高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第10講 2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（學(xué)生版）

第03講2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系。②掌握一元二次方程的求解方法,掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程根的分布情況。③掌握?qǐng)D象法解一元二次不等式，會(huì)解簡單的能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的分式不等式。通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)與學(xué)習(xí)，會(huì)解一元二次方程、一元二次方程根的情況的處理、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；會(huì)解一元二次不等式、含有參數(shù)的一元二次不等式、與一元二次不等式有關(guān)的存在與恒成立問題的處理；會(huì)解能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的分式不等式；理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系，能處理與三者之間有關(guān)的問題。知識(shí)點(diǎn)一：一元二次不等式的有關(guān)概念1、一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：①（其中均為常數(shù)）②（其中均為常數(shù)）③（其中均為常數(shù)）④（其中均為常數(shù)）2、一元二次不等式的解與解集使某一個(gè)一元二次不等式成立的的值，叫作這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集.將一個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.知識(shí)點(diǎn)二：四個(gè)二次的關(guān)系2.1一元二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．2.2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根()的解集()的解集知識(shí)點(diǎn)三：一元二次不等式的解法1：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；2：寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用十字相乘法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無解3：根據(jù)不等式，寫出解集.知識(shí)點(diǎn)四：解分式不等式4.11、分式不等式4.1.1定義：與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。4.1.2分式不等式的解法①移項(xiàng)化零：將分式不等式右邊化為0：②③④⑤題型01一元二次不等式（不含參）的求解【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A．B．C．D．【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．或 C． D．或【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【變式1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_學(xué)考試）解不等式：(1)；(2).題型02一元二次不等式（含參）的求解（二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)）【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B．或 C．或 D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式.【典例3】（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學(xué)?？计谀┮阎?1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)解關(guān)于的不等式．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解不等式.【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于的不等式．題型03一元二次不等式（含參）的求解（二次項(xiàng)系數(shù)含參）【典例1】（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．或 B．{x|x>a}C．或 D．【典例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.【典例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式（）．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，關(guān)于x的不等式的解集為（

）A．或 B． C．或 D．【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：().題型04一元二次不等式與對(duì)應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系【典例1】（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式的解集是，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式的解集為，解不等式的解集為__________【變式1】（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，則ab＝_________________.題型05分式不等式的解法【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為________.【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知全集，集合，，則______，______.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．題型06一元二次方程的實(shí)根分布問題【典例1】（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一元二次方程（不等于0）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知(1)求證是關(guān)于的方程有解的一個(gè)充分條件；(2)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件．【典例3】（2023秋·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）若一元二次方程的兩不等實(shí)根都是負(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【變式1】（2023春·湖南長沙·高二長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┓匠痰膬筛即笥冢瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．題型07一元二次不等式的實(shí)際問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入．則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)（單位：元）的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（），則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為，已知年利潤=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式；（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）黔東南某地有一座水庫，設(shè)計(jì)最大容量為128000m3．根據(jù)預(yù)測，汛期時(shí)水庫的進(jìn)水量（單位：m3）與天數(shù)的關(guān)系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時(shí)系統(tǒng)就會(huì)自動(dòng)報(bào)警提醒，水庫水量超過最大容量時(shí)，堤壩就會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)自動(dòng)報(bào)警．(1)求的值；(2)當(dāng)汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計(jì)汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)嗎？請(qǐng)說明理由．題型08重點(diǎn)方法之一元二次不等式的恒成立與有解問題方法一：判別法【典例1】（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則的取值范圍是________.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．題型09重點(diǎn)方法之一元二次不等式的恒成立與有解問題方法二：變量分離法【典例1】（2023秋·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)校考期末）任意，使得不等式恒成立.則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知命題：“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________________.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)一切恒成立，則的最小值為________．題型10數(shù)學(xué)思想方法（分類討論）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式.【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．題型11易錯(cuò)題篇（忽略了首項(xiàng)系數(shù)化正）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若集合，，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知，，則（

）A． B． C． D．【典例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式．2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．或2．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）不等式的解集為（

）A． B．C． D．或，3．（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）若不等式的解集為或，則（）A．， B．，C．， D．，4．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2023·遼寧·朝陽市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，若有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍時(shí)（

）A．或 B．或C． D．二、多選題7．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校瓣P(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）恒成立，a的值可以為（

）A． B． C． D．4三、填空題9．（2023春·山東濱州·高二校考階段練習(xí)）若不等式的解集是，則的值等于_______．10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為__________.四、解答題11．（2023春·吉林長春·高二長春市第十七中學(xué)校考階段練習(xí)）解不等式(1)(2)12．（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀┮阎慕饧癁椋?1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A． B．C． D．2．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）若“”是“”的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或3．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為或，則下列說法中正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為或4．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）不等式的解集是__________．5．（2023春·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，若恒成立，則的取值范圍是______.C綜合素養(yǎng)1．（