高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第01講 1.1集合的概念（學(xué)生版）

第01講1.1集合的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.元素與集合①理解元素與集合的概念，熟練常用數(shù)集的概念及其記法.②了解“屬于”關(guān)系的意義.③了解有限集、無(wú)限集、空集的意義.2.集合的表示方法掌握集合的常用表示方法(列舉法、描述法及相互轉(zhuǎn)化).3.元素的性質(zhì)理解集合元素的三個(gè)性質(zhì)：確定性、無(wú)序性、互異性.1.通過集合語(yǔ)言的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.2.通過實(shí)例能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)來(lái)描述不同的具體問題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用.知識(shí)點(diǎn)01：集合的含義一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫拉丁字母,,,…表示.把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集),通常用大寫拉丁字母,,,…表示集合.

知識(shí)拓展集合的三個(gè)特性：①描述性：集合是一個(gè)原始的不加定義的概念，像點(diǎn)、直線一樣，只能描述性地說(shuō)明.②廣泛性：凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對(duì)象.③整體性：集合是一個(gè)整體，已暗示“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦組成了集合，那么這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體，而非個(gè)別對(duì)象.【即學(xué)即練1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象的全體能構(gòu)成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級(jí)學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【詳解】（1）（3）（4）（5）中的對(duì)象是確定的，可以組成集合，（2）中的對(duì)象是不確定的，不能組成集合.故選：C.知識(shí)點(diǎn)02：元素與集合1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果是集合的元素，就說(shuō)屬于，記作.(2)不屬于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就說(shuō)不屬于，記作.特別說(shuō)明：表示一個(gè)元素，表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：.2集合元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.（2）互異性（考試?？继攸c(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性）：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.（3）無(wú)序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說(shuō)，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的無(wú)序性.【即學(xué)即練2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個(gè)元素2020，都是數(shù)集．選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程．故選：C知識(shí)點(diǎn)03：集合的表示方法與分類1常用數(shù)集及其符號(hào)常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)學(xué)符合或2集合的表示方法（1）自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z(yǔ)言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時(shí)注意：①元素與元素之間必須用“，”隔開．②集合中的元素必須是明確的．③集合中的元素不能重復(fù)．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定義：一般地，設(shè)表示一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．（4）（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。3集合的分類根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)可以將集合分為有限集和無(wú)限集.（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合是有限集，如方程的實(shí)數(shù)解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，故為有限集.有限集通常推薦用列舉法或描述法表示，也可將元素寫在圖中來(lái)表示.（2）無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合是無(wú)限集，如不等式的解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為無(wú)限個(gè)，故為無(wú)限集.通常用描述法表示?！炯磳W(xué)即練3】（2023高一課時(shí)練習(xí)）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正確的個(gè)數(shù)為______.【答案】3【詳解】是無(wú)理數(shù)，屬于實(shí)數(shù)，①正確；是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，②正確；0表示一個(gè)元素，表示一個(gè)集合，③錯(cuò)誤；N表示從0開始的所有自然數(shù)集合，，④錯(cuò)誤；是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，屬于無(wú)理數(shù)，⑤錯(cuò)誤；Z表示所有整數(shù)的集合，-3是整數(shù)，，⑥正確；故答案為：3.知識(shí)點(diǎn)04：集合相等只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.記作：,例如：，【即學(xué)即練4】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）集合，且，則實(shí)數(shù)m=________.【答案】1或/或1【詳解】因?yàn)椋?，所以，由，得，解得或故答案為?或題型01判斷元素能否構(gòu)成集合【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列各對(duì)象可以組成集合的是（

）A．與非常接近的全體實(shí)數(shù)B．北大附中云南實(shí)驗(yàn)學(xué)校學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)D．高一年級(jí)很有才華的老師【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生 B．年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于的正整數(shù)【變式1】（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高一惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谥校┫铝兴慕M對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)C．很小的實(shí)數(shù)D．倒數(shù)等于本身的數(shù)題型02判斷是否為同一集合【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列命題是否正確．（1）集合與集合表示同一集合；()（2）集合與集合表示同一集合；()（3）集合與集合不表示同一集合；()（4）集合與集合表示同一集合．()【典例2】（2022秋·天津?yàn)I海新·高一?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．由1，2，3組成的集合可表示為或B．與是同一個(gè)集合C．集合與集合是同一個(gè)集合D．集合與集合是同一個(gè)集合【變式1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)是有理數(shù)，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)題型03判斷元素與集合的關(guān)系【典例1】（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎舷铝嘘P(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2023·廣西百色·高一校考階段練習(xí)）已知集合，則下列關(guān)系式成立的是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若不等式3-2x<0的解集為M,則下列結(jié)論正確的是

()A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈MC．0∈M,2?M D．0?M,2?M題型04根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若集合，且，則實(shí)數(shù)___________.【變式1】（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知，則a的值為______．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）集合中所有元素之和為，則實(shí)數(shù)________．題型05根據(jù)集合元素互異性求參數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合中的元素1，4，，且實(shí)數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的值.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若，則實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）已知集合，則實(shí)數(shù)______．題型06自然語(yǔ)言法【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用自然語(yǔ)言描述下列集合：(1)；(2)；(3).題型07列舉法【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_學(xué)考試）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·河南鶴壁·高一河南省?？h第一中學(xué)校考階段練習(xí)）方程組的解集是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·四川·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，則用列舉法表示集合為______.【變式1】（2023·山西運(yùn)城·高一?？茧A段練習(xí)）集合，用列舉法表示為（

）A．1 B．2 C． D．【變式2】（2023·北京海淀·高一北京市十一學(xué)校?？计谥校┮阎?，，用列舉法表示集合_____________．題型08描述法【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整數(shù)的集合．（2）坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的集合．（3）大于4的所有偶數(shù)．【典例2】（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?可用集合表示為（

）A．B．或C．D．【變式1】（2023·陜西安康·高一陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）表示下列集合：(1)請(qǐng)用列舉法表示方程的解集；(2)請(qǐng)用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)請(qǐng)用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；(4)請(qǐng)用描述法表示二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．題型09兩個(gè)集合相等問題【典例1】（2023·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【典例2】（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)，，，若，則______．【變式1】（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．題型10根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0 C．或0 D．無(wú)解【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合.（1）若中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合.（1）若中只有一個(gè)元素，求及；（2）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.題型11常見數(shù)集或數(shù)集關(guān)系的應(yīng)用【典例1】（2023·海南·高一海南中學(xué)?？计谥校┫铝斜硎菊_的是（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2022秋·廣東佛山·高一?？计谥校┫铝嘘P(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·陜西榆林·高一?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①②③④⑤A．5 B．4 C．3 D．2題型12新定義題【典例1】（多選）（2023春·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若對(duì)任意，，則稱為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·四川成都·高一成都實(shí)外?？计谀┒x若則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）定義滿足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A為“閉集”．試問數(shù)集N，Z，Q，R是否分別為“閉集”？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．本節(jié)重點(diǎn)方法分類討論法【典例1】（多選）（2023秋·山東東營(yíng)·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程的解集中只含有一個(gè)元素，則的值可能是（

）A． B． C． D．【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，其中.（1）1是中的一個(gè)元素，用列舉法表示；（2）若中至多有一個(gè)元素，試求的取值范圍.【變式1】（2023·陜西咸陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）已知集合.(1)若是空集，求的取值范圍；(2)若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.1.1集合的概念A(yù)夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)有下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）集合中的元素個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．4 C．5 D．63．（2023秋·山東濟(jì)南·高一濟(jì)南市歷城第二中學(xué)?？计谀┓匠蘹2＝x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則a=（

）A．2 B．1或－1 C．1 D．－15．（2023春·河北承德·高三河北省灤平縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合M=且，則M等于（

）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4}6．（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）由實(shí)數(shù)，，，，所組成的集合，最多含元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2023秋·四川達(dá)州·高一?？茧A段練習(xí)）若集合中只有一個(gè)元素，則A． B． C．0 D．0或8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時(shí)，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}二、多選題9．（2023秋·河南周口·高一周口恒大中學(xué)校考期末）下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．與表示同一個(gè)集合B．集合＝與＝表示同一個(gè)集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合不能用列舉法表示10．（2022秋·甘肅慶陽(yáng)·高一?？计谥校┮阎?，則有（）A． B．C． D．三、填空題11．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知集合，則的值為_________．12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為_________．四、解答題13.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用適當(dāng)方法表示下列集合：（1）從1，2，3這三個(gè)數(shù)字中抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的自然數(shù)的集合；（2）方程+|y﹣2|＝0的解集；（3）由二次函數(shù)y＝3x2+1圖象上所有點(diǎn)組成的集合.14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合為小于6的正整數(shù)}，為小于10的素?cái)?shù)}，集合為24和36的正公因數(shù)}．（1）試用列舉法表示集合且；（2）試用列舉法表示集合且．B能力提升1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，則C集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B