專題4函數(shù)的單調(diào)性極值與最值（學(xué)生版）

專題4函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的利器，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，一直是高考的重點和難點，也為解決函數(shù)零點問題、函數(shù)與不等式的證明等打好基礎(chǔ).不管是求單調(diào)區(qū)間還是求極值，首先需要確定函數(shù)的定義域；對于極值和最值，需要注意區(qū)分；在利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)性及其最值問題時，要注意對參數(shù)范圍進行討論。本專題提煉了解決函數(shù)單調(diào)性問題的通性通法，指明了問題解決的方向方法；精選了部分最新優(yōu)質(zhì)的模考試題和聯(lián)考試題，這些題目有助于提升分類討論思想、函數(shù)方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng)?！戏室恢懈呒壗處熽愩y科探究1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性【典例剖析】例1.(2021·福建省福州市期中)已知函數(shù)f(x)=12(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)g(x)=f(x)+ax+49x3在選題意圖:選題意圖:高考對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查緊扣高中數(shù)學(xué)的知識點，且試題難度都較大，例1僅考查不含參的情況下求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與已知單調(diào)性求參，難度不高，想借助該題讓學(xué)生回歸基礎(chǔ)，梳理利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟，掌握已知函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)化方向.思維引導(dǎo)：第一問按照求定義域、求導(dǎo)、解導(dǎo)數(shù)不等式的順序求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第二問，已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求參.【變式訓(xùn)練】練11(2021·廣東省汕頭市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ax2-4ax-lnx，則f(x)在(1,4)上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是(

)A.a>-12 B.0<a<116

C.a>1練12(2022·湖南省長沙市一模)已知f(x)=alnx+12x2，若對任意兩個不等的正實數(shù)xf(x1)-f(x2)x1-x2>2恒成立，則a練13(2021·江蘇省無錫市月考)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-x+b．

(1)若曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處的切線為y=x+2，求a，b的值；

(2)若a∈R【規(guī)律方法】1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟=1\*GB2⑴確定函數(shù)f(x)的定義域；=2\*GB2⑵求f'(x)；=3\*GB2⑶解不等式f'(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；=4\*GB2⑷解不等式f'(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．2.含參函數(shù)的單調(diào)性討論=1\*GB2⑴確定函數(shù)f(x)的定義域；=2\*GB2⑵求f'(x)；=3\*GB2⑶確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為gx:對f'(x)進行化簡變形后，去除符號已經(jīng)確定的部分，留下的部分則為f'(x)的有效部分（如：f'x=exx=4\*GB2⑷確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：=1\*GB3①導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型：fx=lnx-ax，則f'x的有效部分為gx=1-ax，因x>0則“臨界狀態(tài)”即為0，=2\*GB3②導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且可因式分解型：fx=lnx+axgx=2ax-1x-1，討論=3\*GB3③導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型：fx=-2lnx-2ax+2xgx=x2=4\*GB3④二次求導(dǎo)，研究gx單調(diào)性及零點從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性.3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f'(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f'(x)探究2：函數(shù)的極值、最值問題【典例剖析】例2.(2022·重慶市市轄區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=alnx+1x(a>0)．

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為2選題意圖選題意圖：函數(shù)的極值、最值時函數(shù)內(nèi)容中的重要知識點，通常在導(dǎo)數(shù)壓軸題中出現(xiàn)，試題難度大.在解決較難的極值、最值問題之前，要通過基礎(chǔ)試題，強化解題思路，再逐步探究解題思路更加抽象的試題.思維引導(dǎo)：第一問求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)是否存在極值點，并求出相應(yīng)極值；第二問函數(shù)的極值點含有參數(shù)，討論極值點與區(qū)間的位置關(guān)系，從而判斷出函數(shù)在區(qū)間1,e上的單調(diào)性，求出最小值.【變式訓(xùn)練】練21(2021·浙江省寧波市期中)已知函數(shù)f(x)=x2+aln(2x+1)有兩個不同的極值點x1、x2，且x練22(2022·山東省濰坊市模擬)若b≥ln?2x-ax對x∈(0,+∞)恒成立，則b+1a的最小值為(

)A.-12e B.-1練23(2022·廣東省聯(lián)考·多選)已知函數(shù)f(x)=x2-3eA.函數(shù)fx的單調(diào)減區(qū)間是-1,3 B.函數(shù)fx有極小值，但無最小值

C.函數(shù)fx有極大值，但無最大值 D.函數(shù)y=f【規(guī)律方法】1.函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略=1\*GB2⑴利用圖象判斷函數(shù)極值：先找導(dǎo)數(shù)為0的點，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號．=2\*GB2⑵已知函數(shù)求極值：求導(dǎo)f'(x)，判斷函數(shù)單調(diào)性，判斷極值點，進而求出極值.=3\*GB2⑶已知極值點個數(shù)求參數(shù)：已知函數(shù)極值點個數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)零點個數(shù)求參.2.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]=1\*GB2