ＋QN最短．【思路點撥】通過軸對稱變換，將MP轉(zhuǎn)化為P，QN轉(zhuǎn)化為Q，要使總路程MP＋PQ＋QN最短，就是指P＋PQ＋Q最短，而這三條線段在一條直線上的時候最短.【答案與解析】見下圖作點M關于OA的對稱點，作點N關于OB的對稱點，連接交OA于P、交OB于Q，則M→P→Q→N為最短路線．【總結(jié)升華】本題主要是通過作對稱點的方法得出結(jié)論，并利用了對稱線段相等，三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)推得所作的圖形符合條件，這是道綜合性的應用問題.舉一反三：【變式】如圖所示，將軍希望從馬棚M出發(fā)，先趕到河OA上的某一位置P，再馬上趕到河OB上的某一位置Q．請為將軍設計一條路線(即選擇點P和Q)，使得總路程MP＋PQ最短．【答案】作點M關于OA的對稱點，過作OB的垂線交OA于P、交OB于Q，側(cè)M→P→Q為最短路線．如圖：類型二、角的軸對稱性3、如圖,△ABC中,∠C＝90?,AC＝BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6,則△DEB的周長為()A.4 B.6 C.10 D.以上都不對【答案】B；【解析】由角平分線的性質(zhì)，DC＝DE，△DEB的周長＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝6.【總結(jié)升華】將△DEB的周長用相等的線段代換是關鍵.舉一反三：【變式】已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，且，則△ABD與△ACD的面積之比為（）A．3：2B．C．2：3D.【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分線，∴點D到AB的距離等于點D到AC的距離，又∵，則△ABD與△ACD的面積之比為．4、如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點，PD⊥OA交于點D，PE⊥OB交于點E，F(xiàn)是OC上除點P、O外一點，連接DF、EF，則DF與EF的關系如何？證明你的結(jié)論．

【思路點撥】利用角平分線的性質(zhì)證明PD＝PE，再根據(jù)“HL”定理證明△OPD≌△OPE，從而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再證明△DPF≌△EPF，得到結(jié)論.【答案與解析】解：DF＝EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點，PD⊥OA交于點D，PE⊥OB交于點E，∴PD＝PE，由HL定理易證△OPD≌△OPE，∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF．在△DPF與△EPF中，，∴△DPF≌△EPF，∴DF＝EF.【總結(jié)升華】此題綜合運用了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)．由角平分線的性質(zhì)得到線段相等，是證明三角形全等的關鍵.5、（2015春?啟東市校級月考）如圖，已知BD為∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求證：PM=PN．【思路點撥】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可．【答案與解析】證明：∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【總結(jié)升華】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥A