高一數(shù)學(xué)必修四 2.5平面向量應(yīng)用舉例課件

2.5.1平面幾何中的向量方法高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊的平方和的兩倍.幾何問(wèn)題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化利用向量解決平面幾何問(wèn)題舉例高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：簡(jiǎn)述：幾何問(wèn)題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例例2如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、

DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT利用向量

解決平面

幾何問(wèn)題

舉例簡(jiǎn)述：幾何問(wèn)題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例

例2．如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于點(diǎn)R、T兩點(diǎn).你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？解：由圖可猜想：AR=RT=TC.證明如下：則由得

又而∴由向量基本定理得高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例同理可證：于是故猜想：AR=RT=TC成立.高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例探究（一）：向量在力學(xué)中的應(yīng)用思考1：如圖，用兩條成120°角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)重量是10N的燈具，根據(jù)力的平衡理論，每根繩子的拉力與燈具的重力具有什么關(guān)系？每根繩子的拉力是多少？120°OCBA10N|F1|=|F2|=10NF1+F2+G=0高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例思考2：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，或在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，兩只手臂的夾角大小與所耗力氣的大小有什么關(guān)系？夾角越大越費(fèi)力.高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例思考3：假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等，夾角為θ，那么|F1|、|G|、θ之間的關(guān)系如何？FF1F2Gθ

上述關(guān)系表明，若重力G一定，則拉力的大小是關(guān)于夾角θ的函數(shù).并且拉力大小和夾角大小成正比例關(guān)系.θ∈[0°，180°)高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例探究（二）：向量在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用思考1：如圖，一條河的兩岸平行，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船在靜水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向?qū)Π恶側(cè)ィ敲创膶?shí)際速度v的大小是多少？A高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例思考2：如果船沿與上游河岸成60°方向行駛，那么船的實(shí)際速度v的大小是多少？v1v2v60°高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例思考3：船應(yīng)沿什么方向行駛，才能使航程最短？v1v2vABC與上游河岸的夾角為78.73°.思考4：如果河的寬度d＝500m，那么船行駛到對(duì)岸至少要幾分鐘？高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例“向量法解決幾何問(wèn)題”的兩個(gè)角度：

非坐標(biāo)角度和坐標(biāo)角度例3.如圖，正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PECF是矩形，用向量證明：（1）PA=EF（2）PA⊥EFABCDPEF高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三條中線；求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)．2、已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則重心G的坐標(biāo)為_(kāi)___________________．3、用向量法證明：三角形三條高線交于一點(diǎn)．高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三條中線；求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)．證明：如圖AD、BE相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DE．ABCDEGF易知△GDE∽△GAB，DE＝AB．12所以，BG＝BE．23CG＝CB+BG＝CB+

BE23＝CB+

(

CA-CB)2312＝(CB+CA)13高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三條中線；求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)．因此C、G、F三點(diǎn)在同一直線上．所以，AD、BE、CF交于一點(diǎn)．所以CG＝CF，23＝(CB＋CA)13即CG又因?yàn)镃F＝(CB＋CA)．12ABCDEGF高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例

2、已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則重心G的坐標(biāo)為_(kāi)___________________．(，)x1+x2+x33y1+y2+y33OG＝OA＋

AG＝OA＋AD23＝OA＋(AB＋AC)13＝OA＋(OB－OA＋OC－OA)13＝OA＋OB＋OC3解：設(shè)原點(diǎn)為O，則高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例3、用向量法證明：三角形三條高線交于一點(diǎn)．ABCDEHF證明：設(shè)H是高線BE、CF的交點(diǎn)，且設(shè)AB＝a，AC＝b，AH＝h，則有BH＝h－a，CH＝h－b，BC＝b－a．所以(h－a)·b＝(h－b)·a

＝0．化簡(jiǎn)得h·(a－b)＝0AH⊥BC．因?yàn)锽H⊥AC，CH⊥AB．所以，三角形三條高線交于一點(diǎn)．高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例三角形四心的向量表示外重高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例三角形四心的向量表示內(nèi)垂高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例例1、已知O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點(diǎn)撥：由得出由平行四邊形法則和共線定理可得AP一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心。C高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例變式1、已知P是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O滿足則O點(diǎn)一定是△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點(diǎn)撥：由得出故O是△ABC的重心。C高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例變式2、已知O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例點(diǎn)撥：在△ABC中，由正弦定理有令則由平行四邊形法則和共線定理可得AP一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心。C高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例例2、已知O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例點(diǎn)撥：取BC的中點(diǎn)D，則由已知條件可得又因?yàn)樗运訢P是BC的垂直平分線，所以P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的外心。A高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例外心的向量表示結(jié)論2：△ABC所在平面一定點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P滿足

P點(diǎn)軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的外心結(jié)論1：O是三角形的外心或高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例例3、已知O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例點(diǎn)撥：由已知等式可知在等式的兩邊同時(shí)乘以即故點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的垂心。D高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例變式3、已知O是平面上一點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O滿足則O點(diǎn)一定是△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點(diǎn)撥：同理可得D高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例垂心的向量表示結(jié)論1：O是△ABC的垂心的充要條件是結(jié)論2、動(dòng)點(diǎn)P滿足P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的垂心高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例例4、已知O是平面上一點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),(a,,b,c是△ABC的A,B,C所對(duì)的三邊)點(diǎn)O滿足則O點(diǎn)一定是△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點(diǎn)撥：由已知條件可得同理可得則O點(diǎn)一定是△ABC的內(nèi)心B高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例例5、已知非零向量與滿足且，則△ABC為（）A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D等邊三角形點(diǎn)撥：從可知的平分線垂直對(duì)邊BC，故△ABC為等腰三角形；可知cosA=，所以=60°，故△ABC為等邊三角形。從D高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例例6、已知O是平面上一點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),點(diǎn)O滿足則O點(diǎn)一定是△ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心則O點(diǎn)一定是△ABC的內(nèi)心四心逐個(gè)突破B高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例ABCO證：設(shè)例7、已知O為⊿ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足:問(wèn)：O是△ABC的____心。化簡(jiǎn)：同理：從而垂心高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。

小結(jié)1.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：簡(jiǎn)述：幾何問(wèn)題向量