浙江省麗水地區(qū)四校 2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

浙江省麗水地區(qū)四校2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.2．已知點(diǎn)到直線：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.3．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A. B.C. D.4．以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是（）A. B.C.或 D.或5．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.6．已知圓，為圓外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點(diǎn)．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.7．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個(gè)是真命題 D.命題，只有一個(gè)是真命題8．在等差數(shù)列中，已知，則（）A.4 B.8C.3 D.69．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線上，直線FA與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.411．《米老鼠和唐老鴨》這部動(dòng)畫給我們的童年帶來(lái)了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個(gè)圓構(gòu)成米奇的簡(jiǎn)筆畫形象.已知3個(gè)圓方程分別為：圓圓，圓若過原點(diǎn)的直線與圓、均相切，則截圓所得的弦長(zhǎng)為（）A B.C. D.12．從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則p的值為______14．已知數(shù)列滿足下列條件：①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；③數(shù)列的公比滿足.請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.15．已知，，且，則的值是_________.16．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的短軸長(zhǎng)和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)的距離.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足_______請(qǐng)?jiān)冖?；②，；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成上述問題．注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且成等比數(shù)列.（1）求和；（2）設(shè)，記，求.21．（12分）中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（ChineseBasketballAssociation），簡(jiǎn)稱中職籃（CBA），由中國(guó)國(guó)家體育總局籃球運(yùn)動(dòng)管理中心舉辦的男子職業(yè)籃球賽事，旨在全面提高中國(guó)籃球運(yùn)動(dòng)水平，其中誕生了姚明、王治郅、易建聯(lián)、朱芳雨等球星．該比賽分為常規(guī)賽和季后賽．由于新冠疫情關(guān)系，某年聯(lián)賽采用賽會(huì)制：所有球隊(duì)集中在同一個(gè)地方比賽，分兩個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段采用循環(huán)賽，分主場(chǎng)比賽和客場(chǎng)比賽，積分排名前8球隊(duì)進(jìn)入季后賽．下表是A隊(duì)在常規(guī)賽60場(chǎng)比賽中的比賽結(jié)果記錄表．階段比賽場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)場(chǎng)數(shù)獲勝場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)獲勝場(chǎng)數(shù)第一階段30152010第二階段30152515（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表：A隊(duì)勝A隊(duì)負(fù)合計(jì)主場(chǎng)5客場(chǎng)20合計(jì)60（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認(rèn)為比賽的“主客場(chǎng)”與“勝負(fù)”之間有關(guān)？附：．0.1000.0500.025k2.7063.8415.02422．（10分）在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在后面問題中的橫線上，并完成解答.條件①：展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37；條件②：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；問題：在二項(xiàng)式的展開式中，已知__________.（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）設(shè)，求的值；（3）求的展開式中的系數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?、且，則，即，A錯(cuò)B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上不單調(diào)，無(wú)法確定與的大小關(guān)系，故CD都錯(cuò).故選：B.2、D【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.3、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達(dá)式，再計(jì)算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線的離心率為，則有，所以.故選：D4、C【解析】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意設(shè)拋物線方程為因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以，所以拋物線方程或故選：C5、C【解析】先研究四個(gè)選項(xiàng)中圖象的特征，再對(duì)照小明上學(xué)路上的運(yùn)動(dòng)特征，兩者對(duì)應(yīng)即可選出正確選項(xiàng).【詳解】考查四個(gè)選項(xiàng)，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示的是離開學(xué)校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，故此時(shí)有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時(shí)間加快速度行駛，此一段時(shí)間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的度量與小明上學(xué)的運(yùn)動(dòng)特征，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點(diǎn)的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因?yàn)榍?，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點(diǎn)的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.7、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個(gè)為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個(gè)為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個(gè)為真命題，為假命題,說明二者至少有一個(gè)為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個(gè)是真命題，故選：D8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出正確答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，得.故選:B9、A【解析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個(gè)零點(diǎn)令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當(dāng)，在上單調(diào)遞減，可得，即要有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解10、D【解析】設(shè)，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，因?yàn)椋?，解得?因?yàn)樵趻佄锞€上，則.所以，即，解得：.故選：D11、A【解析】設(shè)直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線.由直線與圓、圓均相切，得解得(1).設(shè)點(diǎn)到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長(zhǎng)結(jié)合(1)(2)兩式，解得12、B【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】從中任取個(gè)不同的數(shù)的方法有，共種，其中和為偶數(shù)的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程概念求解【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)為，所以焦點(diǎn)在y軸上，所以故答案：314、（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意判斷數(shù)列特征，寫出一個(gè)符合題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列公比滿足，所以等比數(shù)列公比，且各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，符合題意的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：（答案不唯一）15、【解析】根據(jù)空間向量可得，結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，所以，解得.故答案：316、2【解析】設(shè)出，根據(jù)條件推出在圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意要使雙曲線和圓有交點(diǎn)，則得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得：，所以，化簡(jiǎn)得：，即滿足條件的點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，又點(diǎn)存在于上，故雙曲線與圓有交點(diǎn)，則,即實(shí)數(shù)a的最大值為2，故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】(1)根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問題；(2)以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，求法向量的夾角，根據(jù)二面角的余弦值與法向量的夾角的余弦的關(guān)系確定二面角的余弦值.【小問1詳解】由題意，，等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又，平面平面.【小問2詳解】由題意直線平面，四邊形為正方形，故以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)面的法向量為，同理可得面的法向量，∴二面角的余弦值為18、（1），短軸長(zhǎng)為，焦距為；（2）.【解析】（1）由長(zhǎng)軸得，再由離心率求得，從而可得后可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)后可得距離【詳解】（1）由已知：，，故，，則橢圓的方程為：，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦距為.（2）聯(lián)立，解得，，所以，，故19、（1）條件選擇見解析，；（2）.【解析】（1）選①，可得出，由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；選②，分析可知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，根據(jù)已知條件求出的值，利用等差數(shù)列的求和公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；選③，在等式中令可求得的值，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問1詳解】解：選①，因?yàn)椋瑒t，則，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，對(duì)任意的，；選②，因?yàn)椋瑒t數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，，解得，則；選③，對(duì)任意的，，則，可得，因此，.【小問2詳解】解：因?yàn)椋虼耍?20、（1）（2）【解析】（1）由題意解得等差數(shù)列的公差，代入公式即可求得和；（2）把n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，分別去數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由題有，即，解之得或0，又，所以，所以.【小問2詳解】，當(dāng)為正奇數(shù)，，當(dāng)為正偶數(shù)，，所以21、（1）填表見解析（2）沒有【解析】（1）由A隊(duì)在常規(guī)賽60場(chǎng)比賽中的比賽結(jié)果記錄表可得答案；（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，代入可得答案.【小問1詳解】（1）根據(jù)表格信息得到列聯(lián)表：A