專題7.1銳角的三角函數(shù)（舉一反三）（蘇科版）（原卷版）

專題7.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】 1【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】 2【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】 4【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】 5【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 6【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】 7【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】 8【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】 8【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】 9【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】 10【知識(shí)點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】在中，，則的三角函數(shù)為定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)【知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】【例1】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)金石實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=3A．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【變式1-1】（2022·上海·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【變式1-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【變式1-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）圖①、圖②是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中各畫一個(gè)圖形，滿足以下要求：(1)在圖①中以AB和BC為邊畫四邊形ABCE，點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上，且此四邊形有兩組對(duì)邊相等．(2)在圖②中以AB為邊畫△ABD，使tan∠ADB=【題型2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】【例2】（2022·山東·肥城市湖屯鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點(diǎn)E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，那么sin∠EFC的值為()．A．13 B．45 C．23【變式2-1】（2022·河南南陽·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，則tanA．12 B．2 C．52 【變式2-2】（2022·廣東·惠州一中二模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【變式2-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=5，AD=3，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上．若AE=2，CF=1，則sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】【例3】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為（

）A．3 B．2 C．22 D．3【變式3-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AB=3，BC=1，點(diǎn)D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【變式3-2】（2022·浙江·寧波市興寧中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿著CE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，CD與AB交于點(diǎn)F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，則tan∠CEF＝___．【變式3-3】（2022·江蘇·陽山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，則ACBC的值為【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】【例4】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若CD=2，則AB的長(zhǎng)為（

）A．3 B．22+2 C．4 【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長(zhǎng)為（）A．32 B．332 C．【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC．點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，AD⊥CD，且∠ADB【變式4-3】（2022·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△ABD，點(diǎn)E在邊AB上，CE∥BD，連接(1)求證：四邊形BCED是菱形．(2)已知點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，過點(diǎn)F作GF⊥BC交AB于點(diǎn)G，BG=5，cos∠ABC=0.6，請(qǐng)直接寫出BE【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)九年級(jí)期末）已知△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，則下列四個(gè)說法中，一定正確的有（

）①連接AD，若D為BC中點(diǎn)，且AD平分∠BAC，則AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，則∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，則∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，則△ABC的重心在AD上．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-1】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）在△ABC中，若，sinB?12【變式5-2】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）若菱形的周長(zhǎng)為82，高為2，則菱形兩鄰角的度數(shù)比為（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【變式5-3】（2022·山東日照·三模）如圖，直線AB=?33x+3與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段OA上，連接OP，且滿足∠BOP=∠OQP，則當(dāng)【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】【例6】（2022·廣東·東莞市東華初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）由4個(gè)形狀相同，大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∠O=60°，則tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．33【變式6-1】（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)3tan(2)cos2【變式6-2】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，則sin∠ABC【變式6-3】（2022·河南·油田十中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正切值是______．

【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】【例7】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中（其中α，β均為銳角），正確的是___________．（填序號(hào)）①sin2α+cos2α=1；②cos2α=2cos【變式7-1】（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市外國(guó)語學(xué)校一模）已知sinα?cosα=18【變式7-2】（2022·福建莆田·一模）求證：若α為銳角，則sin2α+cos2α＝1．要求：①如圖，銳角α和線段m用尺規(guī)作出一個(gè)以線段m為直角邊，α為內(nèi)角的Rt△ABC保留作圖痕跡，不寫作法）②根據(jù)①中所畫圖形證明該命題．【變式7-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知sinα，cosα為方程x2【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】【例8】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，則sinB等于(

A．25 B．35 C．45【變式8-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）若α為銳角，且cosα＝1213A．513 B．1213 C．512【變式8-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知α，β都是銳角，且α+β=90°，sinα+cosβ=【變式8-3】（2022·福建·龍海二中九年級(jí)階段練習(xí)）李華在作業(yè)中得到如下結(jié)果：tantantantantan根據(jù)以上，李華猜想：對(duì)于任意銳角α，均有tan（1）當(dāng)α=30°時(shí)，驗(yàn)證tanα?（2）李華的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例．（3）小明發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)解析式中的k值（一次項(xiàng)系數(shù)的值）其實(shí)就是該一次函數(shù)圖像與x軸所形成的夾角的正切值，已知平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】【例9】（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）三角函數(shù)sin40°、cos16°、A．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>【變式9-1】（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC是銳角三角形，若AB>AC，則（）A．sinA<sinB B．sinB<sinC【變式9-2】（2022·四川·西昌市俊波學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知32<cosA．30°<A<B B．60°<A<B C．B<A<60° D．B<A<30°【變式9-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，梯子地面的夾角為∠A，關(guān)于∠A的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間的關(guān)系，下列敘述正確的是（

）A．sinAB．cosAC．梯子的長(zhǎng)度決定傾斜程度D．梯子傾斜程度與∠A的函數(shù)值無關(guān)【題型10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】【例10】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)一模）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D為AB邊上一點(diǎn)，tan∠ACD＝15，點(diǎn)P由C點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PD，將PD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DQ，連接PQ(1)填空：BC＝，BD＝；(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒，DQ最短；(3)如圖2，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線AB下方時(shí)，連接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，若∠BPQ＝15°，請(qǐng)直接寫出BP的長(zhǎng)．【變式10-1】（2022·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)是(0,?1)，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5…所在直線與x軸交于點(diǎn)B0(?2,0)，點(diǎn)B1，B2，B3，B4…都在【變式10-2】（2022·廣東深圳·九年級(jí)期末）如圖1，分別以ΔABC的AB、AC為斜邊間外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，連接DG、BF．（1）求證：ΔADG∽ΔABF；（2）如圖2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求（3）如圖3，以ΔABC的BC邊為斜邊問外作等腰直角三角形BCE，連接EG，試探究線段DG、EG的關(guān)系，并加以證明．【變式10-3】（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校一模）（1）【問題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，AE⊥MN，垂足為E，BF⊥MN，垂足為F，則AE與CF